寓數于形 以形釋數*
——例談數形結合思想在初中數學函數教學中的應用

徐敬華

(江蘇省蘇州市景范中學校 215005)

1 在初中函數教學中滲透數形結合思想的必要性

數形結合思想在函數以前的章節中已經接觸過，比如利用數軸來學習相反數和絕對值的概念，在列方程解應用題中通過畫數軸示意圖來顯示相關量的取值范圍、轉化難點等．不過學生在學習函數之前的內容中應用數形結合思想解決問題也許還僅僅停留在不自覺或只是在其中個別的內容上．而當學生進入到函數的學習中時，就會發現數形結合思想已經遍布絕大部分的知識點．學生會感覺到函數圖象直觀地反映了函數變量之間的相互關系，而函數解析式又精確刻畫了函數圖象的特征．經過函數的學習，學生能逐步清楚地認識函數變量之間的關系和函數的圖象是緊密聯系的，既可以利用變量之間的關系找出函數隱含的圖象信息，也可以通過函數的圖象描述函數變量之間的關系，由此學生能真正感受到數與形是不可分離的，數形結合思想就在他們的認知中得到了升華．該思想既是學生掌握函數知識的助手，也是學生解決難題的武器．因此筆者認為，在初中函數教學中教師若能適度滲透數形結合的思想和方法，對于更好地引導學生理解函數的本質含義，拓展解題思路是十分必要的．

2 數形結合思想在函數教學中的適度滲透

在函數教學的每一章節內容中，數形結合的思想和方法無不發揮著不可替代的重要作用．筆者結合自身的教學實踐，選取了以下幾個重要的“節點”，作為教學中滲透數形結合思想的探索和嘗試．

2.1 在學習坐標及坐標系時數形結合思想的滲透

平面直角坐標系及坐標概念的學習是函數知識教學的起點．函數圖象都由一個個點組成．平面直角坐標系是描繪函數圖象的“畫布”，是數和形結合的平臺．而坐標則把點的位置用一組有序的實數對一一表現了出來．在教授這一內容時，教師可以把數形結合的思想和方法有機地加以滲透．應讓學生理解點的位置和點的坐標是一一對應的：橫坐標的大小表示點在水平方向(左右)所處的位置，縱坐標的大小表示點在豎直方向(上下)所處的位置等．

筆者設計了以下幾個問題，讓學生在學習這一節中的有關概念后進行思考：(1)在每個象限中點的橫坐標和縱坐標的符號是什么？(2)在坐標軸上的點的橫坐標和縱坐標有什么特點？(3)點(4,-5)在哪個象限？(-3,0)呢？(4)如果把點(m,n)向左上方向移動，那么這個點的坐標怎么變化？(5)點(m+2,n-2)在點(m,n)的什么方位？

筆者認為，學生思考的過程正是數與形在他們頭腦中形成聯系的過程．經過上述此類問題的訓練，學生具有了初步的數形結合的思想意識和能力，為以后學習具體的函數奠定了基礎．

2.2 在學習作函數圖象時數形結合思想的滲透

如果說平面直角坐標系是描繪函數圖象的“畫布”，那么函數圖象則是畫在畫布上的美麗圖案．函數的解析式體現了圖象中每一個點的坐標共同的數學特性．在進行這一節教學時教師應該注意數形結合思想中“用代數的精確來刻畫幾何圖象”能力的培養，要求學生從函數解析式的 基本性質出發，運用合理的邏輯推導，思考該函數圖象所具有的一些顯而易見的特征．以下是筆者在教授作反比例函數圖象一節中所作的一些嘗試．

師：那么這個函數的圖象和坐標軸會有交點嗎？

生：如果函數圖象和坐標軸有交點，那么這個交點的橫坐標或縱坐標至少有一個為零，而觀察這個函數的解析式可以發現x和y的值都不可能等于0，所以這個函數的圖象和坐標軸不會有交點．

師：剛剛我們發現這個反比例函數的圖象應該在二、四象限，而這個函數的圖象又和坐標軸沒有交點……

生(還沒等教師說完)：哦，這個函數一定是分成了“兩塊”，分別在第二和第四象限．

師：大家講得都很好．現在可以通過列表、描點、連線，把這個函數圖象畫出來了．

筆者認為，以上內容可以安排在要求學生畫函數圖象之前進行，筆者發現學生在經過了前面數形結合的質疑思考后明顯對函數圖象的形態有了濃厚的興趣，覺得自己不用畫圖就可以推測出這個函數圖象的一些特征，由此產生了一定的成就感．反映在回家作業中，學生描畫函數圖象的正確率也有了顯著的提高，特別是以前經常出現的把反比例函數圖象和坐標軸相交的錯誤幾乎不見了．

2.3 在教授函數圖象性質時數形結合思想的滲透

函數圖象的特征和函數的性質是緊密聯系在一起的，圖象的直觀性有助于理解函數的性質．根據函數圖象討論函數的性質，借助函數圖象的直觀性解決實際問題，能使學生化抽象為具體，將數與形在頭腦中有機地聯系起來．

例如，在講授二次函數圖象中關于對稱軸對稱的兩點坐標的關系時，筆者進行了如下設計：

師：在拋物線上關于對稱軸對稱的兩個對稱點坐標有什么特點呢?

圖1

生：過已知點A，作對稱軸的垂線，交拋物線于點B，點B即為所求的對稱點．線段AB交拋物線對稱軸于點M．(用幾何畫板繪制圖象)

師：很好！請同學們再觀察一下，我們在圖象上找拋物線上任意一點的對稱點，這樣的A,B兩點和點M有什么關系？

生：兩對稱點連線段的中點M(x,y)在拋物線的對稱軸上，即線段AM=BM．

師：那么點A和點B的坐標有什么特點呢？它們和點M的坐標有關系嗎？

生：因為兩對稱點連線段的中點M(x,y)在拋物線的對稱軸上，根據中點坐標公式，我們可以得到x1+x2=2x．

在以上教學過程中，學生利用數形結合思想，對函數圖象性質進行了討論，把代數問題“關于對稱軸對稱的兩個對稱點坐標有什么特點”轉化為“在圖象上，A,B兩點具有什么關系”,由數轉化到形，把抽象的問題具體化了，學生也就很容易得出結論了．

筆者認為這樣通過代數計算驗證，比用觀察有限圖象的方法得到函數圖象性質，有更深刻的認識．

2.4 在函數解題教學中注重數形結合思想的滲透

數學教育家波利亞在其著作《數學的發現》中曾經說過：“數學教學就是解題教學，數學解題就是由條件指向結論的一系列思維過程．在一些數學題目中，單方面從條件或從結論去著手，往往很難得出滿意的結果．如果可以利用數形結合的思想，考慮題目中式子的結構特點，作出相關的函數圖象，往往可以得到很好的效果．”可見，數形結合的思想和方法在數學解題教學中具有獨特的優越性．

事實證明，將數形結合的思想和方法有機地滲透在初中函數教學中，拔掉了數學課堂趣味性的塞子，開啟了學生思考多方法解決問題的閥門，推動學生透析問題實質、發掘數形關系，促進其開展邏輯又形象的思維活動，提高數學思維的品質，從而取得顯著的教學效果．

3 數形結合滲透教學中應該注意避免的幾個問題

數形結合思想是一個非常實用的“問題解決”的思想方法，具有廣泛的普適性和應用價值．但是，任何思想和方法都不是萬能的，在函數的教學和學習中，對于這種思想方法的選用應持審慎和辯證的態度，以避免出現一些不應有的差錯．

3.1 在應用性問題中避免函數自變量的取值范圍和實際情況不符

初中階段，學生主要學習一次函數、反比例函數和二次函數，這三種函數中除了反比例函數自變量取值范圍不能為0，其他兩種函數的自變量取值都是一切實數．但是在一些應用問題中，函數自變量的取值范圍還和實際情況有關．例如，當函數的自變量表示為具體的人數時，那么它的取值范圍就不會是全體實數，而應該是自然數，畫出的圖象也應該是不連續的．

3.2 在研究函數性質時避免由作出的圖象直接猜測答案

雖然用直觀的圖象表示抽象的函數十分便捷，用這種方法來估算題目的答案不失為一種有效的方法，但是我們作出的圖象一般僅僅是函數圖象的一部分，并不是函數圖象的全部．另外在作圖中往往還有誤差存在，這就導致了得出的結果不完整甚至不準確．因此，用函數圖象猜測問題答案僅僅是一種手段或方法，這種方法很直觀，但不是精準和完美的．教師在教學時不僅要鼓勵學生大膽利用數形結合的思想和方法以形助數，更應培養學生嚴謹的思維習慣，學會運用嚴密的邏輯論證或推理來得出準確的結果．

4 結語

整個函數的學習過程，核心思想就是數形結合．教師在教學中，應該重視數形結合思想的滲透，使學生逐漸養成應用數形結合的思想和方法進行“問題解決”探索的思維習慣，由此才能不 斷提高學生的邏輯思維能力和形象思維能力， 并真正實現學生分析問題和解決問題能力的有效提升.