走向學科育人的“做思數學”

馮剛

摘要：新時代的育人超越了學科在“雙基”層面的功能，而指向學科對人整體性發展的作用，即學生核心素養的養成。“做思數學”是數學學科育人方式的一項積極探索。厘清其內涵與特征，分析其價值與目標，架構其流程與思路，能夠通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等手腦協同的活動，最大限度地助力學生價值觀念、必備品格和關鍵能力的養成，創新數學學科育人的實踐路徑。

關鍵詞：“做思數學”;學科育人;操作體驗;數學實驗;綜合實踐

教育部《關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》明確指出，要“改進學科教學的育人功能”，“將教育教學的行為統一到育人目標上來”，“注重自主發展、合作參與、創新實踐”。可見，新時代的育人超越了學科在“雙基”層面的功能，而指向學科對人整體性發展的作用，即學生核心素養的養成。為此，我們積極探索讓小學數學教學從學科本位走向學科育人的方式——“做思數學”。

一、“做思數學”的內涵與特征

（一）“做思數學”的內涵

“做”即動手，“思”即動腦，“做思數學”即動手動腦學數學。杜威的“做中學”、笛卡兒的“身心二元論”、裴斯泰洛齊的“手腦并用觀”以及陶行知的“用手用腦法”，都是“做思數學”的理論基點。“做思數學”是學生依托實物材料（紙片、小棒、方塊等）和工具（三角尺、量角器等），通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等手腦協同的活動來理解知識、驗證猜想、探索規律、解決問題的一種數學學習方式。

（二）“做思數學”的特征

1.注重實踐性，讓“身體在場”。

“做思數學”是學生主體參與操作、實驗、探究等實踐活動的學習過程，是手腦協同下系列實踐活動的綜合體。被告知的知識往往是蒼白無力的，而親歷實踐過程能夠集結知、情、意、行，在實踐性學習中感悟數學思想并積累活動經驗。當然，實踐性并非僅強調機械簡單的操作，而是抽象、推理、模型等“高階思維”指引下的操作實踐。

2.注重過程性，讓“思維在場”。

“做思數學”反對效率至上導向下的“快餐教學”，旨在通過“做”“思”活動拉長數學學習過程，讓學生在親歷知識的發生發展過程中享受完整的數學學習活動，真正理解學習的含義，掌握 “做”與“思”的方法，積累數學學習的經驗。

3.注重開放性，讓“個性在場”。

“做思數學”注重實踐與過程，故而其形式、內容及結果均是開放且多元的。“做思數學”的形式是多元的，動手操作、數學實驗、綜合實踐等均是其主要形式。“做思數學”的內容是多樣的，數學概念、數學猜想、數學規律、數學問題等均可以作為其內容。“做思數學”的結果是開放的，動作、圖畫、語言等多種表征方式的內容均是其結果。

二、“做思數學”的育人價值

“做思數學”是實現學科本位轉向學科育人的學習方式，能夠有效促成抽象到直觀、結果到過程、靜態到動態的嬗變，最大限度地發揮數學學科的育人價值。

（一）激蕩情感

情感主要包括學習欲望、學習熱情、學習自尊、學習自信、學習成就等心理動機。情感是學生自主學習的源泉，決定著學生是否想要學習以及是否愿意學習。“做思數學”具有實踐性、過程性、開放性，能夠通過生動直觀的操作、適度刺激的挑戰激發學生學習數學的興趣，喚醒學生數學學習的好奇心，調動學生學習數學的主動性和創造性。此外，“做思數學”還具備基于實踐性、過程性、開放性的交互性，能夠促進不同層次的學生在數學上得到不同的發展，能夠使得不同層次的學生在交流互動中互相學習，最大化地發揮各自的優勢、改進自身的不足，樹立學習數學的信心。

（二）啟迪心智

人的心智是由多種能力，如記憶、理解、直覺、思辨、想象、注意等復合而成的組合體，心智水平的高低關乎一個人是否有能力完成某項任務。在“做思數學”這一學習方式下，學生需要充分調動眼、耳、口、手、腦，通過觀察、猜想、操作、實驗等活動，得到抽象的數學概念和數學原理背后的現實材料，在此基礎上進一步進行類推、抽象化和一般化，進而理解概念、探索規律，發現數學原理和數學特性，在解決問題中受到啟發。通過“做思數學”，學生體驗了數學感知、深入思考、知識獲得、問題解決的完整過程，在體驗、發現、抽象、推理中啟迪心智。

（三）形塑品格

品格即品德和人格，品格決定了一個人回應人生處境的模式。當下熱議的核心素養，就包含了適應社會和個人發展的必備品格。“做思數學”以科學、嚴謹的實踐活動為依托，能夠有效培養學生的科學精神，即實事求是、求真務實的精神。“做思數學”的展開需要學生高階理性思維的參與，故而能夠助力學生理性精神的養成，即重邏輯、講證據、不跟風的精神。“做思數學”作為一種探索性學習方式，能夠有效促成學生不畏困難、勇于挑戰的探索精神。 “做思數學”關注師生、生生之間的交互，為學生互幫互助、相互學習、相互啟發的合作精神的發展創造了充分的條件。“做思數學”一定程度上可視為學生的一種創造性學習活動，能夠有效培養學生敢于批判、勇于突破、敢思敢想的創新精神。

三、“做思數學”的目標體系

學科育人視域下“做思數學”的教學目標，不同于學科本位視域下的教學目標，應是指向學生未來發展可能性的目標，不應是某一領域或某一方面的目標，而應是涵蓋多領域、多層次的目標體系。“做思數學”育人目標體系的確立以“人的發展”為原則，重點考查人是否得到發展以及得到了怎樣的發展。基于江蘇省教育科學規劃領導小組辦公室董林偉主任的論述，結合小學生的認知和年齡特點，我們嘗試架構“做思數學”的目標體系（框架如圖1所示）。

（一）價值觀念

在哲學界，價值觀念指的是在價值活動中形成的對某類事物的價值信念、價值目標、價值標準、一般價值規范的穩定的思維模式。在教育界，價值觀念主要指的是對教學活動中教學屬性與教學需要的滿足之間關系的認識與看法。“做思數學”是理性思維指引下的做思共融、知行合一的實踐活動，因此，其價值觀念為“理性至上、知行合一”。

（二）必備品格

必備品格指的是適應社會和個人發展必須具備的品德和人格。基于“做思數學”的基本特征，將必備品格分為理性精神、創新意識、積極態度三個方面，每個方面再細分為三個素養要點，形成“三方面九要點”的必備品格目標體系。

1.理性精神。

理性精神主要分為求真、獨立、探究三個素養要點。求真，即崇尚真理、尊重事實、理性分析，具體表現為嚴謹的思維品質、實證探究的習慣與能力。獨立，即獨立思考、判斷與解決問題，以辯證思維分析問題并作出正確抉擇。探究，即主動探究問題的意識及探究解決問題的能力。

2.創新意識。

創新意識主要分為質疑、反思、審美三個素養要點。質疑，即警惕既定知識技能的意識，敢于提出不同觀點并能找尋證據。反思，即審視學習狀態的意識，基于實際調整學習策略和方法的能力。審美，即具有數學審美知識與能力，能創作個人數學作品并作出審美判斷。

3.積極態度。

積極態度主要分為熱愛、主動、堅韌三個素養要點。熱愛，即積極的學習態度和濃厚的學習興趣，感受數學的廣泛應用，形成積極向上的學習生活情趣。主動，即具有求知欲望、自我意識與自我認知，能規劃學習進程，承擔合作學習任務。堅韌，即不畏艱難、跨越挫折的精神，并能不斷提高自我要求。

（三）關鍵能力

關鍵能力是超越“雙基”范圍的，潛于個體并通過學習表現出來的關鍵特征，表現為學生在數學學習與應用中至關重要的能力。《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大關鍵能力（學科核心素養）。于小學生而言，六大關鍵能力顯得高深且難以達成。史寧中教授強調，數學教育的最終目標是讓學生具有數學眼光、數學思維和數學語言。基于以上論述，結合小學生的認知發展特點，將“做思數學”目標體系的“關鍵能力”確定為：抽象意識與空間意識（數學眼光）、推理意識與運算能力（數學思維）、模型意識與數據意識（數學語言）。可見，小學與高中的六大關鍵能力具有一致性和發展性，小學更具體且側重意識，高中更一般且側重能力。

四、“做思數學”的具體實踐

“做思數學”的實施途徑主要有操作體驗、數學實驗、綜合實踐，其目標指向理解知識、驗證猜想與探索規律、解決問題。操作體驗重在感知理解數學知識，數學實驗重在發現推理數學規律，綜合實踐重在探索解決實際問題。

（一）以操作體驗助感知理解

操作體驗是指學生在操作實物材料和工具的過程中，通過觀察、比較、分析等活動得到感性認識并強化對知識的理解與掌握，提高學習興趣的一類學習活動。

1.學習流程。

操作體驗的流程一般是學生學習抽象的數學知識（如計算原理的理解、圖形特征的認識等）時，在直觀操作學具、工具等實物的過程中觀察比較、歸納共性，進而深入理解知識本質，并回顧反思整個操作體驗過程（如圖2所示）。

2.具體案例。

《兩位數加整十數、一位數》是蘇教版小學數學一年級下冊的內容，教學重難點在于算理的理解及算法的掌握，即“明理”“得法”。對于“45+30=？”，有些學生早已知曉結果，但往往不知道為什么。究其根源，學生早已“得法”但并未“明理”。部分教師僅以“得法”為目標，采用告知式、灌輸式教學，使“明理”顯得難上加難。其實，教師只需要轉變方式，引導學生開展操作體驗活動，便可既“明理”又“得法”。

教師可引導學生借助小棒和計數器擺一擺、撥一撥，結合實際操作看一看、想一想，將結果記錄于操作體驗單（如圖3）。在同桌交流中，學生便能歸納共性：無論擺小棒還是撥算珠，均是先將40和30相加，再和5相加。在“明理”的基礎上進一步抽象出算法流程圖，學生自然進入“得法”狀態，實現對算理、算法的深度理解。最后，教師引導學生回顧反思操作體驗過程，感受直觀操作的作用，進一步積累操作體驗活動的經驗，為學生后續的自主操作體驗提供遷移類推的基礎。

（二）以數學實驗育發現推理

數學實驗是指學生在問題驅動下思考實驗步驟，在數學思維的深度參與下操作實驗工具來驗證結論、探索發現的一類學習活動。其有如下要義：（1）以問題驅動并按照一定的實驗步驟進行，以此保障實驗的效果及學生數學活動經驗的積累;（2）目的是驗證結論、探索發現，其核心是手腦并用;（3）是學習的一個環節而不是全過程，推理和證明并不能由實驗替代;（4）對合情推理更為關注，但并不忽視演繹推理的滲透，而重視各種思維活動的深度參與。

基于實驗目的的不同，數學實驗還可進一步細分為結論驗證型數學實驗與發現探索型數學實驗。

1.結論驗證型數學實驗。

（1）學習流程。

結論驗證型數學實驗指的是通過動手操作、觀察分析等方式，驗證已知或已有的猜想、定理、規律、結論正確與否的數學實驗。結論驗證型數學實驗的教學內容一方面是學生基于問題情境自然產生的猜想，另一方面是學生生活及學習中自己有所了解的知識或教師及家長告知的知識。教學中，教師應讓學生在問題情境中提出猜想或勾連出尚未驗證的已有知識，經歷實驗操作、觀察比較、分析判斷、得出結論、回顧反思等過程。如若分析判斷后發現實驗前所假設的結論是錯誤的，則需要進一步反思修正原有假設，重新通過數學實驗進行驗證。結論驗證型數學實驗的學習流程如圖4所示。

（2）具體案例。

《長方形和正方形的面積》是蘇教版小學數學三年級下冊的內容，教學難點在于長方形和正方形面積公式的理解與推導。多數學生早已知曉長方形面積計算公式，但對公式背后的道理并不理解。對此，可引導學生開展結論驗證型數學實驗。

教學伊始，教師出示課題，提問怎樣計算長方形和正方形的面積。學生會很快說出計算公式。此時，教師提出問題：這個公式是否正確？公式到底表示什么意思？引導學生在問題驅動下進行實驗操作，并通過拼一拼、填一填、想一想等實驗過程，及時將數據記錄于實驗記錄單（如圖5）的表格中，進而發現長方形面積公式中長、寬與小正方形個數的關系，驗證已知結論，并發展歸納、演繹推理能力。最后，教師引導學生及時回顧反思實驗過程，強化數學實驗意識，積累數學實驗經驗，提高數學實驗能力。

2.發現探索型數學實驗。

（1）學習流程。

發現探索型數學實驗指的是通過觀察、操作、推理、驗證等方式，探索得到全新（對學生來說）的數學結論、數學發現的數學實驗，是探索性較強、生成性較強與開放度較高的數學實驗。發現探索

實驗記錄單

（1）拼一拼：取幾個邊長1 cm的小正方形拼成一個長方形，至少拼出3個不同的長方形。

（2）填一填：記錄每個長方形的長、寬，及小正方形的個數和長方形面積。

序號長/cm寬/cm正方形/個面積/cm2長方形1長方形2長方形3長方形4（3）想一想：根據表中的數據，你能想到什么？

（4）我的結論：

型數學實驗的教學內容以數學規律、定理及性質為主。教學中，教師應創設體現數學規律、定理及性質的問題情境，引導學生經歷分析比較、實驗操作、舉例驗證、歸納提煉、總結結論、回顧反思的過程。舉例驗證需再細分為拓展舉例與分類舉例，用以驗證想法及尋找反例。發現探索型數學實驗的學習流程如圖6所示。

（2）具體案例。

《三角形的三邊關系》是蘇教版小學數學四年級下冊的內容，教學難點在于三角形三邊關系的探索與發現。部分教師教學時僅通過學生的小棒操作便草草總結，殊不知其中存在不嚴謹與不規范之處，且學生未經歷規律的完整探索過程，其數學思維難以得到發展。對此，可引導學生開展發現探索型數學實驗。

教學時，首先引導學生開展剪紙條實驗：將紙條沿刻度點剪成三段，記錄三段的長度并嘗試圍三角形，看能否圍成。通過對實驗記錄單（如圖7）上數據的分析得出初步的三邊關系猜想。此時的實驗探究局限于特殊情況。緊接著，進一步引導學生開展畫三角形實驗，以“怎樣畫三角形才能保證包含所有三角形的情況？”這一問題，驅動學生思考實驗步驟。學生紛紛想到畫銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，而不同學生所畫的每類三角形又是不同的。此時，結合實驗記錄單（如圖8）上的數據進一步總結，科學且嚴謹地得出結論。最后，教師適時引導學生總結實驗過程，回顧兩次數學實驗的設計與步驟，反思實驗過程中的不足，積累數學實驗經驗。

實驗記錄單1

問題：任意長度的三條線段都能圍成三角形嗎？

要求：

（1）剪一剪：將紙條沿著刻度點剪成三段，記錄紙條的長度。

（2）圍一圍：把三段紙條圍一圍，看能否圍成三角形。

（3）想一想：觀察實驗數據，你有什么發現？

序號三條線段的長度（cm）能否圍成三角形1234（4）我的結論：

（三）以綜合實踐促問題解決

綜合實踐是指以實際問題為載體，學生綜合運用數學知識與方法，通過觀察、分析、操作、總結等方式，發現現實問題背后的數學原理，進而解決

實驗記錄單2

問題：所有三角形的三邊關系都有這樣的規律嗎？

要求：

（1）畫畫量量：任意畫一個三角形，量出三邊長度并記錄。

（2）算算想想：推算三角形的三邊關系，想想是否符合你的猜想。

序號三條線段的長度（cm）三邊關系（算式）1234（3）我的結論：

實際問題的一類學習活動。

1.學習流程。

綜合實踐的內容一般是與實際生活聯系密切，同時又與書本知識相關聯的現實問題。教學中，教師應引導學生基于現實問題情境提出數學問題，經歷數學抽象、制訂計劃、實踐活動、數據分析、得出結論、回顧反思的過程。在得出結論環節，如若實踐活動并未解決數學問題，則需要修正計劃重新進行實踐，直至解決數學問題。綜合實踐的學習流程如圖9所示。

2.具體案例。

《大樹有多高》是蘇教版小學數學六年級下冊的內容，教學難點在于學生能否運用所學知識自主設計實踐步驟。多數教師執教時采用告知式，直接告知學生根據物長和影長的比值求出大樹的高度。這樣的教學仍未從知識本位走向素養本位，學生并未親歷探究的過程。對此，教師可以引導學生通過綜合實踐活動來親歷探究過程，綜合多種知識解決實際問題。

教學中，教師提出“要想知道校園里一棵大樹的高度，可以怎么做？”這一問題，驅動學生自主思考，合作設計實踐活動方案，并在交流分享中逐步完善實踐方案。實踐方案主要分為兩個部分。首先是學生通過測量不同竹竿的影長，將數據記錄在圖10的表格中，發現影長與竹竿長的關系。接著，教師帶領學生直接來到大樹旁，8—12人小組合作，通過皮尺測量同一時間竹竿、大樹的影長，將數據記錄在圖11的表格中，得出結論。最后，教師引導學生回顧反思綜合實踐過程，感受綜合實踐的樂趣，提升思維的靈活性與嚴謹性。

參考文獻：

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