以思維導圖實現數學問題閱讀中的數學理解

廖加熙

摘要：對數學問題的閱讀理解是實現知識應用的基礎，是實現知識舉一反三、技能靈活運用的關鍵環節。思維導圖的合理運用能把抽象的思考過程演變為直觀圖形，為學生內部圖式的建立提供保障，在一定程度上把對數學問題的理解提高到關系性理解的高度，從而實現從追求結果到反思過程的華麗轉身。本文提出了借助思維導圖實現對問題的數學理解的七種典型方案，與同行分享。

關鍵詞：數學問題;數學理解;思維導圖;聯系;轉化

“數學理解”是一個教育學詞匯，關于數學理解的研究由來已久。數學教育家斯根普早在1976年就提出了數學理解的兩種類型，即工具性理解與關系性其解。其中工具性理解是把數學理解作為掌握知識與促進一步思考的工具，即“知其然”，而關系性理解則需要對知識意義與結構有一個完整探究的過程，不但要“知其然”，還要“知其所以然”。

1、梳理式思維導圖，定位概念外延

有不少數學問題看似極其簡單，最終卻因學生缺乏深入思考而出現錯誤，這些錯誤往往是“以貌取神”的結果，這里的“貌”指的是數學問題的外在特征，這里的“神”指的是數學規律，比如問：是分數嗎？由于從外形上觀察，這里確有“分數線、分子、分母”的結構形式，更何況這個數讀作“三分之根號二”，所以很多學生紛紛認為就是是分數。教師如果能教會學生理清概念間的關系，讓學生畫一個簡單的思維導圖（圖1），由于屬于無理數，顯然無理數不是分數。可見，閱讀這類題的時候學會梳理概念間的關系，有效落實概念的外延邊界，才能使概念內涵的把握獲得進一步的深化，從而實現以不變應萬變。

2、類比式思維導圖，溝通縱橫聯系

例：已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，公AB=16，⊙O1的半徑為10，⊙O2的半徑為9，則這兩圓的圓心距O1O2為__________.

如圖2左上的情況，很容易忘記還有另外一種情況，即兩圓的圓心在公共弦的同側（圖2左下）的情況。如何防止出現考慮問題不全面的情況呢？筆者以為，現行初中教材中對兩圓的五種位置關系中并沒有對兩圓相交的情況進行細分，但借用兩圓相切中的內切與外切兩種情況，學生是否應該思考一下：兩圓相交又有幾種情況呢？如果我們規定大小兩圓的圓心到公共弦的弦心距分別為M和m，同樣可以分析出類似的關系，而且畫圖的方法同樣都體現了一種翻折關系。這里表格式的思維導圖正好把這一類比思考的過程展示了出來，從而為理解題目提供了幫助。

3、箭頭式思維導圖，達成問題轉化

例：一個一邊長為5的平行四邊形，其對角線長度可能是（ ）。

A 2，8B 12，18 C 2，13D 11，2

分析：學生閱讀該題目時會感覺無從下手，主要是由于題目提供的情境為平行四邊形，而學生學習的經驗中并沒有出現過“對角線長度”的規定與限制，此時閉門造車肯定不行，讓學生構建已經知識與當前情境的聯系才是關鍵。圖3的思維導圖建議讓學生來口頭表達，由教師板書完成，這一思維導圖直觀地演示了轉化策略的內涵，使學生可以在其它問題中舉一反三進行繪制。

4、設問式思維導圖，打破功能固著

例：判斷題：ΔABC的三條邊分別為a、b、c（圖4），并且a2+b2≠c2，所以 ΔABC就不是直角三角形。（ ）

分析：導致該題錯誤的原因有二：一是邏輯錯誤：學生認為勾股定理的逆定理可用于判定一個三角形是直角三角形，殊不知它并不具備否定一個三角形是直角三角形的功能。二是對字母功能認識有誤：沒有考慮到三個字母的功能在本質是上只是三條邊的代名詞，并不存在必然要哪個字母代表長邊的規定，此時用詰問式思維導圖，可以引導出誰代表長邊的討論，從而需要在三種情況下均具備不等于的條件，才能認可該三角形不是直角三角形。

5、圖符合一式思維導圖，助力思想運用

例：如圖所示的RtΔABC中，∠C=Rt∠，D為AB上一點，DB=1，AD=2，且四邊形DECF為正方形，求圖中陰影部分面積。

從分析已經條件入手，將對題意的理解充分展示在圖畫上，可使問題解決的線索更易找到。借助數形結合思想，用字母與數字表示圖中線段長度，為建立方程提供了讀圖基礎。雖然將正方形邊長統一標為同一個字母，但還有三個未知數，故可考慮能否消去一些未知數，進一步分析可以發現三個方程中有相同的項，可運用整體思想消去一部分而使問題變得簡單。

6、變式型思維導圖，凸現數學本質

變式型思維導圖通過主動改變題目設計的條件使非本質屬性或規律發生變化，從而使本質屬性與規律得到進一步明確與顯現。如：ΔABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD為BC邊上的高，D為垂足，F為AD上一點，FE⊥??AB于E，求BF+FE的最小值。這屬于典型的“在指定的直線上找一點，使其到直線外同側的固定兩點的距離之和最短”的問題，其解題方法是把原問題轉化為“兩點之間線段最短”的問題。顯然，在長方形、菱形、等腰三角形、圓等軸對稱圖形中，都存在可制造這一問題情境的條件，但不變的是解決問題的思想與策略。

綜上所述，解題是達成數學理解、提升數學核心素養的必經之路，思維導圖為學生順利解讀題目含義，為內部圖式的聯系與整理提供了一種可視化的打開方式。然而針對數學閱讀的理論比較深奧，而且數學思想豐富而深邃、解題策略又要求具體而靈活，要把對數學問題的數學理解有效落實在思維導圖上難度還是比較大，在此求教于諸同行，以期共同進步。

參考文獻：

[1] 李士琦.數學教育心理[M].華東師范大學出版社.2012

[2]高文君，韓聯郡，田小現.對數學閱讀概念及方法的研究[J].教學與管理2007（03）

課題標注：（注：本文系2020年大田縣基礎教育教學研究TKTZ2084《初中數學閱讀教學下思維導圖的實踐研究》研究成果）