基于單元化方法的復(fù)雜輪系結(jié)構(gòu)特征建模*

王廣建，王鐵龍，馬雅麗，董昊天，梁 晨

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

由于齒輪產(chǎn)品在各個(gè)方面的優(yōu)異性能，齒輪傳動(dòng)裝置在與機(jī)械領(lǐng)域相關(guān)的各類應(yīng)用場(chǎng)景中被廣泛使用。在富有創(chuàng)造性地齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)階段，國(guó)內(nèi)外學(xué)者陸續(xù)提出了多種研究方法，其中主要的設(shè)計(jì)方法有基于圖論和基于數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)方法。

圖論理論的設(shè)計(jì)方案是應(yīng)用基礎(chǔ)圖來(lái)衍化出給定構(gòu)件數(shù)目的所有輪系結(jié)構(gòu)圖，并對(duì)輪系做性能分析[1]。文獻(xiàn)[2]建立了復(fù)雜輪系各組成部分間的結(jié)構(gòu)與性能關(guān)聯(lián)模型，創(chuàng)立了以機(jī)械構(gòu)件為組成單元的模塊劃分理論。提出了一種以產(chǎn)品重要零件為核心的模塊劃分方法。文獻(xiàn)[3]將各類周轉(zhuǎn)輪系的形式按輪系基本單元來(lái)分類與組合，并應(yīng)用拓?fù)鋱D描述，提出復(fù)雜輪系的劃分技術(shù)與組成方法。文獻(xiàn)[4]根據(jù)圖論基礎(chǔ)圖的應(yīng)用條件，提出了以拓?fù)鋯卧楹诵牡膹?fù)雜輪系建模法。文獻(xiàn)[5]分析了機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性和運(yùn)動(dòng)鏈結(jié)構(gòu)特性，通過(guò)樹(shù)圖分析得到了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方案的立體簡(jiǎn)圖。

從數(shù)學(xué)模型的角度出發(fā)，文獻(xiàn)[6-8]建立了以狀態(tài)空間模型為核心的輪系運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)體系，通過(guò)路徑的連接建模方式得到輪系設(shè)計(jì)的可行解。文獻(xiàn)[9]以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為輔助工具，建立了復(fù)雜輪系的結(jié)構(gòu)狀態(tài)模型。文獻(xiàn)[10-11]提出機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)的單元能量建模方法，將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方案與結(jié)構(gòu)布局用數(shù)學(xué)模型表達(dá)。

本文在此基礎(chǔ)上，利用系統(tǒng)單元化處理的思路研究了建立復(fù)雜輪系結(jié)構(gòu)特征模型的方法。根據(jù)結(jié)構(gòu)特征分解得到了復(fù)雜輪系的基本結(jié)構(gòu)單元，并組建了描述結(jié)構(gòu)特征的向量，獲得了結(jié)構(gòu)特征的模型，為復(fù)雜輪系的結(jié)構(gòu)方案分析與結(jié)構(gòu)空間優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了必要的理論基礎(chǔ)。

1 復(fù)雜輪系基本結(jié)構(gòu)單元

對(duì)于復(fù)雜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，本文主要研究平行軸和相交軸及其復(fù)合輪系，這類輪系的共同特點(diǎn)是：所處同一級(jí)各個(gè)構(gòu)件的回轉(zhuǎn)軸線是共面的。復(fù)雜輪系由各類齒輪機(jī)構(gòu)連接組合構(gòu)成，其中齒輪機(jī)構(gòu)作為一個(gè)不可拆分的整體主要完成獨(dú)立運(yùn)動(dòng)變換的功能。綜合上述輪系的特點(diǎn)，給出基本結(jié)構(gòu)單元的定義：

定義1：將一對(duì)回轉(zhuǎn)軸線共面且相互嚙合的齒輪機(jī)構(gòu)稱為復(fù)雜輪系的基本結(jié)構(gòu)單元，簡(jiǎn)稱基本結(jié)構(gòu)單元。

由定義1得到基本結(jié)構(gòu)單元的運(yùn)動(dòng)鏈，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)鏈中有3個(gè)構(gòu)件，在基本運(yùn)動(dòng)鏈的基礎(chǔ)上通過(guò)指定某一構(gòu)件作為機(jī)架或者在運(yùn)動(dòng)鏈之外指定機(jī)架的方式得到復(fù)雜輪系的基本結(jié)構(gòu)單元。構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征主要由機(jī)架的選定、構(gòu)件的回轉(zhuǎn)軸線位置和齒輪的嚙合類型決定，組合不同運(yùn)動(dòng)特征的構(gòu)件可以獲得不同構(gòu)型的基本結(jié)構(gòu)單元。

圖1 復(fù)雜輪系基本運(yùn)動(dòng)鏈

在基本運(yùn)動(dòng)鏈的構(gòu)件中選定機(jī)架可以獲得單自由度的基本結(jié)構(gòu)單元；在基本運(yùn)動(dòng)鏈以外選定機(jī)架可以獲得雙自由度的基本結(jié)構(gòu)單元。根據(jù)以上原則，得到12種構(gòu)型的基本結(jié)構(gòu)單元，其中涵蓋了單自由度、雙自由度、內(nèi)嚙合、外嚙合齒輪的基本結(jié)構(gòu)單元，如圖2所示。

圖2 基本結(jié)構(gòu)單元

2 基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)特征模型

2.1 基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)特征

實(shí)際進(jìn)行輪系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)涉及的信息是非常復(fù)雜的，針對(duì)這一特點(diǎn)，進(jìn)行輪系結(jié)構(gòu)建模時(shí)首先需要簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)信息，研究基本結(jié)構(gòu)單元的組成，提取結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要特征和參數(shù)，建立結(jié)構(gòu)特征模型。

輪系基本結(jié)構(gòu)單元中有一個(gè)軸架、兩個(gè)齒輪構(gòu)件和若干運(yùn)動(dòng)副。結(jié)構(gòu)特征模型主要研究基本結(jié)構(gòu)單元的組成方式及內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，內(nèi)部基本構(gòu)件的結(jié)構(gòu)特征主要研究構(gòu)件類型和構(gòu)件回轉(zhuǎn)軸的方位，運(yùn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)特征主要研究方位特征。

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)特征建模時(shí)，模型主要表達(dá)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵尺寸，而不研究其具體的結(jié)構(gòu)形式與細(xì)節(jié)尺寸。基本構(gòu)件包括齒輪和軸架，其主要結(jié)構(gòu)形狀和尺寸參數(shù)是結(jié)構(gòu)類型的主要研究?jī)?nèi)容。對(duì)于齒輪構(gòu)件，主要描述齒輪結(jié)構(gòu)的外形尺寸參數(shù)；對(duì)于軸架構(gòu)件，轉(zhuǎn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)決定了其主要結(jié)構(gòu)尺寸。

基本結(jié)構(gòu)單元中存在齒輪嚙合處的高副和保證齒輪回轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副。其中齒輪嚙合處高副的結(jié)構(gòu)特征主要影響齒輪在徑向方向的結(jié)構(gòu)特征，其詳細(xì)的結(jié)構(gòu)形式并不影響基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)空間。故只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)特征，主要為回轉(zhuǎn)軸線的方位。

軸架構(gòu)件主要實(shí)現(xiàn)支承和連接的功能，實(shí)現(xiàn)哪種功能是由軸架上轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線位置是否固定決定的。軸架主要起支承功能時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副有固定的位置；軸架主要起連接作用時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線位置是變化的。因此，軸架上轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線位置對(duì)輪系基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)尺寸影響是顯著的。

綜上所述，基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)特征主要表達(dá)基本構(gòu)件的類型、方位特征以及轉(zhuǎn)動(dòng)副的方位特征。

2.2 基本結(jié)構(gòu)單元坐標(biāo)系

基本構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征和結(jié)構(gòu)特征在坐標(biāo)系下描述，坐標(biāo)系建立方法如下：

(1)基本構(gòu)件坐標(biāo)系(o-xyz)：坐標(biāo)系建立在構(gòu)件上，以構(gòu)件回轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，以其回轉(zhuǎn)軸正方向(回轉(zhuǎn)軸正方向符合右手法則)為x軸正方向，y軸正方向與x軸正方向形成右手笛卡爾平面，z正方向軸垂直于xoy平面，符合右手法則。

(2)基本結(jié)構(gòu)單元坐標(biāo)系(O-XYZ)：坐標(biāo)系建立在基本結(jié)構(gòu)單元機(jī)架上，與輸入構(gòu)件的構(gòu)件坐標(biāo)系重合。

如圖3所示，以基本結(jié)構(gòu)單元中的1個(gè)雙自由度基本結(jié)構(gòu)單元為例建立坐標(biāo)系，選取構(gòu)件3為該基本結(jié)構(gòu)單元的一個(gè)輸入構(gòu)件，在圖3a中建立了3個(gè)基本構(gòu)件坐標(biāo)系，在圖3b中建立了一個(gè)基本結(jié)構(gòu)單元坐標(biāo)系。

(a)基本構(gòu)件坐標(biāo)系 (b)基本結(jié)構(gòu)單元坐標(biāo)系圖3 坐標(biāo)系示意圖

2.3 基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)特征模型

基本結(jié)構(gòu)單元結(jié)構(gòu)特征模型由基本構(gòu)件和轉(zhuǎn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)特征模型構(gòu)成。

(a)圓柱齒輪 (b)圓錐齒輪圖4 基本構(gòu)件結(jié)構(gòu)特征向量

在圖5中，基本構(gòu)件1的結(jié)構(gòu)特征向量在基本構(gòu)件坐標(biāo)系1中描述為向量S11，在基本結(jié)構(gòu)單元坐標(biāo)系中描述為向SO1。根據(jù)坐標(biāo)變換理論，獲得如下結(jié)構(gòu)特征方程：

(1)

令

則式(1)化簡(jiǎn)為：

SO1=D1S11

(2)

其中，D1表達(dá)構(gòu)件1的方位特征。R1表達(dá)了基本構(gòu)件1軸線方向。γ1表達(dá)了構(gòu)件1的位置。

圖5 基本結(jié)構(gòu)單元結(jié)構(gòu)特征向量

單元中轉(zhuǎn)動(dòng)副是由齒輪與軸架或軸架與機(jī)架之間形成的可動(dòng)連接，所以轉(zhuǎn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)特征向量能夠在齒輪或軸架的坐標(biāo)系下表達(dá)，其結(jié)構(gòu)特征模型建立方式與基本構(gòu)件結(jié)構(gòu)特征模型相同，在此不再贅述。單元的結(jié)構(gòu)特征模型是單元中所有基本構(gòu)件和轉(zhuǎn)動(dòng)副結(jié)構(gòu)特征模型的綜合。轉(zhuǎn)動(dòng)副結(jié)構(gòu)特征向量表示為p，則單元的結(jié)構(gòu)特征模型為：

(3)

3 基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)空間

齒輪產(chǎn)品不斷朝著小型化、輕量化的趨勢(shì)發(fā)展，其中輪系的結(jié)構(gòu)空間是影響整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、重量的關(guān)鍵因素，所以構(gòu)建輪系的結(jié)構(gòu)空間尤為重要。本文所研究的結(jié)構(gòu)空間是指能夠包容基本結(jié)構(gòu)單元的最小空間。輪系中全部單元的結(jié)構(gòu)空間組成了輪系結(jié)構(gòu)空間，每個(gè)單元的結(jié)構(gòu)空間由運(yùn)動(dòng)和支承結(jié)構(gòu)空間構(gòu)成。運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間由構(gòu)件在工作過(guò)程中占據(jù)的空間構(gòu)成，支承結(jié)構(gòu)空間由支承轉(zhuǎn)動(dòng)副占據(jù)的空間構(gòu)成。

單元的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間主要由單元內(nèi)所有齒輪占據(jù)的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間相加獲得。由于軸架運(yùn)動(dòng)與構(gòu)件或支承的運(yùn)動(dòng)有重合的部分，暫不考慮軸架結(jié)構(gòu)空間。齒輪運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間由其運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)類型決定。單元內(nèi)的齒輪可分為定軸和行星運(yùn)動(dòng)齒輪，也可分為圓柱和圓錐齒輪。

(1)定軸運(yùn)動(dòng)齒輪的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間

定軸齒輪繞著不動(dòng)的回轉(zhuǎn)軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)空間是齒輪自身結(jié)構(gòu)所占據(jù)的空間，通過(guò)相應(yīng)的構(gòu)件特征向量得到其運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間。

(a)圓柱齒輪 (b)圓錐齒輪圖6 定軸運(yùn)動(dòng)齒輪的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間

如圖6a所示，定軸運(yùn)動(dòng)圓柱齒輪運(yùn)動(dòng)空間可用其結(jié)構(gòu)向量中Sx、Sy、Sz組成的3個(gè)向量的混合積求出：

(4)

如圖6b中，定軸運(yùn)動(dòng)圓錐齒輪的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間為：

(5)

(2)行星運(yùn)動(dòng)齒輪的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間

行星運(yùn)動(dòng)齒輪運(yùn)動(dòng)空間為齒輪運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所占據(jù)的空間，既包括齒輪自身所占據(jù)的空間，也包括齒輪掃掠到的空間，其形狀與齒輪自身結(jié)構(gòu)有關(guān)，一般為圓柱體空間或圓臺(tái)空間。

(a)圓柱齒輪 (b)圓錐齒輪圖7 行星運(yùn)動(dòng)齒輪的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間

所有構(gòu)件運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間通過(guò)“與”運(yùn)算得到基本結(jié)構(gòu)單元的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)空間。VMi為單元中構(gòu)件i的運(yùn)動(dòng)空間，進(jìn)而單元的運(yùn)動(dòng)空間是VM=VM1⊕VM2⊕…VMn。

單元支承結(jié)構(gòu)空間是支承轉(zhuǎn)動(dòng)副所占據(jù)的三維空間。支承轉(zhuǎn)動(dòng)副的位置及個(gè)數(shù)共同影響著支承的結(jié)構(gòu)空間。基本結(jié)構(gòu)單元內(nèi)，支承結(jié)構(gòu)空間通常指兩支承轉(zhuǎn)動(dòng)副間的距離。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)副特征狀態(tài)方程，能夠獲得支承轉(zhuǎn)動(dòng)副所處的空間位置，從而得到支承結(jié)構(gòu)空間。

綜合以上分析，基本結(jié)構(gòu)單元運(yùn)動(dòng)和支承結(jié)構(gòu)空間共同組成了復(fù)雜輪系的基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)空間。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)分析復(fù)雜輪系的組成特點(diǎn)，提出了一類復(fù)雜輪系基本結(jié)構(gòu)單元的概念，并在基本運(yùn)動(dòng)鏈的基礎(chǔ)上，獲得了12種復(fù)雜輪系基本結(jié)構(gòu)單元，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜輪系的單元化分解。

(2)復(fù)雜輪系基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)特征模型有效地表達(dá)了基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)特征以及基本構(gòu)件和轉(zhuǎn)動(dòng)副的方位特征變換關(guān)系。

(3)復(fù)雜輪系基本結(jié)構(gòu)單元的結(jié)構(gòu)空間描述了運(yùn)動(dòng)與支承結(jié)構(gòu)空間。復(fù)雜輪系結(jié)構(gòu)特征模型與結(jié)構(gòu)空間為復(fù)雜輪系的結(jié)構(gòu)方案分析、結(jié)構(gòu)空間設(shè)計(jì)奠定了必要的理論基礎(chǔ)。