隨機變量均值與方差的題型解析

摘要：離散型隨機變量均值與方差的題目是歷年高考重點，考察學生分析與解決實際問題能力，對于隨機變量均值與方差的題目有填空與選擇題，還有大的解答題，對于此類題型的解析需要學生先掌握考點，在熟悉基礎知識上再進行相關題目的分析與解答，旨在幫助學生快速縷清問題并解決問題.

關鍵詞：隨機變量;均值;方差;例題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0023-02

作者簡介：周語華（1975.7-），男，江蘇省鹽城人，碩士，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：江蘇省教育學會“十三五”教育科研規劃2017年度一般規劃課題《核心素養視角下高中數學校本課程的開發與實施研究》（批準號：17A20J4YC129）

一、考點梳理

二、隨機變量均值與方差的題型解析

1.根據離散型隨機變量的均值與方差的解題

過程為：第一，先確定離散型隨機變量的可能值.第二，求可能值對應的概率，第三，書寫分布列，檢查正誤.第四，求均值與方差.

例1商店以5元的單價進購一批蛋糕，然后以10元一塊的價格出售，若當天賣不完，則扔掉以垃圾處理.

（1）第一天商店進購16塊蛋糕，求那天的利潤y（元）與當天所需量n（塊）的函數解析式.

（2）商店對近100天的蛋糕日需求量進行整理，做出表1，以此需求量的頻率當做各需求量的概率.若商店一天購進16塊蛋糕，X為當天的利潤，求X的分布、數學期望與方差;若商店一天進購16或者17塊蛋糕，你認為進多少塊更合理？

點評本問題所求的隨機變量均值與方差要先確定所有可能的值，然后分別寫出隨機變量分布，最后再運用正確的公式計算.解題的時候要關注隨機變量的概率分布特征，如果是二項分布，則使用二項分布的均值與方差公式進行計算更加簡單.

2.求二項分布的均值與方差問題

例2中央電視臺與唯眾傳媒聯合制作的《開講啦》為一檔青年電視公開課節目，節目一開播就受到觀眾的喜愛.電視臺隨機調查了甲、乙兩地中的一百名觀眾，得到2×2列表為表2：

在被調查的一百名觀眾中隨機抽取1名，為乙地區中非常滿意觀眾中的一員的概率為0.35，且4y=3z.

（1）從這一百名觀眾中，通過分層抽樣的方法抽取20名問卷進行調查，抽取滿意的甲、乙兩地人數都為多少？

（2）請你完成表2，并依據此判斷是否有95%的把握確定觀眾的滿意程度與所在地區相關.

（3）以抽樣調查頻率為概率，先從甲地抽取3人，抽到非常滿意的人數為X，求X分布列與期望值.

3.非二項分布均值與方差問題

例3我校實驗班與普通班一個學期內一共進行了四次考試，該階段的數學試卷每一題都有區分度，則q1=實驗班得分率-普通班得分率，若q<0.3，則確定此題區分度不好.若在實驗班中進行抽樣調查，以12題為例，可在班級成績在前八名和后八名的學生中各隨機抽取2人，此4人答題結果為計算區分度，則q為前后各8名各抽取2名學生的正確率，同樣q<0.3，則確定此題區分度不好.問：

（1）從年級的角度分析，若區分度不好的概率為p，四次考試中則至少有一次區分度不好的概率為0.9375，求p的值;

（2）實驗班前八名學生中有7人答對第12題，后八名中有四人答對，依據抽樣結果，求該題區分度不好的概率.在抽取的四人中，β為答對12題的人數，寫出其分布列，求出E（β）.

解（1）根據列式1-（1-p）=0.937，得到p=0.5.（2）從“該題區分度不好”這句話可總結為幾個互斥事件，第一，實驗班前八名與后八名學生中各抽取的兩人中有一人未答對，且從后8名同學中抽到的2人中至多有1人來答對，最多有1人未答對，其概率為11/56;實驗班中前八名與后八名學生中抽取的2人中全部答對，其概率為9/56，以此得到該題區分度不好的概率為兩組數據相加，為5/14.第二，根據題意β=1.2.3.4求P（β=1.2.3.4）的值分別為3/56、17/56、27/56、9/56，E（β）=11/4.

綜上得出離散型隨機變量均值與方差的計算過程，并根據隨機變量X-B（n，p）直接使用公式求解;隨機變量的期望表達其取值的平均水平，因此可以通過隨機變量作為實際應用題中方案取舍的主要依據，如果先比較均值，若均值相同，則以方差決定.

參考文獻：

[1]鄭麗娟.隨機變量均值與方差的題型解析[J].高中數理化，2021（01）：4-6.

[2]江志杰.提煉數學模型激活運算素能——由“離散型隨機變量的均值和方差”探究組合數列求和[J].中小學數學（高中版），2019（05）：16-19.

[3]楊文金.離散型隨機變量的分布列、期望和方差高考鏈接[J].中學生數理化（高二數學），2018（06）：7-9.

[責任編輯：李璟]