巧用轉化思想 解答數學難題

張錦尾

（福建省仙游第一中學，福建仙游 351200）

引 言

眾所周知，初中數學題型復雜多變，對學生分析及解題能力要求較高。部分習題采用常規方法進行解答，不僅計算煩瑣，還容易出錯，而應用轉化思想可取得事半功倍的解題效果。因此，教師在教學中應注重為學生講解轉化思想的相關理論知識，提高學生對轉化思想的應用意識，從而指引學生更好地解答數學難題。

一、分式與整式的轉化

分式是初中數學的重要知識，也是測試的常考點。相關習題難度差別較大，部分習題需要運用轉化思想將分式轉化為整式進行求解。為使學生掌握轉化技巧，提高解題正確率，教師在數學教學中應做好分式基礎知識的講解，使學生正確把握分式的特點，明確分式與整式之間的區別與聯系，同時有針對性地引導學生將分式轉化為整式，為學生在解題中靈活應用轉化思想奠定基礎[1]。另外，教師應結合教學經驗，選擇具有一定難度的例題在課堂上為學生講解解題過程，使學生感受轉化思想的具體應用，給學生帶來解題啟發，便于學生把握分式與整式轉化的細節。

該例題給出的已知條件較少，解題難度較大。課上，教師可先給學生留下一定的思考時間，要求其思考解題思路，然后為其講解解題步驟，并要求學生認真觀察已知條件。解題步驟如下：等式的兩邊分別乘以x2-4，根據平方差公式可將已知條件轉化為4x=(a+b)x-2a+2b。結合等式左右兩邊特點不難得出：a+b=4， -2a+2b=0，兩式聯立可求出a=2，b=2，代入可得a2+b2的值為8。

通過對該例題的學習，學生感受到轉化思想在解題中的妙用，認識到分式轉化為整式應注意的細節，即靈活應用平方差、完全平方式等知識，尋找相關參數之間的規律，建立等式關系。

二、函數與方程的轉化

一次函數是初中數學的重點知識，涉及的知識點較多，包括一次函數的判斷、表達式的求解、一次函數圖像等知識點。其中，一次函數與一次不等式聯系較為密切，部分習題需要借助兩者的轉化進行求解。在教學中，為提高學生解答相關習題的能力，教師應注重結合函數圖像為學生深入剖析其中蘊含的不等關系，提高學生對函數與方程的轉化意識[2]。課上，教師可基于學生所學設計代表性習題，要求學生運用轉化思想進行解答，夯實其所學的同時，鍛煉其應用轉化思想解答數學難題的能力，促使其樹立解答數學難題的自信心[3]。

題干中給出的是兩個一次函數的表達式，這兩個函數在第四象限相交。要想求出m的值，學生需要先將其轉化成一元一次方程組，再求出方程組的解。根據其在第四象限相交的條件，將其轉化為不等式，最終得出整數m的值。將兩個函數聯立，其交點坐標為（2m+3，m-2）。考慮到第四象限中橫坐標為正，縱坐標為負，即2m+3＞0，m-2＜0，可解得m的取值范圍為因此，整數m的值為-1、0、1。

該題的難點主要有兩個：一是將函數轉化為方程；二是明確第四象限坐標特點。該習題的訓練加深了學生對函數、方程關系的理解，增強了其運用轉化思想解題的意識。

三、高次向低次的轉化

初中數學部分習題涉及高次項的參數，而且無法使用因式分析進行轉化，如果找不到解題思路就很難作答，此時需要靈活運用完全平方式、整體代換等將高次轉化為低次以實現求解的目的。在教學中，為使學生掌握相關的轉化思路，教師應結合教學經驗對相關習題分門別類，總結不同題型的轉化思路，傳授學生相關的轉化技巧，使學生扎實掌握理論知識，避免其在轉化中走彎路[4]。此外，教師應圍繞具體例題，在課堂上邊引導學生回顧理論，邊板書詳細的解題過程，與學生一起完成例題解答。

該題目中出現了三次項，直接代入求解計算較為煩瑣，顯然是不可取的。在實際教學中，教師可引導學生運用轉化思想進行解答，即先認真思考已知條件，通過移項對等式兩邊進行平方，得出a2+2a=6這一等式，然后在等式兩邊分別乘以3a，得到3a3+6a2=18a。觀察要求解的多項式，進行配湊，湊出含有3a3+6a2的項，然后分別進行整體代入，最后求出3a3+12a2-6a-12的值為24。

該題難度較大，需要運用一定的解題技巧。在授課中，為增強學生的解題自信心，教師應注重給予學生點撥，鼓勵學生堅定信心、積極思考、認真書寫解題步驟。

四、立體向平面的轉化

勾股定理在初中數學中占有重要地位。部分習題以空間幾何體為背景，考查學生對勾股定理的靈活應用能力。該種題型對學生的空間想象能力具有一定要求，在教學中，為提高學生解答此類習題的能力，教師應啟發學生將立體圖形轉化為平面圖形。一方面，在講解勾股定理時，教師應注重引導學生聯系生活中的空間圖形，思考哪些立體圖形應用了勾股定理知識，在增強課堂教學趣味性的同時，幫助學生構建立體與平面之間的聯系，并在學生的記憶中留下深刻印象。另一方面，教師可運用多媒體技術為學生創設相關的問題情境，直觀展示立體圖形向平面圖形轉化的過程，使學生更好地將轉化思想應用于解答相關習題中[5]。

例題：一個圓柱體的高為4cm、底面半徑為1cm， 從圓柱底部A處沿側面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾，這條絲線的最小長度為（π取3）____。

該題目創設的問題情境以圓柱體為背景。學生對圓柱體并不陌生，在小學時，學生已較為系統地學習了圓柱體知識。要想正確解答該題，學生就要具備良好的空間想象能力，能夠準確把握A、B兩點之間的關系。課上，教師可先使用多媒體技術為學生創設不同的纏繞情境，使學生清晰地看到只有當A、B兩點在豎直方向上處在同一條直線上時其長度最短；然后將圓柱體展開，學生可清晰地看到直線AB、圓柱底面周長、圓柱的高構成直角三角形；最后根據已知條件可求出圓柱底面周長為6cm，其高為4cm，進而使用勾股定理可求出AB的長為

中考數學試卷中時常出現一些幾何習題，需要學生將立體圖形轉化為平面圖形進行求解。因此，教師在教學中應多組織學生進行訓練，使其掌握相關的轉化技巧，明確轉化前后參數之間的關系，實現正確解答。

結 語

初中數學習題中不乏一些難題，需要學生具備靈活的頭腦，巧妙運用轉化思想以順利求解。為提高學生運用轉化思想解題的能力，教師應將轉化思想納入教學重點，為學生講解不同的轉化類型，并結合具體習題，講解轉化思想在不同題型中的應用，在加深學生印象的同時，更好地指引學生解答數學難題。