基于“腦認知支架”的數學實驗教學*

孫朝仁

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

朱桂鳳

(江蘇省連云港市鳳凰學校 222003)

《人腦如何學數學》一書指出，對數學概念的最佳表述順序是“具體→半具體→抽象”．基于數學實驗經驗的抽象屬性，腦認知支架包括“準具體→半具體→不確定”等科學認知過程．“準具體”主要包括演示物、測量工具以及具體的操作活動，讓學生了解數學運算可以解決現實問題；“半具體”包括畫圖、拼圖、表格、圖象等，讓學生在問題解決的過程中看得見數學運算，揭示圖形與具體的關聯；“不確定”是思維“半開放”傾向，是學生為了展示對任務的理解而進行符號抽象與調節，并寫出相應的代數關系．

本文以因式分解為認知載體，在腦科學認知支架的支持下，展現概念的獲得、保持與遷移，突破數學難學的瓶頸，發展“學會學習”這一關鍵能力及其背后的求是品格．

1 設計“準具體”組塊支架，讓學生經歷概念的發生與還原

“準具體”是指標準的、具體的、規范的數學活動，即能直接簡明地揭示概念的發生與還原的數學實驗元素．像通過用“條件性紙片”拼圖來揭示因式分解的意義，就是一種準具體活動的范例．“組塊”是大腦將一組類似物體知覺成一個物體或一個組塊的能力，也可以是我們常說的“問題串”“問題反應塊”以及“編碼組塊”等序列思維載體或記憶載體體系．在數學實驗學習論范疇，腦科學研究認為，左腦長于語言描述、概念思維、細節分析、數字計算、邏輯思維等抽象思維，也就是左腦負責常規思維；右腦長于音樂欣賞、形象思維、整體圖像認知、三維空間認知等具體思維，也就是右腦承擔數學發現和數學創造．這就要求數學實驗設計必須符合學生的腦認知特點，方能促進創造，提高常規學習能力水平．因此，數學實驗需要關注以下幾個問題的思考：(1)設計好“準具體思維支架”，讓實驗活動有助于學生的“再發現”； (2)設計好“準具體思維組塊”，讓學生處于“類情境”思維活動中，促進“新奇思維”向“常規思維”轉化，提高科學認知能力；(3)在“類具體”問題解決過程中，驅動學生經歷概念的發生與還原，落實“知其然，知其所以然”的腦認知目標．

第一，“準具體思維支架”的搭建，要突出“做中學”特點，有助于學生的知覺學習．比如，“拼 圖→公式”，有助于直觀顯化公式的來龍去脈，有助于學生看得見公式的發生，這就是“實驗組塊”的積極意義．

第二，“類情境”的建立，讓學生在不斷地接觸系列情境中，獲得將“好奇”轉化為“常規”的能力，為“抽象”就緒知覺心理水平．比如，“翻牌游戲”不是讓學生在“好玩”中打轉思維，而是抽象出“數學運算”，這才是常規．實際上，好奇是創造的開始，常規才是創造的表達．因此，常規意味著一般、普遍，讓學生用一般化思想進行具體問題的解決，這就是創造．

第三，“類具體”就是讓學生用一般化思維解決梯度問題串，突出問題解決的相似度和方法套路，讓學生看得見“做數學”背后的概念關系．比如，通過“拼條件性長方形”揭示多項式因式分解的意義(圖1)，這就是類具體認知的常見思維方式．

另外，設計有效的“準具體”思維組塊，需要關注學生的認知心理水平，方能發揮組塊的作用，方能讓學生獲得概念及概念關系．在數學實驗活動論范疇，概念認知就是一組相關的心理活動，包括感覺、知覺、記憶、判斷、思維、推理、解決問題、學習、想象、概念形成和語言等．為此，“準具體”組塊支架的設計與實施，必須關注學生的知覺心理水平，讓學生在感知中發現，在變式中創造，在類思維中經歷概念的發生與還原，進而認識概念．

“數學實驗1”片斷：如圖1，設計的兩個問題就是“準具體”組塊支架的一個經典范式．學生通過新奇的“做”，在“做”中經歷概念的發生與還原,知道怎樣的“變形”屬于因式分解，看得見因式分解的樣子．

圖1

首先，讓學生用2張B型紙、1張C型紙拼長方形，圖1(1)是學生拼圖的一個清樣．讓學生從局部的角度計算大長方形的面積是a2+2ab，從整體的角度計算大長方形的面積是a(a+2b)，這就是新奇(拼圖和算圖)，是右腦承擔的思維任務．從不同角度看同一個圖形的面積，不難發現a2+2ab=a(a+2b)．這就是常規，這就是一般化思維，是左腦承擔的思維任務，是人腦學數學的一種約簡．

其次，讓學生用1張B型紙片全覆蓋在1張C型紙片上，圖1(2)是學生實驗結果的一種拼圖形態．從局部來看，未被覆蓋部分的面積是a2-ab，從整體角度看，未被覆蓋部分的面積是a(a-b)．這就是好奇學習，是右腦認知的結果．在“不同角度看問題”的思維參與下，可獲得關系式a2-ab=a(a+b)．這就是一種常規，是將“合情”上升為“合理”的思維方式，是概念的有序抽象(從“+”到“-”)．

最后，需要從算理內部關系驗證數學發現的科學性．通過讓學生用單項式乘多項式的方法確認算理的合理性．即計算(1)a(a+2b)；(2)a(a-b)，這就揭示了“整式乘法”與“因式分解”的互逆關系，突出了概念的發生與還原的思維過程．

設計意圖設計該實驗組塊，旨在讓學生從數學外部關系揭示因式分解的意義．如果說，拼條件性長方形是一種組塊支架，那么拼圖、算圖是一組類情境，則獲得因式分解意義是一種類具體，有助于學生將創造轉化為常規，將數學發現轉化為概念認知，這就是腦科學認知的一般方式．另外，增添單項式乘多項式的相關問題，有助于學生體驗概念的發生與還原，實現“知其然，知其所以然”的數學實驗目標．

2 確立“半具體”補償支架，讓學生體驗概念的同化與順應

腦認知起于準具體，成于半具體，終于符號抽象．半具體是發展學生思維能力的重要思維載體，通常以拼圖、畫圖和算圖的形式呈現．半具體補償支架意味著切入適當的逆向思維，讓學生在“做數學”中獲得系統概念及其概念關系體系，有助于可逆思維的發展．“從不同角度看問題”或者“一題多解”就屬于一種可逆補償思維方式．更進一步說，像圖1中通過拼圖揭示因式分解的描述性概念(像這樣……，叫做……)，就是概念關系的半具體呈現，是感性思維的一種補償．正是通過“拼”的動作，將感性的“做”上升為理性的“思考”(概念的初步揭示)．通過“變形”，將因式分解與整式乘法建立逆向關系，就屬于系統概念的表達方式，有助于概念屬性的抽象與補償(等號的右邊是幾個整式的積的形式)，有助于概念的適應性形成．在數學實驗實踐論范疇，概念的獲得必須經歷同化和順應兩個階段．同化就是用拼圖的形式呈現整式乘法運算的算理，也就是一種半具體的過程；順應就是通過變式拼圖，在“變形”思想 的參與下，展現因式分解的內部關系，擴大經驗的使用范圍，以適應新的問題情境(因式分解的 需要)．

事實上，好的數學實驗不止于認知同化，更在于認知順應．半具體為同化提供工具先行載體，像圖1的拼圖動作就是一種半具體．補償在于順應，指向新運算的發生(因式分解的發生)，有助于學生站在系統的高度，將形而下的“器識”(做數學)，上升為形而上的“思想”(反觀數學)．由“器識→思想”是一種大跨度的視認知行為，是腦認知的重要方式．在動物試驗(猴腦)研究中發現，視覺系統中的視神經和視束聯系著，包括枕葉、頂葉、顳葉和額葉中共30個腦區，約占全腦皮層的60%．這就是說，腦認知過程就是腦皮層認知的相互補償．為此，確立數學實驗半具體支架需要關注以下三個方面的補償作用，方能通過有序的做，促進概念的同化與順應：(1)讓學生經歷觀察學習，感知拼圖之上的同化，突出半具體問題支架的作用；(2)讓學生經歷變式，體驗概念的順應作用；(3)設計可逆問題，體驗概念的補償關系．

“數學實驗2”片斷：如圖2，設計的兩個問題就是半具體補償支架．通過“想圖、拼圖、數圖和算圖”，讓學生做中思考，在變中體驗不變、把握本質屬性，提高概念的同化與順應的腦認知水平．

圖2

第一，如圖2(1)，讓學生用2張A型紙、1張B型紙、3張C型紙，拼長方形．通過算圖獲得紙片面積的和為2a2+3ab+b2，這就是人腦枕葉發揮視思維作用的表現，即讓學生“看得見”二次三項式各項系數就是相應規格紙片的張數．通過“整體—局部”的思想寫出關系式2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b)，就是概念的同化，就是觀察學習的結果．

第二，如圖2(2)，讓學生通過拼圖，把二次三項式a2+4ab+3b2分解因式．其中，將這個二次三項式轉化為具體紙片的張數，就是概念的補償與變式，拼圖的過程就是一種半具體，分解因式的過程(a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b))就是概念的有效順應，擴大了經驗的適用范圍，即將整式乘法運算擴充到因式分解范疇，豐富學生的腦認知經驗．這與赫曼及其他的研究小組將“神經心理側化”優勢和PET技術結合建立了“全腦概念”具有內部關系一致性．

設計意圖設置該實驗補償支架，旨在讓學生通過按“張”拼圖、按“式”拼圖，在算圖思維的參與下，獲得概念關系，有助于學生進一步看清楚“因式分解的樣子”．如果說，“拼圖→算圖”是一種半具體，那么“按張拼→按式拼”是一種變式，則將整式乘法變形為因式分解是思維補償，是數學變式的最高境界．如果說，“拼圖+算圖”是一種同化概念的表現，那么“張→式”和“式→張”的變式是概念得以順應的關鍵，突出思維的補償與可逆，有助于概念關系的建立和數學素養的提升．

3 建構“不確定”共變支架，讓學生證悟概念的沖突與統一

在數學實驗認知論范疇，“共變”屬于哲學名詞，是一種變量思想及其運動變化趨勢，也是一種數學抽象及其普遍性抽象物．像“舉一反三”“以一當十”“道生無限”就是數學共變的常見形式．“不確定”意味著開放、半開放、反觀開放和條件性開放．像“舉例說明，你對概念的理解”以及“設計一個類似的拼圖實驗方案”等等，都是一個“不確定”的例子．數學上的不確定往往預示著科學發現的到來，是培養數學創造力的頂層思維載體．“不確定共變支架”就是設計緊密相關的類似的層次性的新問題情境，讓學生在不斷的新情境接觸中，形成成熟概念、單元概念和系統概念及其該屬域的各種概念關系和知識聯系．像用a×a,b×b和a×b(a>b)規格的紙片拼長方形活動，可以設置梯度實驗組塊,即任意拼長方形寫關系式、根據拼成的長方形寫關系式、固定紙片張數拼長方形以及需要調整紙片張數的拼圖及寫其關系式等，這就是共變的類情境的具體例子．其中，用“不確定紙片張數”拼圖有助于引發思維沖突，有助于概念的共變(概念共識)，在算理推演與證悟的參與下，解除概念沖突、形成概念統一的思維格局．這就是數學實驗“共變”的積極意義，這就是腦認知概念的一般形式，這就是數學實驗的“思度”與“證悟”．

教之道在于度，學之道在于悟，實驗之道在于“不確定”及其“共變”．從腦科學認知任務分類來看，左上腦皮層和右上腦皮層分別為神經心理的“理智本體”(理性思維)和“實驗本體”(感性思維)，而左下腦邊緣系統和右下腦邊緣系統分別為主司規劃途徑、組織事實、仔細檢查等心智活動的“組織本體”(基本技能、數學智慧)和主司人際關系、感受知覺、情緒表達等心智活動的“感覺本體”(基本經驗、認知情懷)．從數學實驗教學論來說，這里的“實驗本體→理智本體”可以解釋為讓學生在數學活動中，經歷開放問題的解決過程，從“不確定”走向“共變”．像“一提、二套、三分解”就屬于“不確定→共變”的腦認知的例子．這里的“感覺本體→組織本體”可以解釋為讓學生在做數學中，經歷“動手做”和“反觀思考”，將基本經驗轉化為數學智慧或者核心素養，這就是腦認知的心理過程．像上述通過拼圖寫出a2-ab=a(a-b)就是“經驗”轉化為“智慧”的一個樣例．為此，在數學實驗教學支持的體系范疇，建構不確定的共變框架，需要關注以下幾個方面的問題：(1)設計的情境能引發思維沖突，促進概念的共變，有助于學生深度學習；(2)用好“不確定性”，讓學生在做數學中體驗思維挫折，有助于概念的對立與統一；(3)問題半開放，思維“準半肯”，思考帶有積極的挑戰性，有助于學生證悟概念的差異，解除心理認知沖突，實現平衡．

“數學實驗3”片斷：如圖3，設計“不確定”共變認知支架，讓學生在判斷中做數學，在思考中產生認知沖突，在認知調節與經驗調用中，證悟概念、解除沖突和統一認識．

圖3

第一，讓學生按照給定的關系式a2+4ab+b2任意拼長方形，在動手拼和用腦思考的背景下，判斷為什么不能拼？進而確認二次三項式a2+4ab+b2能否分解因式，并指出這樣判斷的理由．即如果一個二次三項式能拼成長方形，則該二次三項式能分解因式；如果一個二次三項式能分解因式，則分解出來的兩個整式必然是拼成的長方形的長與寬．

第二，讓學生通過添加紙片的方式，也就是改變二次三項中單項式的系數，構造新的二次三項式，使其能拼成長方形．其中，多項式a2+3ab+2b2和a2+4ab+4b2是學生的研究共識．拼得的長方形(圖3(1))和正方形(圖3(2))，其相應的關系式為a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)和a2+4ab+4b2=(a+2b)2，像這樣從左向右的“變形”叫做因式分解，即等號右邊是幾個整式的積．

設計意圖設置該實驗項旨在讓學生在拼不成的認知沖突中，證悟“不是所有的二次三項式都能因式分解”，促進因式分解本質的外化．同時，通過調整紙片張數(多項式中各單項式的系數)使得能拼成長方形,旨在讓學生通過經驗調用和認知調節，解除不能拼的心理沖突，實現概念的共變和證悟，提高學生的逆向思維素養和數學探究情懷．

構建腦認知支架不止于概念的獲得、保持與遷移，更在于通過“做數學”引發好奇、興趣和沖突，借助組塊、補償和共變等腦認知支持體系，實現將“新異”轉化為“常規”，促進“右腦區認知”轉向“左腦區認知”，構建“全腦概念”．這就是數學實驗教育的科學設計，有助于創造力的觸發和經驗增值，有助于概念的同化、順應和重組，有助于提升腦認知背后“慢的”學習情懷和數學智慧．