深度探究問題，發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)*
——以一道圓錐曲線壓軸題為例

于 洋

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 江蘇省南京市劉明名師工作室 210003)

高中數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)被定義為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一．在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，一線教師普遍發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)算思路的探索和運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)上存在不足和欠缺[1]，然而運(yùn)算思路的產(chǎn)生是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，運(yùn)算思路是在深入分析運(yùn)算對(duì)象、結(jié)合運(yùn)算對(duì)象靈活使用運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精華[2]．因此，提升學(xué)生尋找運(yùn)算思路的能力將有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．本文通過對(duì)一道圓錐曲線壓軸題的多角度探究，啟發(fā)學(xué)生思考運(yùn)算方向，助力學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

1 問題呈現(xiàn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P(0,1)，點(diǎn)A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過A作斜率為k1的直線交橢圓于E，連結(jié)EP并延長(zhǎng)交橢圓于F，記直線BF的斜率為k2，若k1=3k2，求直線EF的方程．

2 解法探究

思路1 借助求根，關(guān)注通法

評(píng)注許多同學(xué)面對(duì)②式束手無策，因?yàn)橛身f達(dá)定理得到x1+x2，x1x2無法直接代入②式．這里運(yùn)用求根公式破解上述問題，無論x1和x2的系數(shù)是多少都不會(huì)影響到求根公式的代入.可見求根公式是解決解析幾何問題的通性通法，雖然繁瑣但有時(shí)能起奇效，要引起教師的足夠重視．

思路2 局部化簡(jiǎn)，優(yōu)化運(yùn)算

思路3 聯(lián)系和積，逐步求解

思路4 運(yùn)用結(jié)論，構(gòu)造對(duì)稱

即6(kx1+1)(kx2+1)=-(x1-2)(x2-2)．化簡(jiǎn)得(6k2+1)x1x2+(6k-2)(x1+x2)+10=0．

思路5 曲線消元，突破定勢(shì)

思路6 齊頭并進(jìn)，一算到底

3 聚焦解題方法，提煉運(yùn)算本質(zhì)

在數(shù)學(xué)課堂上，六種解法一一展現(xiàn)，學(xué)生們聽得如癡如醉，積累了解決復(fù)雜解析幾何問題的經(jīng)驗(yàn)，拓寬了解決數(shù)學(xué)問題的方法，但是看似精彩的課堂又能使學(xué)生收獲多少呢？已有的研究表明：教師在一題多解教學(xué)中常常盲目地追求解法的多樣，忽視解法優(yōu)劣的比較，導(dǎo)致學(xué)生把幾種解法放在同等的地位，下次面對(duì)問題時(shí)依然束手無策，“會(huì)解”與解決問題之間還存在著真實(shí)的差距[4]．所以，根據(jù)已有的研究成果[5]，筆者采用思維導(dǎo)圖(圖1)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)解決問題的六種路徑進(jìn)行全景式呈現(xiàn)，對(duì)解題思維進(jìn)行精細(xì)化剖析．

圖1

進(jìn)而得到結(jié)果．通過深入分析，我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)解法一、二、四、五的本質(zhì)都是將問題轉(zhuǎn)化成為關(guān)于k的一元方程，雖然這四種解法看似令人眼花繚亂，但究其本質(zhì)其實(shí)是消元思想的實(shí)際應(yīng)用．解法六與前面五種解法的區(qū)別在于利用y=k1(x+2)和y=k2(x-2)分別與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用k1=3k2化簡(jiǎn)得到關(guān)于k1的一元方程再求解k．解法六運(yùn)算繁瑣背后真正的原因在于不是將解題的目標(biāo)定位于求解k，而是借助k1求解k，本題k1的求解異常復(fù)雜導(dǎo)致學(xué)生利用解法六功虧一簣．通過不同方法之間的比較，學(xué)生進(jìn)一步理解了各方法的原理，理清了不同方法運(yùn)算優(yōu)劣的原因，領(lǐng)會(huì)了消元思想在運(yùn)算方法上的“高屋建瓴”．

4 反思探究過程，提升運(yùn)算素養(yǎng)

(1)重視通性通法，打牢運(yùn)算基礎(chǔ)

現(xiàn)在的解析幾何教學(xué)，一遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，有的教師就引導(dǎo)學(xué)生選取更簡(jiǎn)便的運(yùn)算途徑，但是簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法往往“技巧味”濃，學(xué)生短時(shí)間內(nèi)難以掌握導(dǎo)致考試時(shí)依然不會(huì)做．有的教師過度重視數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧導(dǎo)致學(xué)生忽視了數(shù)學(xué)運(yùn)算中的通性通法，就像解法1中，化簡(jiǎn)到2kx1x2+(2k+3)x1+(6k-1)x2+8=0這一步，就啟發(fā)學(xué)生思考其他方法而不是對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行深入探究，也沒有充分引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)去嘗試解決問題，從而導(dǎo)致學(xué)生失去了一次訓(xùn)練運(yùn)算基本功的契機(jī)，失去了一次成功解決問題的體驗(yàn)，更失去了一次提升運(yùn)算素養(yǎng)的機(jī)會(huì)．長(zhǎng)此以往，學(xué)生看到復(fù)雜的式子就產(chǎn)生了畏難情緒，不敢動(dòng)筆，其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)就難以提高．因此，筆者在課堂上給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，利用小組討論，啟發(fā)學(xué)生不斷思考解法1“能不能走下去”，最終得到求根公式的方法，使其恍然大悟，原來解決這個(gè)問題的方法在初中就學(xué)習(xí)過，這就促使學(xué)生掌握解決解析幾何問題的基本方法．在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生敢于進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算，加強(qiáng)對(duì)具體運(yùn)算過程的示范、引領(lǐng)、指導(dǎo)和要求，在練好數(shù)學(xué)運(yùn)算基本功的基礎(chǔ)上再尋求簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法[6]．

(2)順應(yīng)思維發(fā)展，突破運(yùn)算障礙

(3)發(fā)展多元思維，優(yōu)化運(yùn)算水平

通過這道圓錐曲線的多角度探究，啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思考，通過解法1和解法2，在求根公式的基礎(chǔ)上局部化簡(jiǎn)，幫助學(xué)生掌握解析幾何運(yùn)算中的通性通法．通過解法3，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，從聯(lián)系的視角探究運(yùn)算對(duì)象之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理中和與積的關(guān)系，從而化積為和，找到問題解決的方向．通過解法4和解法5，引導(dǎo)學(xué)生借助解析幾何二級(jí)結(jié)論和曲線方程本身將問題中的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)韋達(dá)定理的順利代入，拓寬學(xué)生解決問題的視野，深化“消元”思想的理解．通過解法6，讓學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜的運(yùn)算，探究繁瑣運(yùn)算背后的成因，使其感悟到：圍繞數(shù)學(xué)問題對(duì)象直接運(yùn)算是簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵．最后，筆者借助思維導(dǎo)圖促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題結(jié)構(gòu)與方法的比較，突出方法的本質(zhì)，不斷優(yōu)化解決問題的路徑，從而促進(jìn)學(xué)生選擇解決問題的最優(yōu)方法，實(shí)現(xiàn)解題最大效能．