一道高二數學期末統考題的解法探究與拓展

張海泉

(江蘇省興化中學 225700)

本文先對2021年泰州三市三區高二數學期末統考的一道試題的解法作些探究，再將試題進行縱向、橫向推廣與延拓，形成一般問題的解題思路,以期達到舉一反三、觸類旁通的教學效果.

1 試題呈現

圖1

2 解法探究

3 解后反思

本題是一道圓錐曲線中的定值問題，題目設計入口較寬，學生容易想到聯立直線與雙曲線方程求出兩直線交點，轉化為非對稱的韋達定理形式求解.題目設計的直線過焦點，所得交點P恰好在雙曲線的準線上，很好地展示了雙曲線的一個完美特殊性質，故學生易產生疑問：如果直線不是過焦點,是否也有類似的性質呢？

于是課堂上試著將題目變為拓展題供學生探究.

4 猜想探索

5 歸納模型

基于學生的這種發現，試著從一般形式來探索.

探索過程：

6 拓展延伸

圖2

這樣，從教師的命題角度來看，本題可以以點帶面擴大試題的教學功能.于是進一步將定點拓展為定值問題.

7 縱向探究

所以D，N，C三點共線，即直線CD過定點N(n,0).

8 橫向探究

由于橢圓和雙曲線有統一定義，因此本題的探究過程可以類比到橢圓中，擴展出橢圓中的一般結論(留給讀者自行探究).

要給學生一杯水，教師就要有一桶水，且須是一桶新鮮活水.因此，講授一道題，教師不能向學生一樣僅僅滿足于會解題，還需要考慮如何高效解題，注重通性通法，拓展探究、挖掘試題的內涵和外延，找到試題的源頭，研究出一類題的解題規律，形成一種思維上的升華和命題模板，達到放得開、收得攏的自如境界.