垂線平均含沙量兩種表述方法之比較

王蒙恩 王圣草

[摘要] 懸移質垂線平均含沙量有多種表述方法 ， 根據實際工作的需要本文僅對流量法垂線平均含沙量和面積法垂線平 均含沙量進行探討 ， 本文闡述了兩種垂線平均含沙量之間的關系 ， 指出面積平均含沙量要大于流量平均含沙量。含沙量 及流速分布越不均勻 ， 兩者差別就越大 ， 解決了在實際工作中對兩者發生的混淆。

[關鍵詞] 垂線平均含沙量 ; 表述方法 ; 探討

懸移質垂線平均含沙量是泥沙測驗工作中的 一項重要內容 ， 是研究懸移質輸沙率與水流挾沙 能力的基礎 ， 也是研究河床演變問題的依據 ， 掌 握好垂線平均含沙量的表述方法 ， 在實際工作中 具有重要意義。

因為含沙量及流速分布在垂線上是不均勻 的 ， 所以也有多種垂線平均含沙量的表述方法。 本文僅對流量法與面積法兩種表述方法進行討 論 ， 它們的定義分別為。

S1 = ∫k 0 usd y/ ∫k 0 ud y （1）

S2 = 1/ h ·∫k 0 sd y （2）

式中 ： S1 、S2 為流量法與面積法的垂線平 均含沙量; u、s 為距河底 y 處的流量與含沙量; h 為垂線水深。

在實際工作中 ， 兩種垂線平均含沙量各有特 點 ， 流量法同時考慮了流速和含沙量這兩個因 素 ， 流速為向量因素 ， 這樣求得的垂線平均含沙 量 S1 常用于與懸移質輸沙率有關的計算中; 而 面積法僅考慮含沙量這一因素 ， 這樣的垂線平均 含沙量 S2 一般只用于理論研究中。

流量法垂線平均含沙量 S1 與面積法垂線平 均含沙量 S2 是兩個截然不同的概念 ， 一般不可 相互代用。本文正是要對這兩種垂線平均含沙量 之間的差異進行討論 ， 以澄清將 S1 與 S2 混淆 的問題。

2 ?S1 與 S2 的差異

用普朗特對數表述垂線流速分布

u/ U 3 = （1/ k） ·lnζ+ C

或寫成

u/ U = [1 + 1/ kC0 （1 + lnζ） ] （3）

式中 ： kw 為卡門常數; U 為相對水深ζ （ y/ h） 處的點流速 ， 即垂線平均流速; U 3 為摩阻流速; C0 為謝才系數 （ C0 = C/ g ， C = U/ U 3 ） 。

依據羅斯公式垂線含沙量分布

S/ sa = {ζa （1 - ζa） · [ （1 - ζ） /ζ]} Z （4） 式中 ： s 為相對水深ζ處的點含沙量; S a 為ζ= ζa 處參考含沙量; Z =ωskU ﹡為懸浮指標。

式 （3） 及 （4） 所表示的流速及含沙量垂線 分布規律 ， 計算精度較高 ， 有一定的理論基礎 ， 得到了廣泛的應用。

利用式 （3） 及式 （4） ， 可得流量平均含沙量

S1 = ∫10 usd y/ ∫10 ud y

= sa [ζa/ （1 - ζa） ] Z ∫10 { （1 + 1/ kC0） · [ （1 - ζ） /ζ] Z + 1/ kC0 · [ （ 1 - ζ） /ζ] Zl nζ} dζ （5）

若令

∫10 [ （1 - ζ） /ζ] Zdζ= J1 （6）

∫10 [ （1 - ζ） /ζ] Zl nζdζ= J2 （7）

則式 （5） 變為 S1 = sa [ζa/ （1 - ζa） Z] { （1 + 1/ kC0） J1 + 1/ kC0J2} （8）

利用式 （4） 可得面積平均含沙量

S2 = ∫10sdζ= [ζa （1 - ζa） ] Z ·sa ∫10 [ （1 - ζ） /ζ] Zdζ （9）

同樣將式 （6） 代入上式可得 S2 = sa [ζa （1 - ζa） ] ZJ1 （10）

S1 與 S2 之比為 β= S1/ S2 = 1 + 1/ kC0 （1 + J2/ J1） （11）

因為 J1、J2 僅與 Z 有關 ， 所以β也僅為 Z 與 kC0 的函數 ， 即 β= f （ kC0 ， Z） （12）

從數學上可以證明 ， 函數 J 1 與 J 2 具有如下性質 ： ①J 1 > 0 ， J 2 < 0 ; ②| J 1 | < | J 2 | 。

所以有 β= S1/ S2 < 1 （13）

式 （13） 說明面積平均含沙量永遠大于流量 平均含沙量。此差異完全是由流速分布的垂線不 均勻性引起的。

根據 J1、J2 曲線 [ 3 ] ， 可得β與 Z 、kC0 之間的關系 ， 如圖 1 所示。

從圖 1 中可以發現β具有以下變化規律 ： ①隨著 Z 值的增大 ， S1 與 S2 相差越大。 懸浮指標 Z 是反映垂線含沙量分布均勻程度的 物理指標 ， Z 越大 ， 含沙量垂線分布越不均勻; Z 越小 ， 含沙量垂線分布越均勻。所以含沙量分 布越均勻β越小 ， 反之β越大。

②隨著 kC0 值的增大 ， S1 與 S2 相差越小。 kC0 是反應垂線流速分布均勻程度的一個物理指 標 kC0 越大 ， 流速分布越均勻; kC0 越小 ， 流速分布越不均勻。因此 ， 流速分布越均勻β越小 ， 反之β越大。

③流速分布指標 kC0 = 5 ― 10 ， 而懸浮指標 Z = 0101 ― 5 ， 從圖 1 中可知 ， 懸浮指標 Z 對β 的影響要遠大于流速分布指標 kC0 對β的影響 ， 即含沙量的垂線分布均勻程度對β的影響要大于 流速分布均勻程度對β的影響。

④當 Z ≤013 時 ， S1 與 S2 兩者相差不到 10 % ， 此時可近似地以 S1 代替 S2 或以 S2 代替 S1 ， 對計算結果影響不大; 當 Z > 013 時 ， S1 與 S2 兩者相差較大 ， 不可相互代用。這就是說 S1 與 S2 兩者不是任何條件下都可以相互代用的。

3 結 語

在泥沙研究中 ， 采用的流量平均含沙量 S1 與面積平均含沙量 S2 ， 無論是數學理論、物理 意義 ， 還是具體計算結果 ， 都不相同 ， 切勿誤 用。兩者的差異 ， 隨著懸浮指標 Z 的增大 ， 兩 者的差別越來越大 ， 且 S2 永遠大于 S1 ， 當 Z ≤ 013 時 ， 兩者相差不足 10 % ， 此時兩者可近似替 代 ， 而當 Z > 013 時 ， 兩者不可相互替代。

參考文獻 ：

[ 1 ]《河流泥沙動力學》水利電力出版社 1989。 [ 2 ]《潮汐水流中的懸沙運動及沖淤計算》水利學報 1963 （4） 。 [ 3 ]《明渠水流的挾沙能力》水利出版社 1956。