高中數學教學中邏輯推理的意義再發掘

景暉

[摘? 要] 在數學學科核心素養六個要素中，邏輯推理名列數學抽象之后，這體現出邏輯推理在高中數學知識建構以及運用過程中的基礎性地位. 邏輯推理是整個高中數學教學的重要基礎有兩個基本理解：一是作為高中數學教師，對邏輯推理的理解要抓住根本;二是在具體的教學過程中，要引導學生體驗邏輯推理的過程，認識邏輯推理的價值. 既然在高中數學教學中，已經明確提出了數學學科核心素養培育的目標，那么教學就應當實現從知識累積走向核心素養的轉變. 以邏輯推理能力培養作為高中數學教學的線索之一，可以讓具有一定理論高度的核心素養以及數學學科核心素養，接上高中數學日常教學的“地氣”，強調從知識累積走向核心素養，并不意味著在高中數學教學中忽視知識的累積.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;邏輯推理;意義

核心素養尤其是數學學科核心素養的概念提出之后，邏輯推理再度引起了高中數學教師的高度重視. 之所以說是再度引起，是因為在傳統教學中邏輯推理原本就比較重要，很多時候教學的重心就是培養學生的邏輯推理能力. 在高中數學教學中對學生的核心素養進行培養，旨在使學生的數學判斷能力得到良好的養成，這既是新課標背景下的一個教學重點，也是當前高考評價的一個核心. 而在數學學科核心素養被明確界定之后，人們發現數學核心素養中，主要分為數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等，其中邏輯推理名列數學抽象之后，筆者以為這體現出了邏輯推理在高中數學知識建構以及運用過程中的基礎性地位. 可以肯定的一點是，作為高中數學六大核心素養之一，邏輯推理是學生得到數學結論、構建數學知識體系的重要方式. 只不過在核心素養的背景之下的高中數學教學，還需要賦予邏輯推理更多的內涵，只有這樣才能對邏輯推理的傳統理解與新理解緊密結合在一起，從而實現高中數學的優秀教學傳統與素養背景下的教學思路的銜接. 應當說這是一個切合實際的思路，是第八輪課程改革帶給一線教學最大的啟發之一，任何教學改革必須建立在已有的基礎之上，只有植根于已有現實的教學才具有生命力.

[?]邏輯推理是高中數學教學的重要基礎

在數學學科核心素養的六個要素中，筆者之所以如此重視邏輯推理，是因為數學邏輯推理是數學學科核心素養的基本組成元素，是高中數學教學的重要內容，關系著學生數學知識體系構建和數學思維模式的形成，因此在實際教學中，教師要培養學生數學邏輯推理能力，探究培養數學邏輯推理能力的有效方法. 很大程度上，可以認為邏輯推理是整個高中數學教學的重要基礎，在這里筆者有兩個觀點與同行分享：一是作為高中數學教師，對邏輯推理的理解要抓住根本. 核心素養是對教學目標的客觀闡述，數學學科核心素養的六個要素是對數學學科促進核心素養落地獨特作用的高度概括. 著名邏輯學家金岳霖在其《形式邏輯》一書中，將推理定義為根據一個或一些判斷得出另一個判斷的思維過程，這實際上是從推理的起點與終點兩個角度對推理進行定義的，實際上這里所說的“得出”過程隱含著豐富的意義，因為能否“得出”正取決于推理是否符合邏輯. 對于數學學科核心素養中的邏輯推理，需要認識到的是對其理解，首先要從基本定義的角度生成理解. 從經驗的角度來看，高中數學教學的邏輯推理主要發生在數學概念或規律的建立，以及問題解決的過程中，讓學生認識到數學概念或規律之間的聯系，認識到解決數學問題時，應當選擇什么樣的概念或規律，是培養邏輯推理能力、形成素養的關鍵.

二是在具體的教學過程中，要引導學生體驗邏輯推理的過程，認識邏輯推理的價值. 在傳統的教學視野里，這樣的努力并不鮮見，尤其是在數學問題解決的過程中，每一次通過“因為”“所以”來證明，實際上都是邏輯推理的過程. 盡管這個過程中還涉及其他的一些推理形式，如合情推理等，但對于高中數學而言，邏輯推理仍然是主要成分. 體驗邏輯推理的過程，認識邏輯推理的價值，應當成為核心素養背景下高中數學教學的一條重要線索.

綜合以上兩個觀點，可以得出的一個結論是，核心素養背景下的邏輯推理，需要結合傳統并以新的內涵指導實踐，要在實踐的過程中生成新的理論理解.

[?]基于核心素養的邏輯推理意義發掘例析

既然邏輯推理已經成為數學學科核心素養的組成要素，在核心素養背景下，在高中數學課堂教學中，通過合作探究教學模式，培養學生的邏輯推理能力已經成為教學的關鍵. 那相應地，教師就有必要在實踐過程中進一步進行探究，最好的辦法就是積累實踐案例，然后進行分析. 現以“空間中的直線與直線之間的位置關系”來闡釋筆者的一些實踐與經驗.

這一知識的教學設計應當是從學生的已有經驗開始的，比如可以向學生提出這樣的問題：在同一個平面內，兩條直線有幾種位置關系？在三維立體空間中，兩條直線又有幾種位置關系？學生對前一個問題的思考與回答，可以基于原來的數學學習經驗，也就是說學生可以順利判斷出相交與平行兩個結果. 那么由第一個問題向第二個問題的推理，是不是邏輯推理呢？這可以從兩個層面來理解：從數學概念的包含關系來說，應當是三維空間包含了二維空間，因此從二維空間中的兩條直線關系，去推理三維空間中的兩條直線關系，并不符合邏輯;但是如果從邏輯推理方法掌握與運用的角度來看，學生在二維空間中對兩條直線位置關系的認識，卻可以成為三維空間中兩條直線位置關系判斷的基礎. 實際上有學生在學習的過程中就發現：三維空間概念比二維空間概念更大，因此二維空間中兩條直線的位置關系在三維空間中肯定存在，而除了相交與平行之外，則還可能存在其他關系（實際上就是“異面”的關系）. 學生有這樣的發現，恰恰說明他們已經掌握了一定的邏輯.

具體的教學過程中，教學的重點實際上也正是對異面直線的探究. 學生首先可以通過想象（這與幾何直觀有關），判斷在空間中除了相交與平行之外，存在異面的情形. 但是此時，學生對異面的表象并不清晰，這個時候教師當然可以通過演示的方法，來幫助學生建立表象. 值得一提的是，筆者在向學生演示的時候，借助兩根筷子，先演示了學生已經熟悉了的相交與平行，然后才演示了異面，這樣可以讓學生的認識更加完整. 在學生建立了這一表象之后，還可以讓學生通過邏輯推理來梳理本節的知識. 這個梳理的過程，同樣是運用邏輯進行推理的過程——三維空間中兩條直線的位置關系要么共面、要么異面，而共面時要么相交、要么平行，于是就可以通過圖1來表征這種邏輯. 應當說圖形雖然簡略，但其中的邏輯關系一目了然.

通過這樣的教學，學生一方面經歷了邏輯推理的過程，另一方面認識到邏輯推理的價值，這種理論上的認知與實踐中的經歷相結合，可以促進邏輯推理素養要素的落地.

[?]高中數學教學從知識累積走向核心素養

毫無疑問的是，既然在高中數學教學中，已經明確提出了數學學科核心素養培育的目標，那教學就應當實現從知識累積走向核心素養的轉變. 從宏觀角度來看，伴隨教育事業的不斷發展，數學核心素養的應用價值日漸凸顯，邏輯推理能力作為高中數學核心素養之一，對高中生思維的發展起到了重要作用，亦是高中生必備的數學能力. 當在高中數學教學中一直強調能力培養的時候，實際上邏輯推理本身就是一種重要的能力. 以邏輯推理能力培養作為高中數學教學的線索之一，可以讓具有一定理論高度的核心素養以及數學學科核心素養，接上高中數學日常教學的“地氣”. 顯然，一線教師所追求的“可操作性”正在這樣的努力過程中.

當然需要強調的是，從知識累積走向核心素養，并不意味著在高中數學教學中忽視知識的累積;相反，知識累積其實非常重要. 在課程改革中，過長時間的討論已經認識到知識目標其實是其他目標的基礎，在核心素養培育的過程中，同樣必須建立一個基本的認識：知識累積是數學學科核心素養培育的基礎. 如同上面例子中所體現出來的一樣，只有以“空間中的直線與直線之間的位置關系”這一知識的學習作為基礎，才能讓學生經歷一個真實的邏輯推理過程，才能讓學生形成邏輯推理能力. 此外筆者還注意到，其實包括邏輯推理在內的數學學科核心素養的六個要素，不僅需要讓學生體驗隱性的過程，有時候還非常有必要讓學生認識到這些概念的存在——概念往往具有高度概括性，對概念的理解水平，體現著不同核心素養要素的把握水平. 從這個角度來看，堅持顯性與理性相結合的思路，可以讓邏輯推理等數學學科核心素養要素得到更加切實有效的培養.