淺談分類討論思想在高中數學教學中的應用

周立樹

摘要：分類討論思想是高中數學教學中很重要的一個板塊，在學習過程中隨處可以見到分類討論思想的應用。同時，現階段高考數學中也增加了對于學生分類討論思維的使用，考查其是否能夠以更加全面的眼光、從不同的角度來看待問題，能夠從各自的角度運用相同或者不同的方法解決這一特定條件下呈現出來的問題，并最終將所有答案有序地整合在一起。因此，高中數學教學過程中分類討論思想的滲透是十分重要的一個環節。

關鍵詞：高中數學；分類討論思想；全面的角度

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）18-0109

一、分類討論思想的具體含義

在高中數學的學習過程中，學生經常會遇到需要分類討論的題目，這些題目的共同特點是需要用完整的思維來分析問題，考慮到所有可能會發生的情況。例如“當m=多少時，y=（m+3）x^（2m+1）+4x-5（x不等于0）是一次函數？”很明顯，這道題目就是需要利用分類討論的思想來解決。首先明確一次函數的定義是未知數的指數為一，而目前我們看到題目中給出的可以變化的量是（m+3）x^（2m+1），其他量已確定不能改動。（m+ 3）x^（2m+1）可以是常數項，可以是一次項，也可以是零，接下來我們需要分別對其進行分析。（2m+1）只能有兩個取值，一個是0，一個是1，其他的取值都無法滿足“該函數是一次函數”的限制條件。當（2m+1）等于0的時候，m的值為-1/2，此時（m+ 3）x^（2m+1）為一次項，函數為一次函數，符合題目的條件；當（2m+1）等于1的時候，m的取值為0，此時經過同類項合并函數也滿足一次函數的條件；當（m+3）x^（2m+1）為0的時候，（m+3）的值為0，函數也是一次函數。從上面的分析中，我們可以看出，m的多個取值都可以滿足題目中給出的條件，在解決這一個問題的過程中學生需要考慮到該函數是一次函數的條件是什么，并分別從所有的可能性出發進行討論與探究，最終將滿足問題的所有可能的答案整合出來。這就是分類思想在解決數學問題中的一個應用，由此可見，只有學生在學習過程中培養全局觀念，用更加完整的思路思考答案的所有可能性，并在每一個條件之下有獨立的思考能力，才能夠將這一類問題完美地解答出來，才真正掌握了分類討論思想的精髓所在，才算是學好了高中數學。

二、分類討論思想的培養措施

為了更好地幫助學生建立分類討論的思維，提升獨立思考的能力與信息篩選與整合的能力，高中數學教師需要從以下幾個方面著手。

1.夯實基礎

分類討論思想的基礎是學生在遇到一個數學問題的時候能夠考慮到可能發生的所有情況，這就要求學生專業知識水平過硬，對于公式定理的一些限制條件與適用范圍有很深入的理解與記憶，這樣才能夠在遇到分類討論問題的時候采用更加全面的思維。例如求解定義域的問題，常見的限制條件學生需要了然于心，如分母不能為0，根號下的數大于等于0等等。在解決概率統計問題的時候，學生也需要注意一些隱含條件，一些與現實情況不符的條件需要舍去。

為了更好地幫助學生夯實基礎，在教學過程中教師就需要著重強調每一條公式的適用范圍與限制條件，與學生一起探究每一個結論得出的前提是什么，如果條件發生了一定的變化是否還能得到同樣的結論，如果結論隨著條件而改變，又是怎樣的關系。除此之外，教師也應該注重提升對于題目以及文字的理解能力，能夠獨立從所給的文字中提取出相關的信息，找到這句話中的重點是什么，條件是什么，結論是什么，附加條件又是什么，有哪些隱藏的信息等等。

2.培養獨立思維

在將能夠滿足條件的所有可能情況考慮到位之后，學生就需要獨立地將每一種情況在特定條件下的答案求解出來，這就需要學生能夠具有一定的獨立思考能力，而不會輕易地被其他條件所左右。例如上面的問題，在（m+3）x^（2m+1）是一次項，零項與常數項的條件下求解出來的m數值是不一樣的，在每一個大類的條件下學生需要獨立思考這一條途徑實現的可能性。為了在平時教學的過程中實現學生獨立思維的培養，教師需要在課堂上給予學生更多獨立思考的機會，在小組討論之前，教師應該首先組織學生單獨思考，在有了一定的思考結果之后再進行小組內部的交流。同時，在學生向自己請教問題的過程中，教師應該以引導為主而不是直接傳授給學生問題的答案，教師一步步帶領學生在已給條件下探索出結果，讓學生掌握解決問題的主動權，用自己的方式將問題解答出來。通過這樣的形式，學生能夠逐漸養成獨立思考的意識與習慣，在遇到問題的時候首先想到的是自己找出解決辦法而不是直接尋求他人幫助，就算是要求幫助他人也需要有一定的自己的看法與見解。

3.提升信息整合與篩選能力

在將每一種可能的情況都解決之后，學生需要對每一個結果進行篩選與分析，看看其是否符合這一個小類的條件，同時是否能夠解決問題。這就需要學生具有篩選信息與整合信息的能力，對于每個求解出來的答案并不一定就是解決問題的答案，還要需要進行驗證。例如運用三角形面積的函數公式求解出來的三角形面積的最大值所對應的高，在數學關系式中確實符合要求，但是可能放在圖形中這個高并不能構成一個三角形。或者是最大值問題，運用導數求解出來函數的最大值可能并不在這個函數的定義域之內。這些情況都需要學生在解答完每一個小的情況之后進行篩選與總結。在平時的教學過程中，教師要給予學生更多的分類討論題目進行訓練，并幫助學生從各個環節進行突破。

分類討論思想的教學在高中數學占有極大的比例，也是高中數學學科最為重要的思想之一，只有真正掌握分類討論思想，才能算是真正學好了高中數學。教師需要在平時的教學中從各個角度注重學生能力的發展，引導學生掌握每一個環節的方法與技巧，最終掌握突破分類討論問題的模式，從而提升學生的獨立思維能力，幫助學生養成全局思維。

（作者單位：安徽省合肥市肥東縣第二中學230000）