數形結合的思想融入線性代數教學的實踐與探索

徐 凱

（四川外國語大學國際工商管理學院 重慶 400013）

0 引言

我國著名數學家吳文俊所說：“在數學的發展過程中，數與形的概念不斷擴大，趨向抽象化，但仍有一些對象和運算關系借助幾何語言來表示。”線性代數教學過程中大量的公式、定理、推論都是采用嚴格的演繹論證方法，抽象程度高，邏輯性強。學生在學習知識時很難深刻理解其中的抽象概念和復雜結論，使得學習效率不高[1]。利用幾何直觀方法，把抽象的問題形象化，結合直觀的形象對抽象內容加以理解，可以為代數提供直觀背景來發展學生的想象能力，可以消除代數的抽象感[2-3]。因此，在線性代數教學中運用數形結合的思想方法，不僅是學生學好線性代數的需要，而且對培養學生分析問題的能力和養成科學的思維品質都具有十分重要的意義。

1 教學案例分析

本文舉例分析線性代數教學過程中的數形結合思想，在教學中運用幾何直觀與演繹論證相結合的方法，提高教學效果，具體通過幾個教學案例說明：

案例一：矩陣的概念和行列式概念不同，不能用數值或者代數式表示，只是把相同性質的數據或代數式列為一個表，對矩陣概念的實質意義難以理解，可以描述通過幾何例子形象理解矩陣的概念。

圖1：坐標變換公式圖

圖2：兩組向量線性相關性

圖3：兩種情況的

圖4：二次型旋轉過程圖

2 結論

在線性代數教學過程中，數形結合的思想無處不在。比如：向量內積概念[6]可以有三維空間的數量積，通過講解三維空間內積的幾何意義，然后推廣到n維空間上；在幾何空間中，如果兩個向量垂直，那么它們的內積為零。我們從內積出發來推廣垂直概念；幾何空間中向量的度量性質（如向量的長度、向量間的夾角等）在一般的n維向量中未得到反映；在n維向量空間中，任何正交向量組所含向量的個數n的幾何意義是明顯的。例如在平面上找不到三個兩兩垂直的非零向量；在幾何空間中找不到四個兩兩垂直的非零向量等。從幾何出發，利用幾何直觀方法，把抽象的問題形象化，幫助學生理解概念，發現研究思路，有效開展推理、猜想，直至問題解決。