基于學習進階的初中數(shù)學單元復習課教學路徑探析*
——以蘇科版八上“勾股定理”復習為例

周玉俊

(江蘇省東臺市教師發(fā)展中心 224200)

2019年，教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評價體系》，作為未來指導高考內容和命題工作的綱領性文件，高考評價體系確立了“一核、四層、四翼”的理論體系框架[1](圖1)．其中作為教學引導的“一核——立德樹人、服務選材”和作為考查內容的“四層——核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力和必備知識”為我們的日常教學明確了具體要求和目標方向．

圖1 “一核四層四翼”的 高考評價體系

作為日常教學的一種重要課型，單元復習課承載著幫助學生梳理知識、完善結構、發(fā)展思維、提升素養(yǎng)等諸多教學功能，一直以來存在“大容量”“快節(jié)奏”和“高難度”等傾向，教師講得多，學生活動少且往往疲于應付，學習效果不佳．本文試圖結合“一核、四層”教學要求，以“勾股定理”單元復習教學為例，以學習進階理論為依托，搭建以“問題鏈”為載體的進階層級，探尋適合學生單元復習課教學實施的路徑和有效策略．

1 “學習進階”的內涵

學習進階(Learning Progressions,簡稱Lps)也稱學習進程，是近幾年美國科學教育改革中一個新興的概念，是對學生在一定時間跨度內學習和探究某一主題時依次進階、逐級深化的思維方式和學習路徑的描述，其本質是圍繞學科中對某個學習主題的認知發(fā)展過程，構建基于學生認知發(fā)展的學習進階路徑．學習進階理論認為，學生對某一主題的學習不是一蹴而就的，需要經歷進階起點、許多個不同的中間水平從而到達進階的終點．學習進階定量描述了學生在學習某一主題時不同的思考階段，重視學生的深度思考，進而尋求最佳的教學模式，以促進各水平“階”的發(fā)生．[2]

新修訂的2020年《普通高中數(shù)學課程標準》(以下簡稱“新課標”)指出：在教學活動中，教師應合理設計教學目標，通過相應的教學實施，在學生掌握知識技能的同時，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升及水平的達成．教師應結合相應的教學內容，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生核心素養(yǎng)達到相應水平的要求．[3]在學習進階理論視域下，學生在學習和探究某一主題時，比如初中數(shù)學單元復習課，教師能否準確把握學生不同學習階段的水平層次，采取科學合理的方法和手段幫助學生有效實現(xiàn)學習進階是值得學習和研究的課題，這對包括新授課在內的其他課型也有現(xiàn)實的借鑒意義．

2 “學習進階”的學情分析

2.1 進階起點

“勾股定理”是平面幾何中一個極其重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，是“數(shù)形結合”的重要橋梁和紐帶．根據(jù)課標要求，蘇科版八上第三章《勾股定理》[4]的學習，學生要能準確、系統(tǒng)、清晰地把握勾股定理及逆定理的內涵和相互關系，并能應用定理解決簡單的實際問題，這是各級學業(yè)水平考試的基本要求，也是本節(jié)課教學的進階起點．

2.2 進階目標

一級目標：在準確把握勾股定理內涵的基礎上，能結合具體情境解決簡單的實際問題；二級目標：培養(yǎng)學生在綜合情境中解決復雜問題的能力，積累數(shù)學活動經驗，感悟“數(shù)形結合”“化歸”和“方程”等數(shù)學思想方法，發(fā)展學科核心素養(yǎng)；三級目標：通過課題學習，讓學生經歷了解勾股定理歷史，講古今中外數(shù)學家研究勾股定理有趣的故事，收集整理勾股定理的各種證法等過程，培養(yǎng)學生的科學精神和愛國情懷，落實“立德樹人”目標．

2.3 進階障礙分析

由于新課教學時間偏緊，沒有對勾股定理歷史及證明的學習充分展開，加之后續(xù)又學習了實數(shù)等內容，對原有知識的遺忘在所難免，造成部分學生對定理的證明不甚了解，只能是“知其然”而不“知其所以然”；技能方面，不少學生對在相對復雜情境中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學關系，進而找到合適的目標三角形意識和能力不強，這是本課學習進階的難點，也是主要障礙；還有一些學生對定理、逆定理條件與結論之間的邏輯關系不清，缺乏有條理地思考和表達的能力；在解決立體圖形表面“最短路徑”問題中，通過空間想象和圖形展開折疊構建目標三角形也是學生能力的障礙點.另外，如何通過專題學習，加深學生對定理豐富內涵的認識，培養(yǎng)科學精神和愛國情懷，對學生的合作意識和實踐能力也提出了較高要求．

3 基于“學習進階”的教學設計

3.1 環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設

問題1如圖2，這是矗立在薩摩斯島上的雕像，它給你帶來怎樣的數(shù)學聯(lián)想？

圖2

生：我能從圖中抽象出一個直角三角形．

師(追問)：直角三角形的角和邊有哪些性質？

由此引入課題．

教學意圖以問題1為載體引導學生回顧知識、建構體系，為本節(jié)課教學設置基礎的知識臺階和思維起點，進而明確進階目標和進階路徑．同時，問題1也是很好的數(shù)學史素材，為學生更好地了解勾股定理埋下了伏筆．

3.2 環(huán)節(jié)2：自主測評

共5小題，限于篇幅，題目略．

教學意圖讓學生養(yǎng)成自主整理知識的習慣，指導科學的復習方法是復習課教師的重要職責．課前教師布置學生進行自主復習，在此基礎上完成自我檢測，經教師批閱后，自主訂正，課上教師針對性地提問、引導，將知識梳理和小題解析相融合．在題目設置上，第1小題前兩空是定理的直接應用，第3空考查了定理的幾何意義；第2小題考查了勾股定理逆定理和“勾股數(shù)”；第3小題強調了定理的本質內涵是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，同時滲透了分類討論的思想；第4小題是綜合應用定理和逆定理求四邊形的面積，意在讓學生明確定理和逆定理的邏輯關系，進行有條理的思考和表達；第5小題是用“趙爽弦圖”證明定理，目的在于強化邏輯推理，提高學生思維品質，同時也是進行德育滲透、落實“立德樹人”目標的具體體現(xiàn)．

3.3 環(huán)節(jié)3：問題解決

問題2《九章算術》中的“折竹抵地”問題：如圖3，一根竹子，原高一丈(一丈等于10尺)，一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？

圖3 圖4 圖5

問題3(變式1) 《九章算術》中的“引葭赴岸”問題：如圖4，有一個池塘，其截面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為一尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊，那么水深和蘆葦長各多少尺？

問題4如圖5，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6 cm，BC=8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．

問題5(變式2) 如圖6，在長方形ABCD中，AB=16，BC=8，將矩形沿AC折疊，點D落在點E處，且CE與AB交于點F，求線段AF的長．

圖6

問題6如圖7，測得長方體的木塊長4 cm，寬3 cm，高4 cm．一只蜘蛛潛伏在木塊的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方體上和蜘蛛相對的頂點B處，蜘蛛究竟應該沿著怎樣的路線爬上去，所走的路程會最短？請求最短路徑的長．

圖7

問題7(變式3) 求螞蟻在圓柱表面從一點爬行到另一點的最短路徑長．(題目略)

問題8(變式4) 一只螞蟻在一個三級臺階上沿著臺階面從點A爬到點B，求最短線路的長．(題目略)

教學意圖本環(huán)節(jié)共設置7個問題，分為三個不同層級.問題2和問題3為第一層級，選取的是兩道我國古代問題，一道作為例題、一道作為變式練習，兩題的共同之處在于把生活情境轉化為數(shù)學問題后，都可以用勾股定理構建方程模型解決問題，區(qū)別在于問題3轉化的難度比問題2稍大；第二層級是問題4和問題5，兩題都是以幾何圖形為背景，通過“邏輯推理”尋找目標三角形解決問題，難度上問題5的圖形和關系稍難于問題4，相對于題組一，這兩題要求學生能有條理、符合邏輯地思考和表達，是培養(yǎng)學生良好思維品質和理性精神的好的載體；第三組題是問題6～問題8，都屬于求立體圖形表面“最短路徑”問題，為發(fā)展學生直觀想象能力，讓學生課前制作相應模型，課上自主進行操作探究，通過展開與折疊在同一平面內尋求關系解決問題．三組題雖然看似形式各異，但從數(shù)學本質上看都是在直角三角形中“知二求一”，用勾股定理來解決，一條主線，一個模型，讓整個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)緊扣，一氣呵成！實際教學時問題2、4、6作為例題處理，其他題目作為相應變式練習讓學生當堂鞏固，問題8可視課堂時間備用，也可作為當天班級的“每日一題”使用．

3.4 環(huán)節(jié)4：課堂測評

限于篇幅，略．

3.5 環(huán)節(jié)5：課題學習

可安排課外時間實施．

問題9勾股定理形式簡單，寓意深刻，你希望更多了解勾股定理嗎？3～5人一組，選擇下面一個感興趣的課題進行研究：(1)閱讀有關書籍或查閱有關資料，了解有關勾股定理的歷史；(2)閱讀有關書籍或查閱有關資料，收集整理勾股定理的各種證明方法．

問題10圍繞以下話題進行交流，并分組制作一張專題手抄報：(1)說說你所知道的古今中外的數(shù)學家有關研究勾股定理的有趣故事；(2)介紹你搜集的驗證勾股定理的一種方法；(3)談談在上述課題學習活動中你的收獲和困惑；(4)手抄報評比交流．

教學意圖《勾股定理》一章包含極為豐富的德育滲透點，為充分發(fā)揮其育人功能，實現(xiàn)“立德樹人”價值追求，上述環(huán)節(jié)讓學生有機會通過小組合作和研究性學習的方式，更多地了解勾股定理發(fā)展史，了解我國古代在這方面取得的成就以及古今中外的數(shù)學家研究勾股定理的故事，搜集勾股定理的不同證法，最后通過制作手抄報的形式進行成果展示，以潛移默化地培養(yǎng)學生的科學精神和愛國情懷．限于課堂容量，本環(huán)節(jié)也可以安排課外時間專門進行實施．

4 關于學習進階路徑設計與實施策略的幾點思考

4.1 實現(xiàn)學習進階，在目標達成上必須以“立德樹人”核心價值的落實為統(tǒng)領

2020年新修訂的普通高中課程標準再次明確了堅持正確的育人方向，落實“立德樹人”根本任務的要求．當前，樹立以人為本立德樹人的教育觀，并在具體學科教學中加以有效落實，理應成為我們每個學校和教師的自覺行動．

數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分．數(shù)學學科同樣承載著落實立德樹人根本任務的重要職責．不同版本的數(shù)學教材每個章節(jié)(單元)都或多或少包含進行愛國主義教育、培養(yǎng)學生科學精神的內容，對此教師要充分關注，教學設計時要有意識以此為“孕育點”和“生長點”，結合特定教學任務進行滲透和強化．單元復習課教學時，教師要充分挖掘教材中鮮活的德育素材，并及時進行“畫龍點睛”式的引導，以提升課堂的育人價值．

勾股定理被稱為“人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一”，其中蘊含極為豐富的德育題材，是進行德育滲透、培養(yǎng)學生理性精神和愛國情懷不可多得的“孕育點”“生長點”．本節(jié)課以課題學習為組織形式，讓學生閱讀有關書籍或查閱有關資料了解有關勾股定理的歷史、收集整理勾股定理的各種證明方法、講古今中外數(shù)學家有關研究勾股定理的有趣故事、制作專題手抄報以及交流自己在活動中的收獲和困惑等，這樣做的用意就在于遵循學生身心發(fā)展規(guī)律，用文化的力量厚植他們的愛國情懷，提升核心素養(yǎng)．

4.2 實現(xiàn)學習進階，在路徑設計上要從“顯性”和“隱性”兩個不同維度分層進行設計

確定“雙目標”主線，幫助學生完善知識結構、提升思維能力和學科素養(yǎng)水平，實現(xiàn)認知能力的螺旋式上升是單元復習課設計的高層次追求．[5]教師須從“顯性”的知識技能層級和“隱性”的學科素養(yǎng)水平層級分別設計相應的進階路徑，做到“顯性”和“隱性”的有機融合和辯證統(tǒng)一．

在學習進階理論視域下，本文從知識與技能的角度把勾股定理的應用劃分為四個水平層級．自主測評的第1小題是最為簡單的“在直角三角形中知二求一”，屬于直接運用知識，我們把它標記為水平一；問題2及其變式數(shù)學本質是“已知一邊及另兩邊的關系”，解題時需要用方程來解決，屬于間接運用知識，我們把它標記為水平二；問題3及其變式要求學生能在綜合情境中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學關系，進而找到合適的直角三角形來解決問題，推理和表達的要求也略高于問題2，屬于靈活運用知識，我們把它標記為水平三；問題4屬于立體圖形表面兩點間的“最短路徑”問題，需要學生進行直觀想象，在平面圖形中構建直角三角形解決問題，屬于綜合運用知識，我們把它標記為水平四．

各水平層級之間的進階路徑如圖8所示．從學科素養(yǎng)水平層級看，本節(jié)課的進階路徑設計如圖9所示．

圖8 知識技能的 圖9 學科素養(yǎng)水平 進階路徑 進階路徑

本節(jié)課教者從“顯性”的知識技能層面和“隱性”的學科素養(yǎng)層面精心設計了兩條由低到高、漸次提升的進階路徑，一明一暗，互相交融，共同服務學生學習進階的整個過程．

4.3 實現(xiàn)學習進階，在教法選擇上要重視采用“問題鏈”的形式展開教學

“問題鏈”教學法是指在教學中，教師依據(jù)教學目標將教學內容設置成以問題為紐帶、以知識形成發(fā)展和培養(yǎng)學生思維能力為主線、以師生合作互動為基本形式的新型教學模式．問題鏈教學著力提高學生學習的積極性和參與度，增強課堂教學的思維層次，對于促進課堂教學提質增效具有重要意義．[6]

實施“問題鏈”教學，關鍵在設置問題，要領在問題成“鏈”．精心選題是設計“問題鏈”的基礎，進行單元復習教學，教師要認真研讀教材，領會每道例、習題的設置意圖和教學功能，圍繞學習進階目標精心選題，并可作適當改編，作為教學的主要題源，同時，近幾年全國各地好的中考題也是選題的重要資源．在初步選題的基礎上，教師要仔細研題，弄清每道題包含的數(shù)學內涵，圍繞教學主線，按照不同層級，選取一些形式上有異而本質關聯(lián)的題目以“問題鏈”形式加以呈現(xiàn)，并在此基礎上進行變式拓展，幫助學生舉一反三、觸類旁通，加深對知識本質的理解，促進深度學習．

本節(jié)課在問題解決環(huán)節(jié)設置了自然、流暢的“問題鏈”，包括三道例題及同類變式題，三道例題之間以定理模型的運用相互關聯(lián)，串聯(lián)成“鏈”．問題2是以實際問題為背景，在抽象成數(shù)學模型后，可以用方程來求解；問題3以幾何圖形形式呈現(xiàn)，學生需要在相對復雜的圖形中，通過推理尋找一個目標三角形，用勾股定理列方程來解；問題4可以直接用勾股定理來計算，但前提是要將立體圖形轉化成平面圖形，再構建一個合適的直角三角形．

除了在大的教學環(huán)節(jié)設置“問題鏈”外，在每道題的教學過程中，“問題鏈(串)”的設計也十分必要．比如問題4的教學，可以設計如下幾個問題：(1)你打算如何求CD的長？(2)為什么要這樣求解？(3)你是怎樣想到這樣做的？(4)以上的思考過程包含怎樣的數(shù)學思想方法？(轉化化歸、方程(模型)、數(shù)形結合等)；(5)通過本題的解答你積累了哪些解題經驗？這樣在大的“問題鏈”框架之下，再配以小的“問題鏈(串)”，通過系列問題引領，讓學生充分暴露真實的思維過程，領悟數(shù)學的思想和方法，讓學科素養(yǎng)在潛移默化中不斷得到提升！