基于割圓術(shù)的高職院校高等數(shù)學(xué)極限定義的信息化教學(xué)設(shè)計(jì)

【摘要】割圓術(shù)是很多教材中用來(lái)引出極限思想的一個(gè)常見(jiàn)引例，由于其內(nèi)容非常直觀，便于理解，一般教材中會(huì)以他作為極限教學(xué)的引例。本文將以高職院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)為背景。深入挖掘割圓術(shù)提到的內(nèi)接正多邊形的表達(dá)式，通過(guò)利用信息化方法求解，使同學(xué)們真實(shí)看到割圓術(shù)的趨勢(shì)效果，更真切地體會(huì)極限的意義，并聯(lián)系后續(xù)知識(shí)點(diǎn)，將割圓術(shù)充分融入極限的教學(xué)過(guò)程中。

【關(guān)鍵詞】割圓術(shù);極限定義;課程思政

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是用來(lái)定義微分和積分的重要工具，如果極限部分掌握不好，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生很大的影響。為了打好高等數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)，本文針對(duì)高職學(xué)校學(xué)生，將直觀的割圓術(shù)和抽象的極限概念深入結(jié)合，并引入信息化手段，改進(jìn)高等數(shù)學(xué)極限部分的教學(xué)方法。

一、學(xué)情分析

通過(guò)實(shí)踐教學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，很多高職學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣較差，生源復(fù)雜，少部分同學(xué)是中職學(xué)生，在高中階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差。高等數(shù)學(xué)的知識(shí)難度比高中數(shù)學(xué)要更高，傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法和模式很難讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。另一方面，不同的同學(xué)高考失分點(diǎn)不同，有些同學(xué)偏科嚴(yán)重，同班同學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異很大。

由于高職院校的培養(yǎng)目標(biāo)不同，高職學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，更注重實(shí)踐應(yīng)用，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，也會(huì)對(duì)于理論知識(shí)比較輕視，學(xué)習(xí)起來(lái)也更加困難，對(duì)于復(fù)雜的公式推導(dǎo)過(guò)程十分抵觸，不敢嘗試。同時(shí)，學(xué)生對(duì)于新鮮事物更感興趣，對(duì)直觀形象能夠體現(xiàn)出來(lái)的知識(shí)點(diǎn)更容易接受。

二、教學(xué)內(nèi)容分析

極限既是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中接觸的第一個(gè)和初高中掌握的概念形式不同的知識(shí)點(diǎn)。如果極限的概念和應(yīng)用掌握不好，一方面對(duì)于后續(xù)的導(dǎo)數(shù)、積分等概念難以理解，還極易產(chǎn)生厭學(xué)的情緒。

通過(guò)對(duì)極限概念的講解，需要使學(xué)生能夠結(jié)合圖像理解極限的的概念及其變化過(guò)程，求解簡(jiǎn)單的函數(shù)極限;了解不同趨近過(guò)程中極限存在的充要條件，并以此判斷極限是否存在;體會(huì)函數(shù)極限思想，通過(guò)實(shí)踐操作，提升解決問(wèn)題的能力。

由于高職院校學(xué)生注重實(shí)踐，因此在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中會(huì)適當(dāng)削弱理論部分，在相關(guān)教材中不會(huì)體現(xiàn)ε-N 語(yǔ)言，這就導(dǎo)致極限概念這一節(jié)內(nèi)容較少，學(xué)生對(duì)極限的理解和感受不夠深入。

三、改進(jìn)后的教學(xué)過(guò)程

1.導(dǎo)入（5分鐘）

引例介紹：劉徽的“割圓術(shù)”是指圓內(nèi)接正多邊形，邊數(shù)越多越接近圓，即圓內(nèi)接正n邊形隨著n的增加會(huì)趨近于一個(gè)圓。這就是基本的極限思想。

2.新知識(shí)學(xué)習(xí)（45分鐘）

教師講解x趨于某點(diǎn)和無(wú)窮的極限定義，講授例題，帶領(lǐng)學(xué)生完成練習(xí)題。

3.關(guān)于割圓術(shù)的拓展探究（30分鐘）

（1）引導(dǎo)學(xué)生完成三個(gè)小問(wèn)題：半徑為0.5的圓周長(zhǎng)是多少？半徑為0.5的圓內(nèi)接正方形周長(zhǎng)是多少？半徑為0.5的圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)是多少？

以上三個(gè)問(wèn)題，第一題答案為π，第二、三題答案可以利用高中平面幾何知識(shí)求解，分別為 和3。

（2）提出問(wèn)題：半徑為0.5的圓內(nèi)接正n邊形（n大于6）的周長(zhǎng)怎么求解？n=10的時(shí)候周長(zhǎng)是多少？

4.小結(jié)及作業(yè)（10分鐘）

總結(jié)本次課知識(shí)點(diǎn)，提醒同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)不熟悉的要利用課下時(shí)間回顧一下，布置本節(jié)作業(yè)。最后，再次強(qiáng)調(diào)在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以靈活運(yùn)用各種信息化手段，比如自己每天攜帶的手機(jī)，不只可以用來(lái)玩游戲，還可以用來(lái)做復(fù)雜的算數(shù)。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)亮點(diǎn)分析

1.快速掌握學(xué)生基礎(chǔ)水平

在課上鼓勵(lì)同學(xué)們根據(jù)割圓術(shù)要求列出半徑為0.5的圓內(nèi)接正n邊形的表達(dá)式，可以在同學(xué)們回顧高中知識(shí)的同時(shí)，幫助老師快速了解同學(xué)們的基礎(chǔ)水平。相比直接問(wèn)卷的形式，這種探究過(guò)程更能準(zhǔn)確反應(yīng)學(xué)生的真實(shí)基礎(chǔ)，也能快速找出班內(nèi)個(gè)別基礎(chǔ)較好的同學(xué)，方便以后進(jìn)行更多樣化的教學(xué)嘗試，如分組競(jìng)賽，合作學(xué)習(xí)等。

2.將手機(jī)作為求解工具

讓學(xué)生用手機(jī)計(jì)算器計(jì)算內(nèi)接正10邊形周長(zhǎng)，可以有效避免學(xué)生在一節(jié)課的后半段因疲勞厭倦而玩手機(jī)。在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)對(duì)自己的手機(jī)計(jì)算機(jī)并不熟悉，也不知道如何調(diào)出科學(xué)計(jì)算器模式，這樣的設(shè)計(jì)，使學(xué)生意識(shí)到手機(jī)不只可以用來(lái)玩，還能用來(lái)做復(fù)雜運(yùn)算的求解。教師也可以在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生了解通過(guò)搜索app，可以用手機(jī)解決很多實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)行各種學(xué)習(xí)，如屏幕尺子工具，思維導(dǎo)圖軟等。

3.演示數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用

利用微軟高級(jí)計(jì)算器現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)圖，能使同學(xué)們更直觀的看到函數(shù)極限的趨勢(shì)效果，引起學(xué)生興趣，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的印象。畫(huà)圖軟件的演示也可以讓學(xué)生意識(shí)到利用電腦可以幫助自己的學(xué)習(xí)。教師在后續(xù)課程中也可以演示利用該軟件求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分等，讓學(xué)生明白在日后自己做題時(shí)可以利用軟件取檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。

4.和后續(xù)知識(shí)相呼應(yīng)

根據(jù)拓展探究的效果可以觀察出 ，但這個(gè)結(jié)果暫時(shí)通過(guò)手算是沒(méi)辦法算出來(lái)的，在后續(xù)講到兩個(gè)重要極限的時(shí)候，可以再將該問(wèn)題拿出來(lái)，讓學(xué)生利用第一個(gè)重要極限進(jìn)行求解，驗(yàn)證極限值是否為派。這樣將割圓術(shù)貫穿極限的學(xué)習(xí)過(guò)程，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，增加學(xué)習(xí)過(guò)程的熟悉感，減少抵觸情緒。

5.課程思政

在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)很多國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)史知識(shí)，對(duì)于微積分本身而言，很多同學(xué)可能對(duì)牛頓、萊布尼茨等國(guó)外數(shù)學(xué)家有更深的印象，對(duì)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)逐漸淡忘，割圓術(shù)作為極限思想的重要引例，不僅和實(shí)踐聯(lián)系密切，便于理解，還和后續(xù)求極限的知識(shí)點(diǎn)有呼應(yīng)。通過(guò)本文的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以使學(xué)生更好的記住割圓術(shù)，記住中國(guó)從古至今都有很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家在自己的領(lǐng)域做出了突出的貢獻(xiàn)，提升學(xué)生的民族自豪感，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

五、反思與總結(jié)

通過(guò)將割圓術(shù)與信息化手段相結(jié)合的方式，可以豐富高職院校的極限概念部分的課堂內(nèi)容，形象生動(dòng)地展現(xiàn)極限的趨勢(shì)效果，使學(xué)生更好的理解極限的意義。教師在這樣的教學(xué)過(guò)程中可以了解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平，對(duì)后續(xù)的教學(xué)有很大的幫助。學(xué)生在加深“割圓術(shù)”印象的同時(shí)，能更深刻地體會(huì)到我國(guó)古代數(shù)學(xué)思想發(fā)展的突出成果，在潛移默化中提升學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷。

本文的教學(xué)設(shè)計(jì)可以推廣到各個(gè)高等數(shù)學(xué)教材講授過(guò)程中，根據(jù)實(shí)際課時(shí)和授課內(nèi)容安排，可以將現(xiàn)場(chǎng)軟件畫(huà)圖改成直接展示圖片，進(jìn)而縮短拓展探究的時(shí)長(zhǎng);也可以采用分組競(jìng)爭(zhēng)、學(xué)生講解、軟件搶答等師生、生生互動(dòng)方式，延長(zhǎng)拓展探究的時(shí)間，使學(xué)生體會(huì)更多的學(xué)習(xí)樂(lè)趣，使老師更好的了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。另外，對(duì)于軟件或管理類專業(yè)的學(xué)生，可以考慮利用編程軟件或excel辦公軟件進(jìn)行畫(huà)圖，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的知識(shí)領(lǐng)域。

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