補形在立體幾何問題中的應用

李秀元　武剛

摘要：直觀性是立體幾何問題的突出特點，借助物體感受空間形態，借助直觀圖形培養學生空間想象能力，達到提升直觀想象核心素養的目的.圖形殘缺（不全面）是制約學生認知的關鍵因素.本文從7個角度，展示補充圖形為問題解決帶來的好處.

關鍵詞：立體幾何;直觀;補形;空間想象

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0061-03

直觀性是立體幾何問題的一個突出特點.借助幾何圖形，感知空間點、線、面的位置關系、形態變化與運動規律.圖形殘缺不明是制約學生認知的一個關鍵因素.補全圖形是基于邏輯推理，發展學生空間想象能力的重要手段.下面從7個角度，展示補形為問題解決帶來的好處.

一、補形判斷位置關系

線面位置關系的判斷，是立體幾何發展空間想象能力的重要方式，主要涉及到線面平行和線面垂直.圖形殘缺會影響到學生對關系判斷依據的確認，補全圖形可以很好地解決直觀判斷這一問題.

三、補形確定平面的交線

解析確定兩個平面交線的理論依據在于公理3和公理1.由于平面AEF和平面ABCD有公共點A，故只需找到兩平面另外的一個公共點即可.過點E作EN⊥DC，交DC于點N，連接NB，則BF∥EN，而BF≠EN，所以EF和NB延長必相交，設交點為M，連接AM.因為M∈EF，所以M∈平面AEF.同理，M∈平面ABCD，即點M為平面AEF和平面ABCD的公共點.所以，直線AM為平面AEF與平面ABCD的交線.

四、補形求二面角的大小

六、補形求點面距離

七、補形求外接球的體積（表面積）

我們知道，任何三棱錐都有外接球.我們更知道，任何長方體都有外接球，且球心為對角線的中點.一般情形下三棱錐的外接球球心是不易確定的，如果能將三棱錐補形成長方體，解決問題也就輕而易舉了.

參考文獻：

[1]人教社課程教材室.普通高中課程標準實驗教科書數學（必修2）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：李秀元（1973.11-），男，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.