二次類比：由單一走向關聯，由常態引向深層圖象與性質的課堂教學片斷分析*
——探究函數

曹 宣

(江蘇省常州市新北區實驗中學 213022)

萬榮慶

(江蘇省常州市新北區教師發展中心 213022)

1 教學片斷1：利用函數圖象與性質研究的一般方法，類比研究函數的圖象與性質

生2：我發現當x>0時，y隨x的增大而減小，說明圖象向右越來越接近x軸(同時用手比劃).當x<0時，y隨x的減小而增大，說明圖象向左越來越接近x軸(仍用手比劃).

生5：我發現，因為x≠-1，所以圖象應該在直線x=-1的兩邊.

x>-1時，y隨x的增大而減小，其圖象應該是這樣的；(生5用手比劃)

x<-1時，y隨x的減小而增大，其圖象應該是這樣的.(仍用手比劃)

生6：我把x+1看作一個整體，所以x+1與y同正同負，也就是x>-1時y為正；x<-1時y為負.

師：請同學們嘗試.(學生獨立完成，教師巡視后呈現學生典型問題)

x…-4-3-2-1012…y…-13-12-1/11213…

圖1

師：這個圖形看上去“扁扁的”，那么事實是這樣嗎？(教師說明列表中取值的特點).為了保證圖象的完整性，我們可以再多取些點，這些點可以怎樣取？(學生繼續交流)

生9：我們可以再取些點，發現畫出的圖象如圖2，這個圖象比剛才更有整體感.

x…-4-3-2-43-32-10-23-1212…y…-13-12-1-3-2/1321213…

圖2

師：我們發現圖2是兩支曲線，但我剛才發現還有部分同學在連線時仍然用線段連結描出的點，那么圖象是不是這樣的一組折線(教師用幾何畫板演示)呢？你認為應該怎么辦？

圖3

師：結合圖象說說其性質(略).

2 教學片斷2：利用函數與函數之間的關聯，類比研究函數的圖象與性質

生11：函數y=x+1的圖象可由函數y=x的圖象向上平移一個長度單位而得.

生12：函數y=x+1的圖象可由函數y=x的圖象向左平移一個長度單位而得.

師：非常好！我們若從x變化的視角看，函數y=x+1的圖象可由函數y=x的圖象向左平移一個長度單位而得.如圖4所示，其實所謂y=x的圖象向左平移一個長度單位，就是其圖象上每個點都向左平移一個長度單位(教師取點演示).

圖4

圖5 圖6

生15：我在函數的圖象上取兩個特殊點P(1,1)、Q(-1，-1)，將它向左平移一個長度單位得到P′(0,1)、Q′(-2，-1)，然后以這兩個點為基礎畫圖，但畫圖時，掌握不了函數的彎度與其他點的位置.(圖6)

師：嗯！雙曲線的左右平移沒有直線平移那么直觀，也沒有那么好畫.如何大致地畫出平移后的圖呢？我們可以在原圖象上取幾個特殊點，將這些點向左平移，這樣連線即可(教師用幾何畫板演示如圖7).同學們現在可以再嘗試一下(學生繼續獨立完成圖象平移).

圖7 圖8

生16：可以將坐標系xOy向右平移一個長度單位變成新的坐標系xO′y′.

3 結語