“說數學”在高中試卷講評課上的應用案例探究*

鐘進均 何重飛 陳 亮

(廣東省廣州市鐵一中學 510440)

1 引言

1981年英國《Cockcroft報告》指出，教數學的主要理由在于“數學提供了有力的、簡潔的和準確無誤的交流信息的手段”[1]．《普通高中數學課程標準(實驗)》明確指出，要重視學生的數學交流能力的培養[2]．“說數學”是數學交流的重要形式之一，屬于口頭交流形式．“說數學”是指個體用口頭語言表達自己對數學問題的具體認識、理解，解決數學問題的思路、思想和方法以及數學學習情感、體會等的數學學習活動[3]．它包括“說知識”“說過程”“說異見”和“說體會”，分別指口頭表達具體的數學知識、個體解決某數學問題的過程、口頭表達個體對數學問題解決的過程和結果的不同看法和個體探究某數學問題后的情感體會．

“任何較為復雜的實踐活動都不可能通過簡單套用某一現成的理論就可獲得成功；恰恰相反，由于對象與情境的多元性與復雜性，所有的實踐不可能被完全納入任何一個固定的理論框架”，“我們應更加重視‘實踐性智慧’”，“借助于案例進行思維”，“作為反思性實踐者，應當高度重視案例(包括正例和反例)的分析與積累，并能通過案例的比較獲得關于如何從事新的實踐活動的重要啟示”．[4]如何提高試卷講評課的教學效果，是一線數學教育工作者討論的熱門話題之一．本文擬對如何在試卷講評課上實施“說數學”展開探討．

2 案例描述

這是一節高二理科數學試卷講評課．講評的對象是一所市級重點中學的創新實驗班學生．任課教師長期研究和實施“說數學”教學方式，在這節課上講評了一道試題：

如圖1，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為( ).

圖1 圖2

圖3

圖4

突然，平時數學成績很優秀的學生T舉手，問：“老師，如△EAB所在平面和平面ABCD不垂直，如此做還可以嗎？”很多學生馬上回答：“還是可以的啊．”教師面向全班問：“為什么啊？”座位靠近講臺的女生M起立回答說：“老師，因為點I是等邊三角形EAB的重心，也是它的外心，所以I到A，B，E三個點的距離都相等．因為直線IH垂直于平面EAB，所以易證得直線IH上的任意一點到A，B，E三點的距離都相等，所以HA=HE=HB．同理可得，HA=HC=HD=HB．也就得出點H是所要求的外接球的球心了．上面的推導不會受到平面EBA是否與平面ABCD垂直的影響．”教師再問：“其他同學有補充嗎？”此時，很多學生還在盯著黑板上的圖形在思考，沒有人提出其他意見．教師說：“M同學的解釋完全正確，很好地回答了剛才T同學的提問．這是一道很好的試題，考查了球的表面積計算公式和空間想象能力．前面幾位同學的表現很好，能主動分享自己的解答，提出質疑，能積極主動思考，很不錯！盼望同學們以后要繼續發揚積極思考、敢于提問、勇于表達、善于辯駁的學風．這樣，我們的課堂學習才更好玩、更有趣、也更有效．”至此，這道題的講評結束了，共耗費了大約20分鐘時間．

3 案例分析

3.1 教師要切實更新數學教學觀念

“要實現數學課程改革的目標，教師是關鍵．教師應首先轉變觀念，充分認識數學課程改革的理念和目標，以及自己在課程改革中的角色和作用．……教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者”，“引導學生積極主動地學習，掌握數學的基礎知識和基本技能以及它們所體現的數學思想方法……提高數學素養，形成積極的情感態度，為未來發展和進一步學習打好基礎”，“教師應幫助學生理解和掌握數學基礎知識、基本技能，發展能力”，“口頭、書面的數學表達是學好數學的基本功，在教學中也應予以關注”，“豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念……教師的講授仍然是重要的教學方式之一，但要注意的是必需關注學生的主體參與，師生互動”，“應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與．……教師要創設適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程．”[5]上述案例中的教師未完全采用傳統的試卷講評方式，自己先介紹了課前準備的解法：將“錐”補為“柱”，運用了轉化思想，將“求棱錐的外接球表面積問題”轉化為“求棱柱的外接球的表面積問題”．此種解法確實很常用．但在教師講完之后，學生馬上提出要“說異見”，教師能即時搭建平臺，給學生W上講臺“說異見”的機會，組織學生認真、耐心聆聽，還及時評價學生W的表現．這表明教師的教學觀念比較新，符合課改理念．后面他鼓勵其他學生繼續“說異見”，基本上把整個課堂都交給了學生去討論、表達自己的看法，教師充當啟發者、引導者、組織者的角色，十分難得！如此的試卷講評課，絕對不是教師臨時、刻意安排的，而是其經過長期的數學教學實踐、學生已對此教學方式十分熟悉的情況下的一節常規課，是“真實課堂”，而不是“表演課”．多位學生的“說異見”必然占去很多課堂時間，耽誤了教師課前預設的教學安排，但是，如果教師不給這些學生“說異見”的機會，那么學生來之不易的點滴思考成果又如何能與老師、同伴分享呢？學生在課堂上的主體地位又如何體現呢？因此，組織學生“說”是一種數學教學方式，是傳統的教師講授的有效補充，能體現學生學習的主體性，能鍛煉學生的口頭表達，有助于激發和鼓勵學生積極參與數學學習活動．沒有學生的積極參與、深入思考和自主探索，甚至合作交流，學生又怎么能“說”得那么自信、那么自然、那么深入呢？因此，按照課程標準的要求，更新數學教學觀念十分重要！

3.2 教師要創設機會暴露學生的數學思維過程

對幾何思維而言，幾何概念的生成就是其最為基本的(直接的、原始的)思維過程，可被看成以物質對象的直接感知為基礎的一種“經驗抽象”．空間想象能力是指在頭腦中能正確地反映出客觀事物的空間形式，包括物體的形狀、大小、位置關系等．從心理學角度看，這是指能夠依據感覺經驗在頭腦中正確地建構起客觀事物的直觀表象，也即能夠建構起這樣的整體性心理表征，它與所表示的外部物體或情景在很大程度上是同構的；在更為高級的意義上，空間想象力還包括了由詞語的定義或符號去建構起相應的圖形或表象．這也就是由所謂的“概念定義”過渡到“概念意象”[6]．

數學形象思維是主體內部發生的心理過程，數學物象只有轉化成主體的觀念性形象才有可能進入思維過程[7]．在數學活動中，數學物象首先通過人的感官轉化成人的知覺形象，它是在主體受到數學物象刺激的條件下產生的，是對數學物象的反映．知覺形象受制于直接呈現的數學物象，當數學物象呈現在主體面前時，主體內部產生相應的知覺形象，一旦離開了數學物象，主體內部的知覺形象就隨之消失．數學表象是數學形象思維的心理元素，可分為圖形表象和圖式表象．圖形表象是人腦對幾何圖形感知而形成的表象，而圖式表象則是對數學式子、結構、關系、模型感知而形成的表象．數學形象思維是人腦對表象信息進行加工并得出新的數學表象的思維，其形式有數學表象的形成、分解與組合、聯想和想象[7]．僅從以上形象思維的角度看，學生的數學思維過程十分復雜．培養學生的數學思維是數學教學的重任．教師應該搭建平臺、想盡辦法讓學生暴露自己的數學思維過程．“暴露”思維對任何人而言都不容易．“只可意會而不可言傳”就是如此道理．

就上述案例中的題目而言，解答的關鍵點是如何確定棱錐的外接球的球心．教師介紹了“補”的方法，運用了轉化思想，這體現了教師把這個棱錐看成對應的棱柱的一部分，由“錐”想起了“柱”，這樣“棱錐”的外接球球心就是“棱柱”的外接球球心．這是教師的形象思維，反映出了圖形表象．學生W看到此題，想到的是建立坐標系，運用計算的方法求出球心的坐標(位置)，再求出相應外接球的半徑．學生W的數學思維和教師的差異很大，既有圖形表象，又有圖式表象．學生W要建立坐標系，需對整個圖形有正確認識，懂得如何確定原點、坐標軸，懂得確定有關點的坐標，還要掌握空間直角坐標系中的有關運算技能．很明顯，學生W的解答比教師的運算量更大些．學生Z牢牢抓住了△EAB是等邊三角形這個條件(圖形表象)，容易確定△EAB的外接圓的圓心I(也是△EAB的重心)，然后過該圓心作△EAB的垂線IH，同理作出矩形ABCD的重心F所在直線FG，直線IH和FG的交點就是所要求的外接球的球心．學生Z的解法完全是依據△EAB的圖形表象，他熟練掌握了確定幾何體的外接球球心的通法．容易看出，上述各種解法(思路)反映了解答者不同的數學思維特點．只有解答者暴露了自己的數學思維，其他人才能知道“他到底是如何想的”，也就是其數學思維如何，是圖形表象居多，還是圖式表象居多．不同的數學思維反映了不同的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．當教師給多位學生機會展示他們自己的不同解法(“說知識”“說過程”)時，就暴露了學生的數學思維．信息處理時利用頭腦中形成的圖式，對知識進行取舍、改變的過程稱為“同化”；在沒有現成的圖式可以直接利用時，則設法調整或改造自己已有的圖式，或是設立新的圖式，使之能夠接納新信息，這樣的過程稱為“順應”．我們想特別指出的是，學生在講臺上展示自己的不同解法時，其他學生在認真聆聽的同時，會非常自然地將自己的想法(已有認知)和講臺上的解法產生“同化”“順應”，加深對各種解法的理解．總的來說，教師創設機會讓學生暴露數學思維是十分必要的．

3.3 “說數學”能培養學生積極的數學學習情感

學生是學習的主體．在進行數學教學設計時，除了需要對所教數學內容進行分析，還需要對學生情況進行分析；除了研究學生對具體內容的認識、理解、應用等規律外，還要考慮到他們在學習活動中發生和表現出來的各種想法、態度等因素[8]．信念、態度和情緒等稱為情感因素．信念，主要指學生或教師在教學過程中對一些問題的總的看法．態度是指在稍短時期內，學生對學習或教師對教學所持的傾向或立場．情緒是指學生在學習過程中表現出來的具體的短時的反應．學生對數學學習的一項重要信念，是學習的動機．簡單地說，動機是指引發學習活動的內部驅動力，它與學習的目的、興趣等有密切的關系[8]．自我實現的動機是數學學習動機之一．學生以數學水平來顯示自己的聰明才智，從中體驗個人成功的喜悅和個人成長、進步的滿足感．動機最終需要在實際學習過程中轉化為一種對數學的興趣，并且這種興趣要能維持一定的時間，而不只是短暫的一兩節課、一兩天．教學的設計、方法的改進，都應有利于引導學習的興趣，增強學習動機．動機是一種情感因素，從側面對學習產生影響．數學學習中學生的態度是情感的一類表現，是指由一定強度、適當穩定性的積極或消極的感覺和取向，是對事物的一種情感反應．影響學生的數學學習態度的重要因素之一，是對數學學習的重視與否．數學學習過程中的情緒是指學生心理上較短暫時間里的情感反應．與信念、態度相比，它表現為一個過程，而不是一種結果．情緒的許多表現確實在影響著數學學習中的實際的內部理解和外部操作行為．學生受到了鼓勵，則情緒上精神振奮，好的想法會一個接一個地冒出來[8]．

“說數學”給學生提供了“說”的機會，將自己對數學知識、數學問題解決過程與結果、感想與體會等“說”出來，在老師和同學面前表現自我，增加了獲得教師激勵性評價的機會．這有助于學生更加堅定數學學習信念，形成積極的數學學習態度，維持良好的數學學習情緒．上述案例中，在試卷講評課上，學生們非常積極地展示自我：敢于“說”出與教師所提供的不同的解法，勇于“說”出自己的解答過程．這些學生都不是經教師點名提問，也不是經個人長時間準備才“說”出來的，完全是自發的．可見，這些學生喜歡數學課，在講評課之前對該題已有較多思考；在平時的數學課就喜歡“說”，敢“說”，善于“說”．這就充分表明，學生具有十分堅定的數學學習信念、積極的數學學習態度；從整個課堂來看，學生的數學學習情緒是興奮的，否則，他們就不會一個接著一個來“說”了．因此，“說數學”能培養學生積極的數學學習情感．

4 反思與展望

試卷講評課是一種很常見的課型．要在試卷講評課上實施“說數學”，教師需要具有較新的教學觀念，充分發揮學生的主體作用，調動學生的數學學習積極性，搭建平臺給學生展示自我．上述案例展示了試卷講評課上到底該如何組織、實施“說數學”．表面上看，講評一道思維量較大的立體幾何試題用了近20分鐘．但是這些時間用在了生成性環節，用在了學生的“說”，而不是教師的灌輸．如此安排很值得！因為盲目講評再多的試題，如學生的課堂參與度不高，缺乏深入思考和不同數學思維的碰撞，那怎么能取得優秀的教學效果呢？因此，“說數學”應用于試卷講評課是可取的，值得繼續深入研究．