問題引領激活課堂

王燕

摘要：數學建模活動是基于數學思維，運用模型解決實際問題的綜合實踐活動。文章以“體重與脈搏”教學為例，對恒溫動物的體重與脈搏進行分析與探究，讓學生體會建立數學模型的一般步驟，激發學生應用數學的意識，提高學生發現、分析、解決問題的能力，同時提升學生的數學抽象、數學建模、數據分析等數學素養。

關鍵詞：數學建模;體重;脈搏率

生活中，事物與事物之間是有聯系的，揭示這些聯系是數學的意義所在，數學建模就是這樣的一個數學活動。“體重與脈搏”是課程標準中的一個建模課題，其目的是讓學生經歷一次完整的數學建模過程，讓學生初步體驗提出問題、建立模型、求解模型、檢驗、優化模型等建模活動，并通過活動，展示學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據處理等數學素養。

該問題的分析線索比較長，學生很難自主地建模求解，在過程中容易出現目標不明確、無法操作等問題。因此，筆者采用問題呈現的形式引導學生將核心問題拆分成容易達成的小目標，引導他們按照一定的脈絡進行下去。

一、 中學數學建模現狀分析

（1）初中學生已學過確定型的函數模型（如：一次函數、反比例函數和二次函數），在高中階段學習了函數的基本研究內容和方法，但運用函數知識來解決實際問題的能力不足，在實踐技能上對圖形計算器的操作還不夠熟練，在思想觀念上對擬合型的函數模型缺乏科學認識，在數學應用上缺乏運用函數模型來闡述自然規律的意識，在函數方法上難以想到運用對數運算特性來轉化數據。

（2）本節內容最大的難點是“用跨學科知識分析評判所得函數模型闡釋恒溫動物體重與脈搏率之間內在聯系的合理性”。首先應排除影響脈搏率的其他非主要因素，從而由生物學常識形成模型假設，再運用數學運算和邏輯推理分析所得模型的科學性。此外，由于動物間體重差異太大，在數據處理上也存在難點，運用對數運算轉化數據需要教師的啟發引導。

（3）由于在自然情景中所得數據并非處于容易處理的“理想狀態”，所以需要運用信息技術支持教學。本節課運用圖形計算器可以直觀展示數據對應的散點圖并建立函數模型，快捷地轉化數據重構函數模型，因此為教學提供了極大的支持。

二、 中學數學建模策略

（一）情境設疑，啟迪思考

（PPT展示人的脈搏率從嬰兒時期到長大成人的變化）

師：你發現了什么規律？

生：隨著人慢慢長大，脈搏率在變小。

師：大家覺得影響脈搏率的主要因素是什么？

生：是不是會和性別、年齡、身高、體重等因素有關系。

問題1：如果將研究范圍擴展到恒溫動物，你覺得影響脈搏率的主要因素是什么？

預設：性別、年齡、身高這些因素就不合適了，那么應該是體重會影響脈搏率！

【設計意圖】

引導學生在實際情境中發現問題和提出問題，以開放的問題引導學生提出本節課研究的主題，即運用數學方法研究恒溫動物體重與脈搏率之間的內在聯系。

（二）技術應用，建立模型

師：要研究兩個量的關系，就需要有相應的數據支持，請大家閱讀教材提供的種恒溫動物的體重與脈搏率對應的數據。動物名[體重（單位：g）/脈搏率（單位：次/分）]

鼠（25/670）大鼠（200/420）

豚鼠（300/300）兔（2000/205）

小狗（5000/120）大狗（30000/85）

羊（50000/70）馬（450000/35）

問題2：為研究方便，將體重和脈搏率分別用W和f表示，觀察這組數據，你能發現什么？

【師生活動】隨著體重逐漸增大，脈搏率逐漸減小，這兩個量之間有函數關系。利用圖形計算器將數據繪制到直角坐標系中，得到散點圖如圖1，再猜想函數類型。

【預設1】

生1：我覺得是反比例函數。

生2：根據表格數據對應的乘積并不是一個常數，所以肯定不是反比例函數。

【預設2】可能會是一個單調遞減的指數函數或冪函數模型。

師生共同探討分析這些函數的特點，對猜想的模型進行初步的驗證。之后利用圖形計算器的擬合功能，擬合函數模型f=1790.86·x-0.298257，如圖2。

【設計意圖】

讓學生感悟畫散點圖能夠將表格數據更加直觀地呈現，也是研究函數模型的最基本的手段之一。通過圖形計算器、Excel等都可以實現。引導學生進行數據分析，落實數據分析核心素養。

（三）模型假設，闡釋規律

問題3：為何脈搏率f和體重w之間大致滿足f=k·W-13的關系？

根據生物學常識我們可得到以下模型假設：

（1）生物學家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內能量，主要是為了保持體溫;

（2）研究表明，消耗的能量E與心臟的血流量Q成正比;

（3）血流量Q是單位時間流過的血量，脈搏率f是單位時間心跳的次數，心臟每次收縮擠壓出來的血量為q;

（4）心臟每次收縮擠壓出來的血量q與心臟大小（生物體體重W）成正比;生物體體重W與體積V成正比、體表散熱量與體表面積S成正比。

師：你能運用以上4條模型假設來分析f=k·W-13的合理性嗎？

【追問1】你能根據以上模型假設，建立脈搏率f與體重W關系的函數關系嗎？

【師生活動】學生以6人小組為單位，從生物學知識和假設中提煉信息，給出各個變量的符號標記，分組討論“這里需要的數學關系是什么”“如何用數學語言去刻畫變量間的關系”等問題。鼓勵學生以小組為單位，借助西沃電子設備展示自己推導的含有參數的數學關系式，對存在困難的小組和個人，教師予以適當的指導，讓其通過模仿達到預期的效果。