具有輸入約束的參數不確定機器人自適應控制*

樊開夫，王福杰，李紹宇，李超凡，任 斌

(東莞理工學院機械工程學院，廣東 東莞 523000)

0 引言

在線軌跡跟蹤是機器人在工業中需要完成的典型任務之一，在焊接、打磨拋光、裝配等場合有重要應用[1-2]。為完成復雜序列任務并進行精細化操作，要求對機器人系統與環境進行包含動力學、運動學、執行器等模型的精確標定，然而受限于檢測精度與不斷變化的負載，對正在運行中的機器人運動學與動力學參數進行精確標定是不現實的[3]，此種參數中的不確定性會極大影響機器人軌跡跟蹤的精度，甚至導致系統不穩定。在軌跡跟蹤的過程中對模型參數進行在線的預估能極大提升控制器的自適應性，受到機器人控制領域相關學者的普遍重視[4-5]。例如，文獻[6]提出一種基于PD控制的機器人魯棒自適應算法，在機器人初始輸入力矩受限且動力學模型缺失的情況下實現關節空間的角度跟蹤；文獻[7-9]同時考慮了機器人運動學與動力學模型不確定性提出一種自適應控制方法實現笛卡爾空間軌跡跟蹤，分別對運動學參數與動力學參數進行在線預估，但要求機器人只存在參數不確定性而無未建模動態與外部擾動，這一嚴格限制在許多任務中無法保證。

實際上機器人在運行中與外部世界進行交互可以看做是受到不規則擾動影響，文獻[10]通過設計非線性擾動觀測器對外部干擾進行預估，文獻[11]基于類似的觀測器設計魯棒PD抗干擾控制器實現漸進軌跡跟蹤，但要求該干擾滿足一定的約束條件，同時進行擾動觀測器的設計也會增加整體控制方案的復雜性，更重要的是上述文獻[10-11]未對機器人運動學與動力學不確定性進行處理，其擾動觀測器的設計依賴于精確獲得的機器人模型。此外，當機器人長期在強電磁環境超負荷運行會產生非線性輸入約束，如死區[12]、間隙[13]、磁滯[14]等，但目前同時考慮機器人系統的不確定性、外部未知擾動和輸入約束進行控制器設計的研究較少。

因此，本文針對具有輸入約束與未知外部擾動的參數不確定機器人系統開展軌跡跟蹤控制研究，在控制器中同時引入了關節空間誤差變量與任務空間誤差變量，增加系統的魯棒性與誤差收斂速度，同時控制器只使用到預估的機器人系統參數而非真實值，提高系統的實用性。與文獻[10-11]相比，通過設計自適應參數更新律在線預估未知的機器人動力學與運動學模型參數，使用投影函數避免機器人運動過程中產生“奇異”現象，同時在控制器中引入魯棒項進行擾動抑制，不要求未建模動態與外部擾動的上確界，減少控制方案的計算復雜度。此外，通過引入Nussbaum增益矩陣實現輸入約束補償，無需對輸入約束進行精確的模型辨識也能確保在線軌跡跟蹤。

1 具有輸入約束的參數不確定機器人系統

機器人系統是一個非線性強耦合多變量的復雜系統，在實際運行過程中受負載變化和外部擾動等因素的影響，其系統參數難以精確標定。此外，機器人執行器約束也會降低機器人的實際運行性能，因此在控制器設計中必須將上述參數不確定性與輸入約束考慮在內。

1.1 機器人運動學模型

不失一般性，工業機器人可看做是由轉動關節連接的多連桿系統，其運動學模型可用以下方程描述[15]：

x=f(q)

(1)

式中，x∈Rm×1為機器人末端坐標，q∈Rn×1為關節角向量，f(q)為關節空間到任務空間的映射，n≥m表示機器人的自由度。對式進行微分，可得：

(2)

特性1：對于任意向量ζ∈Rn×1，乘積J(q)ζ可進行參數線性化為[17]：

J(q)ζ=Yk(q,ζ)ak

(3)

式中，ak∈Rr1×1表示運動學參數向量，Yk(q,ζ)∈Rn×r1表示與機器人參數無關的運動學回歸矩陣。

1.2 具有輸入約束的機器人動力學模型

考慮n自由度工業機器人受到輸入約束下其動力學模型可以表述為[15]：

(4)

在控制器設計中，使用到如下的機器人動力學方程結構特性[18-19]：

特性2： 慣量矩陣D(q)滿足以下不等式：

α1In×n≤D(q)≤α2In×n

(5)

β1≤|D(q)|≤β2

(6)

式中，α1，α2，β1，β2均為恰當的正常數。

(7)

式中，ζ∈Rn×1表示任意向量。

特性4：恰當選取機器人動力學參數ad∈Rr2×1，則動力學方程可線性化表示為：

(8)

1.3 Nussbaum型增益

為了消除未知輸入約束對機器人控制性能的不良影響，本文在控制器中引入了Nussbaum型增益。當任意偶函數N(χ)滿足：

(9)

(10)

則N(χ)可被稱為Nussbaum函數，且有以下引理成立[21-20]。

2 基于約束補償的控制器設計與穩定性分析

本節主要探討基于輸入約束補償的機器人自適應控制器設計，當機器人系統參數不確定時，控制器中無法直接使用運動學與動力學的先驗知識，通過采用參數線性化(特性1與特性4)將不確定系統參數進行分離，使用預估參數進行控制器的設計，同時通過引入Nussbaum型增益實現對輸入約束的補償。

2.1 基于約束補償的自適應控制器設計

定義任務空間的跟蹤誤差為：

Δx=x-xd

(11)

基于此誤差信號繼續定義任務空間域參考速度為：

(12)

則可得域速度誤差：

(13)

將任務空間的誤差信號映射至關節空間，定義如下關節域參考速度：

(14)

(15)

關于矩陣的廣義逆有：

同時余參考加速度可表示為：

(16)

則可得關節空間域參考誤差信號：

(17)

此時，機器人運動學閉環方程可以表示為：

(18)

(19)

Tanh(sq/st)=diag(tanh(s1/st),…,tanh(sn/st))

式中，sq=[s1,...,sn]T，且有st=1/(1+t2)。

為最大限度消除輸入約束對機器人控制性能的影響，提出以下具有輸入補償的機器人運動控制器：

(20)

(21)

注3：上述運動控制器主要通過引入Nussbaum增益矩陣輔以虛擬控制律(19)實現對輸入約束的補償，增益矩陣的輸入由式(24)提供。此外本文的控制器設計中并不要求輸入約束的模型已知(如式(4)中A(t)矩陣已知)，同時未建模動態與外部擾動的上確界也不要求精確標定，控制器中使用的是其上確界的預估值而非標定值，極大提升本文控制器的實用性與減少對系統建模精度的要求。

2.2 未知參數預估

應該注意到域參考關節速度(14)、虛擬控制律(19)、具有輸入補償的機器人控制器(20)和(21)都使用了未知參數的預估值，本文應用以下自適應律在線調整參數的更新值。

針對未知的動力學參數[12]：

(22)

式中，Γd∈Rr2×r2為對角正定矩陣。未知的運動學參數可在線預估為：

(23)

Nussbaum增益矩陣的輸入可由下式更新：

(24)

式中，ε=[ε1,…,εn]T表示正常量向量。未建模動態與干擾的上確界預估值可由下式更新：

(25)

式中，ΓH表示對角線均為正常量的對角矩陣。

2.3 穩定性分析

至此，結合提出的控制器與自適應參數更新律，可得本文的主要結果。

定理 1：假設機器人系統運動學可由式(1)、式(2)表示，具有輸入約束與未建模動態的動力學可由式(4)表示，則本文提出的控制方案式(19)、式(20)以及參數自適應律式(22)～式(25)能處理系統的參數不確定性同時使得跟蹤誤差Δx收斂，實現：

證明：定義如下李雅普諾夫候選函數

(26)

(27)

首先結合式(18)分析運動學閉環系統可得：

(28)

上式左右兩端左乘ΔxT可得：

(29)

代入機器人控制器，可得機器人動態閉環系統：

(30)

(31)

分別將式(29)、式(31)與參數自適應律式(22)、式(23)代入式(27)，可得：

(32)

其中，

(33)

結合式(33)可得:

(34)

代入式(25)、式(33)、式(34)至式(32)，可得：

(35)

對式(35)在時間區間[0,t)內積分，可得：

(36)

其中，

由式(13)可得：

(37)

因此，定理1得證。

3 仿真分析

考慮具有輸入約束與未知外部擾動的參數不確定二自由度機器人系統開展仿真驗證，其動力學參數與動力學參數如表1所示，其中mi表示第i個連桿的質量，li表示第i個連桿的長度，Ii表示第i個關節的轉動慣量。機器人運動學模型、動力學模型(特性1、特性4)可參照文獻[1,2]。機器人所受到的未建模動態與外部干擾設定為：

(38)

機器人執行器動態所受約束設定為：

(39)

仿真結果如圖1～圖4所示，圖1與圖3分別展示本控制方案所得到的的軌跡位置誤差與速度誤差，從圖中可知約0.3 s誤差信號收斂于0并持續整個仿真過程；圖2展示實際軌跡跟蹤理想給定軌跡的情況，從圖中可知實際軌跡與給定軌跡幾乎重合；圖4展示了驅動機器人運動的關節力矩信號，由于控制器中同時引入了關節空間域參考誤差與任務空間域參考誤差，控制力矩并不“光滑”，然而從圖1、圖2可知，實際的輸出是平滑的，證明了本控制方案的有效性。

圖1 任務空間跟蹤誤差 圖2 任務空間軌跡

圖3 任務空間速度誤差 圖4 控制力矩

4 結論

本文針對具有輸入約束的參數不確定機器人系統開展自適應控制研究，將未知外部擾動考慮在機器人動態方程中。通過設計自適應運動控制器實現軌跡跟蹤，該控制器不要求未建模動態的先驗知識與外部擾動的上確界，極大擴寬控制器的適用范圍，同時通過引入Nussbaum增益矩陣實現輸入約束補償。此外，本文通過設計自適應律克服機器人系統的不確定性，使用投影函數避免機器人運動過程中產生“奇異”現象，相比于現有的方法更加易于實施，提出的自適應魯棒控制方案能確保機器人在任務空間的在線軌跡跟蹤，仿真實例驗證了所提出方案的可行性。