聚焦概率統計常考問題 感知高考命題變化趨勢

黃光洲

(福建省上杭縣第一中學 364200)

概率統計與實際生產生活高度關聯，在相關命題模式中，此類問題一般都會設計成以實際背景為命題素材的概率統計問題，每年此類試題的命制都有所創新，下面我們主要以2021年的高考試題為問題導向，對常考的命題模式進行歸納.

一、注重基本知識考查,檢測學生基本技能

例1 (2021年全國甲卷)甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統計見表1：

表1

(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？

表2

(2)根據2×2列聯表，可得

≈10.256>6.635.

所以有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異.

點評獨立性檢驗的關鍵在于正確列出列聯表，再根據獨立性檢驗的計算公式正確計算，此類問題凸顯出了概率統計的基本內容，是當下概率統計命題的主流方向.

二、緊扣時代背景素材,顯示數學應用價值

例2 (2021年全國乙卷)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( ).

A.60種 B.120種 C.240種 D.480種

點評以2022年北京冬奧會為背景，選取了熱點素材，緊跟時代背景，在檢查概率的基礎知識上，融入了新的熱點素材.

三、知識交匯融合，提升素養文化

例3 (2021年新高考Ⅱ卷21題)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代.該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，p(X=i)=pi(i=0，1，2，3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p=1，當E(X)>1時，p<1；

(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

解析(1)由題意，P0=0.4,P1=0.3,P2=0.2,P3=0.1,故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

(2)由題意可知，p0+p1+p2+p3=1,則E(X)=p1+2p2+3p3.

所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x.

變形為p0-(1-p1)x+p2x2+p3x3=0.

故p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0.

即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0.

即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0.

注意到f(0)=-p0<0,f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1,

當E(x)≤1時，f(1)≤0,f(x)的正實根x0≥1，原方程的最小正實根p=1;

當E(X)>1時，f(1)>0,f(x)的正實根x0<1,原方程的最小正實根p=x0<1.

(3)當1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕；

當1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經過多代繁殖后還有繼續繁殖的可能.

點評本題主要考查了概率與函數方程的綜合,考查離散型隨機變量的期望計算,函數與導數的應用,能夠較好地考查學生的數據處理能力和創新意識，這類考題在近年來考查頻繁、難度一般較大.