挖掘試題幾何背景　優化問題解決策略

摘要：充分挖掘試題的幾何背景，以幾何圖形為線索，活用正弦定理與余弦定理是解三角形的關鍵.掌握解三角形中常見的幾何背景及處理策略對突出重點、突破難點、優化求解過程具有重要意義，既可以在鞏固四基的基礎上發展四能，還可以在問題解決過程中發展數學核心素養.文章主要介紹解三角形問題中常見的平行四邊形、矩形、動態三角形、圓、橢圓等幾何背景及其一般解題策略.

關鍵詞：解三角形;幾何背景;平行四邊形

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0012-03

解三角形的三條知識主線分別為邊、角、面積;主要考查正弦定理、余弦定理與面積公式等核心知識.邊的角度多考查中線、角平分線、高線或是其它等分線;角一般涉及互余、互補、相等、公共角;面積既考查單個三角形的面積也考查復合三角形的面積.幾何背景以平行四邊形、矩形、圓、橢圓為主;設問方式以基本量的直接求解和探究基本量的取值范圍兩種形式為主.

一、以平行四邊形為背景

試題分析本題重點考查三角形的邊角關系，屬于有一條公共邊且公共邊為中線的復合三角形問題，其幾何背景是平行四邊形.處理此類問題的方法較多，思考角度不同可以得出不同的解題方法.

評注該題的求解關鍵是能挖掘出問題背后所隱藏的平行四邊形這一重要幾何背景并能充分利用平行四邊形的基本性質解決問題.從以上求解思路中可以看出邊角關系的合理互化是該類問題解決的基礎，但是如果只是單一地追求代數運算必然會出現類似于思路1所呈現的需要在不同的三角形中多次運用正弦定理或者余弦定理，運算量較大，不適用;而另外幾種方法充分利用了幾何性質，相對于思路1更加優化，思路清晰、過程簡潔，提高解題效率.

二、以矩形為背景

試題分析可以將例2看作例1的特殊化，思考問題的方向和例1基本相同，解決該題既可以考慮運用正弦定理或余弦定理實現代數運算，也可以重點挖掘問題背后的幾何背景并充分利用矩形的幾何性質解題.從眾多的解法中可以看出充分利用幾何背景及其幾何性質可以更高效簡潔地得出結果.

試題分析試題呈現的是有一條公共邊的兩個三角形復合而成的四邊形問題，本質還是解三角形，靈活用好正弦定理與余弦定理可以完成對該題的解答，這也是解三角形的常規思路和一般方法.但是要能順利解決問題往往需要通過復雜的推理與運算過程，而且在運算的過程中容易出現錯誤.

試題分析已知三邊的等量關系求解角的取值范圍可以根據余弦定理實現邊之間的等量代換，再結合不等式性質得出結果.但是認真思考該問題可以發現若邊長b為定值，根據式子結構容易聯想到橢圓的定義，不妨將該三角形至于圖13所示的橢圓之中實現解法優化.

參考文獻：

[1]陸峰.一類三角形問題的幾何模型解法[J].高中數學教與學，2019（09）：9-11.

[2]施倩.解三角形中一類取值范圍問題的解法探究[J].中學數學教學參考，2019（24）：33-36.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：唐明超（1992-），男，云南省宣威人，碩士，中學二級教師，從事高中數學教學研究.