逆向思維在初中數學解題中的應用

摘要：逆向思維是一種倒推資源配置，從目標出發逆向而行，借助已知條件逐步推進的思維方式，在教學過程中，培養學生的逆向思維，有助于激發學生學習數學的興趣，提高學生解題的敏捷性和靈活性.

關鍵詞：逆向思維;初中數學;實踐應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）29-0046-02

思維模式主要有兩種：一種是正向思維，即根據現成的資源，正向推進，穩扎穩打，逐步發展;一種是逆向思維，即倒推資源配置，從目標出發逆向而行，借助已知條件逐步推進.初中數學是一門基礎學科，涵蓋面廣，邏輯性強，在學習過程中常常會碰到一些難題，在用正向思維難以解決的時候，不妨引導學生采用逆向思維來“奪取勝利”.本文通過例析逆向思維在初中數學解題中的應用，談談在教學實踐中一些具體做法.

一、逆向推導

學習平方差公式是通過多項式的乘法進行計算正向推導得出結論，如果解題時采用逆向推導的方法去運用公式，可以激發出學生的學習興趣心，促進課堂教學的順利開展.

例1簡便計算551-449

師：請大家觀察這條算式的特點，聯系學過的公式，看看是不是能利用公式來計算呢？

生：我想到了平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b.（教師板書公式）

師：你的思維很活躍.我們一起來觀察這條平方差公式具有哪些特征.

生1：等式左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中的第一項完全相同，第二項互為相反數.

生2：右邊是兩項的平方差，也就是相同項的平方與相反項的平方的差.

師：把這條公式反過來就是a²-b=（a+b）（a-b）（教師板書公式）

師：你能用一句話把這條公式解釋一下嗎？

生：求兩項的平方差就等于求這兩項的和與這兩項的差的積.

師：再來看算式551-449，這里的兩項分別是指什么？

生：數字551和數字449.

師：501-499可以分解為哪兩個因式的積？

生：可以分解為（551+449）與（551-449）的積.

師：現在你能把這道題非常簡便地計算出來嗎？

生：能.5512-4492=（551+449）×（551-449）=2000.

師：從運用平方差公式進行來簡便計算的過程中，你得到了什么啟發？

生：把平方差公式逆向思考，就得出了“兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積”的結論，這樣計算起來就非常簡便.

這個課例中，教師引導學生逆向思考平方差公式，透過深入分析其內涵，深化了學生的理解與記憶.

二、逆向計算

學生計算題目時，往往會按部就班，根據常規的計算法則進行運算.實際上，數學中的許多計算法則都具有可逆性，在解題的時候教師就要充分利用這種可逆性，引導學生恰當運用公式法則尋求題目的簡捷解法.

生：太方便了，而且很容易計算到正確的結果.

如果按照常規方法無法解決的時候，應該及時轉換思路，嘗試采用逆向思維的方法去解題，即由題目中所給條件的可逆性，思考逆轉后會出現什么情況，能否再回到原來的題目中，如果可行的話，那就大膽地另辟蹊徑去解決問題.

三、逆向分析

有些數學題，從已知條件直接入手去思考，會得到多個結論，導致在解題過程中“迷失方向”，不知道該如何繼續下去.此時如果逆向分析，從題目的結論出發，逐步往回逆推，往往可以找到滿意的解題途徑.

例4已知x、y是不相等的正數，求證：x+y>xy+xy.

師：觀察這條不等式，你想到了什么解題思路？

生：我看到不等式左邊是x+y，馬上就想到了公式：x+y=（x+y）（x-xy+y），我就想能不能用這條等式來解題呢？

師：先請大家把不等式兩邊分解因式.

生：x+y=（x+y）（x-xy+y），xy+xy=xy（x+y）.

師：題目中要求證的不等式就轉化為（x+y）（x-xy+y）>xy（x+y），仔細觀察，要使這道不等式成立，只需知道什么條件？

生：轉化后的不等式兩邊都有因式（x+y），因為x和y都是正數，x+y>0，所以只需知道x-xy+y>xy就可以了.

師：你真愛動腦筋！我們再用這樣的思路去逆向分析題目.

生1：把不等式的右邊項移到左邊，轉化為x-2xy+y>0，即求出（x-y）>0就可以了.

生2：因為x、y是不相等的正數，所以（x-y）>0是成立的.

這個課例中，學生采用“順推不行則逆推”的方法進行逆向思考，打破了解題思路中的僵局，結合已學知識順利地迎來了“新局面”.如果經常進行此類習題的練習，學生的創造性思維將會有飛躍的進步.

四、逆向證明

反證法因其遵循“由果溯因”的思維模式在學習某些基本的性質、定理和結論中經常被運用，因此在教學時教師也要將此作為解題的重要方法，引導學生在解決難度較大的題目時有意識地去嘗試運用.

例5勾股定理的證明

師：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三個邊長分別為a、b、c，求證：a+b=c2.

師：可以用量出AB、AC、BC的長度后直接計算的方法來證明嗎？

生：當然不行.

師：那怎么來求證兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？

生：試一試用反證法.

師：好辦法.說說你的思路.

生：假設a+b≠c2.

師：即BC+AC≠AB.

生：如圖2過C點作斜邊AB上的垂線，垂足為O.

（教師在圖形上添加輔助線CO）

生：斜邊AB被分為兩條線段AO和OB，由AB=AB·AB=AB（AO+BO）=AB·AO+AB·BO

師：為什么要考慮這一步呢？

生：根據剛才的假設，可以推測出：BC2≠AB·BO，AC2≠AB·AO，即BO：BC≠BC：AB，或者AO：AC≠AC：AB.

師：可以看出BO和BC是Rt△BOC中的一條直角邊和一條斜邊;AO和AC是Rt△AOC中的一條直角邊和一條斜邊.

生：在△AOC和△ACB中，因為∠A=∠A，則當AO：AC≠AC：AB時，∠AOC≠∠ACB;在△BOC和△BCA中，因為∠B=∠B，則當BO：BC≠BC：AB時，∠BOC≠∠ACB，又因為∠ACB=90°，所以∠AOC≠90°，∠BOC≠90°，這與添加的輔助線CO⊥AB相矛盾，所以BC+AC≠AB不成立.

師：你利用反證法證明出了AC+BC=AB，即a+b=c.

從這個課例中可以看出，反證法從假設命題結論的反面入手，將相反的判斷作為已知條件，經過嚴謹的邏輯推導出與已知題設條件相矛盾的結論，從而證明原命題成立.

參考文獻：

[1]王波.初中數學教學中的逆向思維[J].新課程（教研版），2010（12）：322-323.

[2]趙興根.例析反向思維在初中數學解題中的應用[J].福建中學數學，2014（03）：78-79.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：紀紅芳（1976.10-），女，江蘇省南通人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.