指數函數及其性質第一課時課例分析

摘 要：指數函數及其性質是高中數學的教學難點，采取問題導學法“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環節展開教學，對于最終的教學目標實現有著積極的意義。下文主要依托課程內容進行課例分析。

關鍵詞：指數函數及其性質;第一課時;課例

在核心素養的教學背景下，積極培養學生高中數學綜合素質成為教學的一大關鍵任務。但傳統的“填鴨式”教學模式顯然無助于學生的綜合素養養成。本文以指數函數及其性質的第一課時內容為例，黃河清“問題導學法”探究“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環節展開教學的策略分析。希望本文的分析能夠給高中數學教師的教學活動帶來一定的實踐參考價值。

一、指數函數及其性質第一課時的基本概況

指數函數及其性質是高中階段數學教學的重要知識點，甚至從宏觀角度來看，這一課程的教學內容在高中數學知識體系之中有著承前啟后的地位。但是對于廣大高中生而言，這一課程也是學習的一大難點所在。主要是因為這一課時之中所涉及的概念較多，往往難以為學生所把握，甚至還會造成學生知識概念混淆的情況。另外，在學習指數函數及其性質第一課時這一課程的時候，學生雖然具備了一定的知識積累情況和理解能力，但在面對指數函數及其性質第一課時課例的知識內容的時候，還會感到有所陌生，吸收起來也存在客觀的困難。

另外，在核心素養的教學背景下，教師在展開指數函數及其性質第一課時的課程教學過程中，不僅需要充分地把握相關知識點的內涵，同時還需要盡可能地提升自己的教學效率，以及培養學生積極健康的態度，由此充分地提升學生的綜合素質以及多元能力。

二、指數函數及其性質第一課時的教學設計

針對指數函數及其性質第一課時的基本情況，要想實現更為理想化的教學目標，就需要采取“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環節展開教學。下文主要從上述五個環節出發，進行課程教學設計分析：

（一）新課引入環節的設計

對于高中階段的數學教學而言，要想充分地提升學生的學習效率，離不開合理的課程引入環節的充分設計。通過對新課引入環節的設計，能夠在很大程度上架設學生從已知到未知的橋梁。針對指數函數及其性質第一課時的知識內容情況，在新課引入環節教師可以借助于故事引入法。

比如：在古印度有一個古老的故事，講述的印度宰相和國王下象棋并且打賭，如果宰相贏了，那么皇帝需要在象棋的第一個格子上放上1粒米，在第二個格子上放上2粒米，第三個格子上需要放上4粒米，以此類推，后面的一個格子的米粒數量總是前面一個格子米粒的兩倍。在最初，印度皇帝以為僅僅不過是一個小數目，但是經過仔細核算才發現，最后這些大米粒支付下來居然是一個天文數字。在指數函數及其性質第一課時的教學過程中引入這一故事，能夠在很大程度上豐富學生的學習趣味性，由此也能夠幫助學生實現學習的積極主動性。

除此之外，教師在新課引入環節，也可以引入《莊子》中的一個經典寓言，寓言中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”翻譯過來就是，一尺長的木棰，每天截取一半，從數學上來看，這個木棰是永遠都不會消失的。莊子的這一寓言論斷也和指數的相關知識有著密切的關系。之所以在指數函數及其性質第一課時的新課引入環節引入這一知識內容，不僅可以實現對新課程知識內容的有效過渡，同時也能夠在一定程度上強化學生對于傳統文化的認識，由此可以實現對學生的愛國情懷的熏陶。

（二）概念形成環節的設計

在完成了新課引入環節之后，教師應該做到趁熱打鐵，借助于合理的情境設計，幫助學生形成指數函數的相關概念。在這一環節的設計過程中，教師應該靈活設計具體的情境，讓學生在具體的情境之中實現對指數函數概念的把握：

情境1：某種細胞在分裂時，每次能夠從一個細胞分裂為兩個，第一次會由一個細胞分裂為兩個，第二次會由兩個細胞分裂為四個，以此類推。設細胞分裂x次得到y個細胞，試求y和x之間的關系式。

分裂次數x 1 2 3 4 …

細胞個數y

在這一情景教學中，學生可以得出關系式：y=2x，（X∈N※）

情境2：某一物質的質量為1，且該物質在發展過程還存在著不斷地衰減情況，經過一年之后，該物質會衰減到原有質量的一半，如果該物質的剩余量為y，時間單位年為x，那么，試求y和x之間的關系式。

時間x 1 2 3 4 …

剩余量y

學生根據這一客觀背景，可以得出關系式，表述為：y=（1/2）x，（X∈N※）

教師在引導學生完成了對相關關系式的表述之后，可以引導學生思考，上述這幾個關系式能夠構成函數嗎？它們如果不是函數，那么應該如何給它們命名呢？你們可以對這類關系式作出一般性的定義嗎？

定義：一般地，函數y=ax（a>0，且a≠1）叫作指數函數（exponential function），其中x是自變量，函數的定義域為R.

教師借助于這類引導，能夠在很大程度上幫助學生實現對指數函數的深入了解，從而加速學生的知識吸收。

繼續探究底數a的范圍為什么規定為“a>0，且a≠1”？

①當a=1時，y=1x=1，沒必要研究。

②當a<0時，對于x的一些數值，可使ax無意義，如（-2）x，對于…，這樣的函數值不存在。

③當a=0時，x>0，ax=0;x≤0，ax無意義，如00。

因此規定a>0，且a≠1。

（三）概念深化環節的設計

在通過合理的情境設計引導學生實現對指數函數概念掌握之后，教師還應該繼續幫助學生進一步深入思考指數函數的概念以及其性質，教師需要在課堂上列出如下幾個函數關系式，并且對提問學生哪些是指數函數，哪些不是指數函數，并且引導學生思考為什么有些函數不是指數函數。教師在課堂上列出的具體函數式包括以下幾個方面：

例1： （1）y=3x （2）y=-6x

（3）y=（-6）x （4）y=6x2

教師通過引導學生思考上述的函數式，并且反思這些函數式的特點，由此能夠幫助學生進一步地認識到指數函數的概念內涵以及性質特點。這對于學生的數學綜合能力發展有著較為積極的價值。

接下來研究指數函數的圖像性質，通過取一些特殊的函數來歸納特征。首先分學習小組讓同學們動手，在同一坐標系中分別作出函數（1）y=2x，（2）y=3x，的圖像特征。做出后進行小組討論，指數函數圖像特征。教師利用幾何畫板來看a的范圍不同圖像是如何變化的，通過觀察，師生共同總結指數函數的性質：

a>1 0

圖像

性

質 定義域：R

值域：（0，+∞）

圖像都過點（0，1）

在R上是增函數 在R上是減函數

總結如下規律：在y軸右側第一象限，圖像從下至上底數由小變大;在y軸左側第二象限，圖像從上至下底數由小變大。

（四）應用探究環節的設計

對于高中階段的數學教學而言，教師不僅需要幫助學生掌握一系列的客觀知識點，同時也需要提升學生具備學以致用的能力，也就是能夠將客觀知識和現實生活有機地結合在一起，由此幫助學生實現更為迅速地知識進步效果。而要想實現這一教學目標，教師在教學活動中應該采取如下幾個方面的舉措：

第一，教師需要讓學生基于自己對于指數函數及其性質的理解和把握，引導學生借助于計算機軟件建立完善的數據模型。在當前的教學背景下，計算機技術在高中數學階段中的教學價值已經得到了較為充分的重視，因此，在未來的教學過程中，教師可以讓學生利用相關的計算機軟件，建立指數函數的相關模型，由此可以幫助學生實現更為迅速的應用能力的進步。

第二，教師在教學過程中還應該讓學生利用自己所學習到的知識解決現實生活中的某一個問題。在現實生活中處處存在著指數函數的相關知識，同時很多現實問題也適合運用指數函數進行解決。教師引導學生利用指數函數解決相關問題，對于學生的知識運用能力提升來說也具備較為積極的價值。借此可以幫助學生加深對指數函數及其性質的理解。

例2：比較下列各組數的大小。

（1）1.72.5，1.73 （2） （3）1.70.3，0.93.1

通過以上例子，教師引導學生去歸納：

底數相同時：可以用函數的單調性比較;

指數相同時：可以轉化為底數相同比較，也可以借助圖像進行比較。

指數、底數都不同時：可以找中間量來進行比較。中間量的找法可以是“1”，也可以是分數，利用二分法選取。

（五）總結歸納環節的設計

在數學教學過程中，教師要想充分夯實學生的學習成果，還應該采取合理的總結歸納環節，由此幫助學生實現對知識的鞏固。在這一環節的教學中，教師也應該避免對知識的僵化灌輸，而是應該采取具體的案例，讓學生帶著問題進行對知識的鞏固。在具體的教學過程中，教師可以列出一系列的指數函數，讓學生比較相關的數值大小：

第一，1.82.5和1.83.2哪個數值更大;

第二，0.6a>0.6b，那么，a和b哪一個數值更大;

第三，a0.75>1，那么，a和1哪個數值更大。

通過這一系列的習題練習，能夠在很大程度上強化學生對于指數函數的理解，這對于學生的指數函數知識的鞏固有著不可忽視的價值。在完成了上述的習題之后，教師還應該讓學生進一步地反思總結相關知識點，由此也可以實現學生的知識升華。

最后思考：計算1.01365與0.99365的大小，你能總結出什么生活哲理？

用一個公式來計算一下，1的365方等于1，0.99的365方等于多少？1.01的365方等于多少？1.02的365方等于多少？假設1代表你每天不進不退，365天下來還是原樣1，0.99代表每天退步一點點，那365天等于多少？結果是約等于0.03，每天進步一點點1.01了，365天結果是37.78，那如果比1.01的再努力一點點1.02的人呢？365天下來結果是1377。很多成功不是一兩天努力就可以的，都是每天不斷地進步，哪怕每天一點小小的進步，堅持不懈，最后會產生強大的變化。

三、指數函數及其性質第一課時的教學反思

總體上來看，指數函數及其性質第一課時的教學內容是初中數學教學的重要課程，在教學過程中依托于“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環節展開教學活動，對于最終的教學目標實現有著積極的價值。當然，在具體的教學實踐中教師應該充分打破思維限制，并且采取更為靈活的教學手段，如此才能夠實現最終的教學目標。

參考文獻

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作者簡介：孫威，男，廣西南寧市，第三中學高中，數學教師。