由一道2021年高考創(chuàng)新題引發(fā)的研究

賀鳳梅　李昌成

摘要：近兩年高考題中連續(xù)出現(xiàn)創(chuàng)新壓軸小題，常規(guī)解法很難應(yīng)對(duì)，而構(gòu)造法能快速高效地解決此類問(wèn)題.根據(jù)題設(shè)，設(shè)計(jì)并構(gòu)造一個(gè)與亟待解決問(wèn)題相關(guān)的函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，通過(guò)單調(diào)性或利用運(yùn)算結(jié)果研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解決原問(wèn)題的目的.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;函數(shù);等價(jià)轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2021）28-0029-02

高考的主要功能就是為高校選拔優(yōu)秀生源，為國(guó)家遴選人才，因此國(guó)家考試中心每年都會(huì)命制一些創(chuàng)新題，為甄別最優(yōu)秀的學(xué)生起到把關(guān)作用.今年全國(guó)乙卷的第12題就是一個(gè)典型代表.此類題不曾在過(guò)往的高考中出現(xiàn)，在鋪天蓋地的模擬卷中也未曾謀面，完全原創(chuàng)，絕對(duì)首創(chuàng)，只有能力水平達(dá)到相當(dāng)高度的學(xué)生方可在緊張的考場(chǎng)上成功突圍.下面我們嘗試研究它.

二、總體分析

我們知道，教材中比較大小的題目一般有兩種類型：一類是利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小;另一類是通過(guò)橋梁“0”、“1”等比較兩個(gè)數(shù)的大小.而本題以壓軸題的形式出現(xiàn)，函數(shù)關(guān)系不明顯，屬于創(chuàng)新試題.初看此題，不知道如何入手，感覺(jué)是很接近的具體數(shù)，但卻無(wú)法找到合適的中間量來(lái)判斷他它們的大小.如何突破此題呢？我們企圖通過(guò)構(gòu)造非常見(jiàn)函數(shù)來(lái)突破此題.

三、試題解答

評(píng)注利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性比較大小，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題. 此法根據(jù)b與c以及a與c之差的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為突破口，成功構(gòu)造了恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并借助導(dǎo)數(shù)完成試題的解答.

評(píng)注解法2通過(guò)研究對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行巧妙變形，構(gòu)造函數(shù)，從而達(dá)到比較大小的目的.此法構(gòu)造函數(shù)的技巧性更強(qiáng)，這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)及學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷思考、探索、歸納和總結(jié)，逐步提高解題能力和思維品質(zhì).

評(píng)注解法3是根據(jù)a，b，c的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造了三個(gè)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義成功達(dá)到比較大小的目的.此法思維難度較大，需要數(shù)形結(jié)合，將數(shù)值大小賦予圖形特質(zhì).

評(píng)注泰勒公式是大學(xué)數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容，對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)明顯超綱，不過(guò)對(duì)于程度好的學(xué)生，對(duì)應(yīng)班級(jí)的數(shù)學(xué)教師可以適當(dāng)介紹，不需要學(xué)生掌握，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲.

四、追根溯源

參考文獻(xiàn)：

[1]任志鴻.十年高考[M].北京：知識(shí)出版社，2017.[2]李榮俊.淺談構(gòu)造函數(shù)的幾種技巧[J].學(xué)校教育研究，2020（22）：18.

[責(zé)任編輯：李璟]

作者簡(jiǎn)介：賀鳳梅（1979-），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.