積累數學活動經驗，尋求知識建構銜接

麥滿棠

【摘要】在《比例尺的應用》教學中，如何在教學中引導學生對前后知識進行有效的溝通與聯系，幫助學生走出問題解答時“算法正確，就是難對”的怪象。本文將通過“溝通聯系——巧設沖突——破構重建”三個層面，尋求知識建構的無縫銜接，幫助學生打通知識之間的隔斷墻，追尋數學知識的本質。

【關鍵詞】小學數學;知識建構;深化理解;積累經驗

《比例尺的應用》是人教版數學六年級下冊第四單元的教學內容，教材第54頁呈現了如下的例題，教材還提供了解題的思路與方法。

從以往教學情況來看，學生會效仿書本提供的方法，根據比例尺的含義——“圖上距離：實際距離=比例尺”進行解比例。按照教材呈現方式進行教學，原理學生容易理解，方法也容易掌握，但學生往往容易出現如下的問題：一是計算錯誤。對于數值比例尺，形如1：60000000，往往圖上1cm代表實際距離過大，導致學生在計算實際距離時，容易出現多“0”或少“0”的現象。二是解決問題的方法單一，難與已學的內容建構聯系。學生難以在解答問題時聯系數值比例尺與線段比例尺的關系，不會根據題目的要求靈活選擇方法進行解答。究其原因，一方面學生運算能力需加強，另一方面教材“提示”過多，限制了學生運用多樣計算方法的能力。如果教師沒有及時引導學生對前后知識進行有效的溝通與聯系，學生解答問題的思路與方式勢必局限在課時的內容，沒有整體的觀念，自然就沒有算法的多樣、思維的靈活，也就很難幫助學生走出解答“比例尺的應用”問題時的怪象——算法正確，就是難對。

一、溝通聯系，找準經驗的生長點

數學活動經驗的積累必須基于學生原有的經驗。學生學習這一內容的困惑還體現在前一課時的學習中。比例尺有數值比例尺和線段比例尺兩種形式，而在本教學內容的學習中，教材按照數值比例尺的含義進行解比例，單位統一為厘米，題目經常要學生求實際距離是幾米或幾千米？例如“1：60000000的比例上，圖上距離3厘米代表實際距離多少千米？”也就是在計算出結果后，還需要進行單位的轉換，給學生計算帶來一定的麻煩。既然比例尺有數值比例尺和線段比例尺兩種形式，數值比例尺計算比較麻煩，能不能用線段比例尺的方法進行計算？在例題教學時，還有學生出現這樣的方法“解：設兩地的實際距離為x千米，列式：7.8：x=1：4，得出x=31.2。”學生這種做法是不是巧合？符合比例尺的含義嗎？如果不是巧合，那它的依據又是什么？因此，教學本課內容時，除了加強學生運算能力的培養，有必要引導學生溝通數值比例尺、線段比例尺之間的聯系，并讓學生學會辯證地看待比例尺與比、除法之間的關系，從而找準新經驗的生長點，促進學生已有經驗和新的學習內容之間的溝通轉化，達到自主建構的目的。

二、巧設沖突，找準經驗的轉換點

學生已積累的數學活動經驗有時能幫助學生對新知識的學習，有時也會對新知識的學習產生負遷移作用。教師要在新舊經驗的沖突與遷移中，促進已積累的數學活動經驗進行一步深化與發展，形成新的經驗，充實原有知識結構。結合“比例尺的應用”教學，作以實踐。

師：剛剛大家讀了題，下面請同學們動手試一試？

生1：解：設從蘋果園站至四惠東站的實際距離是xcm。

x=7.8×400000

x=3120000

3120000cm=31.2km。

師：同意他做法的同學請舉手？

師：看來，大多數同學都是用這種方式進行計算的。請大家想想，聯系到以前所學的知識，還有不同的方法嗎？

生2：題目告訴我們比例尺是1：400000，說明實際距離是圖上距離的400000倍，當圖上距離為7.8cm時，圖上距離就是7.8個400000，因此圖上距離為7.8×400000=3120000（cm）=31.2km。

生3：比例尺是1：400000，把圖上距離當作比的前項是1份，圖上距離有400000份。每份長：7.8÷1=7.8（cm），實際距離有400000份，因此長：7.8×400000=3120000cm=31.2km。

生4：圖上距離：實際距離=比例尺，知道了圖上距離是7.8cm、比例尺是，比號相當于除號，因此用圖上距離除以比例尺就可以算出實際距離，

7.8÷? =7.8×400000=3120000（cm）=31.2km。

師：大家不僅運用了今天所學的知識，還把比例尺與按比例分配、比與除法的關系、比與倍數的關系都聯系上了，非常好。請大家觀察：上面的幾種方法有相同的地方嗎？

生5：都有7.8×400000。

師：是偶然嗎？

生6：無論哪一種表示方式，都是要表示實際距離是圖上的400000倍。因此，會要用7.8×400000。

師：看來大家在不同算法的背后，找到了相同的本質，所謂“殊途同歸”就是這個意思。大家想一想，上堂課在學習比例尺的時候，我們學習了數值比例尺與線段比例尺。我們再來看看第一種方法？

生7：是用數值比例尺的含義，用解比例的方法進行運算的。

師：很好，如果從上述的做法中能不能得到什么啟發，還有別的計算方法呢？（學生討論）

生8：剛剛老師提醒我們比例尺有數值比例尺與線段比例尺，圖上距離400000cm轉換成4km，線段比例尺就是圖上1cm代表實際距離4km，那么圖上7.8cm就有7.8個4km，也就是實際距離是：7.8×4=31.2（km）。

生9：我們小組也是先把圖上距離400000cm轉化成4km，線段比例尺就是圖上1cm代表實際距離4km，就可以用解比例的方法進行思考。解：設從蘋果園站至四惠東站的實際距離是xkm。? ? ?，x=7.8×4，x=31.2。

生10：我們不同意你們（生9）的做法，在上一課時化簡比例尺的時候，要求單位統一，但是你們沒有統一單位，圖上距離單位為cm，實際距離單位為km。是不是巧合？

師：問得很好。雖然答案是正確的，這種做法會不會是一種巧合？

生9：不是巧合。我們只是用了線段比例尺的知識，用了解比例的形式。圖上1cm代表實際距離4km，那圖上7.8cm代表實際距離多少km，都是同一圖中，比值是不變的，因此用解比例的方法進行計算。

生11：哦！明白了，兩種方法（生9、生10）都是用線段比例尺的方法進行計算。也就是1cm代表4km，7.8cm就有7.8個4km。

師：看來大家已經找到兩種方法相同的本質是一致的。在解答此類問題中，我們要善于聯系以前所學的知識，靈活地選擇方法進行計算。

……

在這一教學過程中，教師有意讓不同學生的解決方法進行充分地匯報，巧妙的一問“這種做法會不會是一種巧合？”制造認知沖突，再讓學生進行充分的討論，從而豐富知識建構與完善的體驗過程，使學生對新舊知識遷移有了深刻的認識，在此基礎形成的新的數學活動經驗。

三、破構重建，找準經驗的深化點

在后續的練習中發現，學生的正確率明顯比以往提高;計算的方法也多樣，不再局限于用數值比例尺的方式進行解比例，會依據題目的要求把數值比例尺中圖上距離轉化成題目的要求（米或千米）進行計算。可知，通過課中的多種算法的呈現與比對，讓學生對比例尺數值比例尺與線段比例尺的轉化、比的含義、與除法的關系進行有效的梳理與聯系，學生對比例尺應用的知識理解更為透徹。此次教學也為學生后續學習利用比例尺解決實際問題（作圖）埋下伏筆，為學生學習下一課時打好基礎。

以本課的教學為例，按照書本呈現的進行教學，不利于學生思維的發散以及對知識的整合與聯系，零散、單一課時方法的掌握，還容易造成學生學習的負擔。在教學中，教師應該在讀懂教材的基礎上，適當的跳出教材教學，不囿于教材所呈現的方法，跳出課時教學，思考本課知識在整個小學階段知識中的聯系，有利于學生對知識之間的聯系理解更為清晰，減少學生對知識的記憶的負擔。放眼小學階段知識之間的內在邏輯與聯系，構建前后知識之間的聯系。關注課時教學，但不局限在課時的教學，有利于學生更好地掌握和理解知識，從而提升學生綜合運用知識解決問題的能力。