例談運算教學中算法模型的建構策略

高峰齡 韋波富

【摘 要】數的運算，重在理解算理，形成算法。教學中可通過操作、想象、事理分析等活動來明晰算理，進而逐步抽象算法;通過猜想驗證或整體歸納概括，滲透數學思想，構建算法模型。在解決實際問題過程中，教師可引導學生運用算法模型，積累活動經驗，體悟數學思想。

【關鍵詞】算理 算法 模型 數學思想

運算一直以來就是數學學習中首要的學習任務。從小學數學課程編排和教學實踐看，整數、小數、分數的計算貫穿始終，運算是小學數學學習的主要內容之一。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出：運算能力是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解算理，尋求合理簡便的運算途徑解決問題。運算不僅僅是要會算，形成技能，還要在運算學習過程中明晰算理、理解算法、提升思維、運用思想，要正確理解算理和對象，掌握運算法則，分析數量關系以解決問題。

現結合教學實例，談談運算教學中算法模型構建的策略。

一、循理入法，構建算法模型

一步運算是運算教學的基礎，運算的掌握有助于算理的理解，而算理又能幫助解決實際問題。在理解算理的基礎上抽象算法，需要以數學思想為指引，先構建算理與算法的聯系。

【案例1】三年級上冊“兩位數除以一位數”的例題如圖1。

1.逐層深入，理解算理

教材中提供了3種理解算理的途徑，逐層抽象：

（1）實物操作。利用小棒分一分，先平均分4捆，每份2捆;再平均分6根，每份3根。這一途徑通過半具體半抽象的活動，讓學生理解算理，感悟算法。

（2）看圖想象。從題圖中觀察得出，每班先分得2筒羽毛球，再分得3個羽毛球。這一途徑通過建立表象活動，讓學生理解算理。

（3）口算方法。先用十位數40除以2，再用個位數6除以2，最后將兩個得數相加得到23。這一途徑通過抽象活動，讓學生理解算理。

教師引導學生在分小棒和看圖分羽毛球的半具體半抽象操作過程中感知到分與合的思想，對應數學算法，深刻理解將被除數46分成40和6，先用40除以2，再用6除以2，最后將兩次分得結果合并的算理，逐步上升為抽象的數學運算。同時運用數形結合，感悟分合思想，借助口算理解46÷2的算理。

三種途徑清晰地分析了這一道算式的算理，學生雖然聽清楚了，但還需要內化理解算理，真正學會除法計算的算理和算法。運用以上理解算理的方法途徑，可以讓學生自主開展理解算理的活動。

2.以理馭法，構建模型

僅僅依靠一道題的分析，就讓學生聯系算理、算法間的關系，構建算法模型顯然不夠。教學時教師可增加事例幫助學生理解算理，強化具體操作與抽象算法之間的關聯，幫助學生深入理解算理和算法，構建算法模型。學生通過對題組的觀察，借助已有的活動經驗，豐滿對算理的理解，建立算理與算法之間的聯系;通過對一些事例的觀察、比較，發現都是將被除數按數位分成十位數和個位數，分別除以除數，再將結果合并這一規律，在此基礎上概括、歸納后，提煉算法，構建算法模型，深化數學思想的滲透運用。

用豎式形式進行運算時，學生只要結合對算理的理解，將算理與豎式計算過程一一對應，規范書寫形式即可。

3.解決問題，運用模型

學生構建出兩位數除以一位數的算法模型后，由此可以擴展到三位數除以一位數的算法模型構建，如639÷3，運用模型能夠自主建構算理與算法的聯系。對于以后學習類似45÷3、206÷5的運算，學生有了算法模型的構建方法后，可以形成探究運用模式，這就是模型思想的力量。

學生經歷了理解算理、建構算法的過程，感悟到模型思想的實用性后，我們還可以把除法口算與乘法口算的過程進行橫向比較，豐富算法模型，提升學生的數學思維能力。

二、猜想驗證，構建算法模型

到小學高年級，學生積累了豐富的活動經驗，抽象、推理能力較低年級明顯提升。教學時可引導學生通過觀察、比較的方法，逐層抽象算法，構建算法模型。

【案例2】六年級上冊“分數乘分數”的例題。

1.尋根溯源，猜想算法

教師可從抽象的分數意義和乘法意義入手，在畫圖操作中引導學生得到計算結果。

（1）圖2中斜線部分是涂色部分的幾分之幾？也就是誰的1— 4？1— 2的1— 4是整張紙的幾分之幾？

通過2個4是8，知道把這張紙平均分成8份。那么，1— 2的1— 4是多少你能用算式表示出來嗎？同理，結合圖3抽象出1— 2的3— 4的算式和結果。

（2）一臺拖拉機，每小時耕地2— 3公頃，1—5 小時耕地多少公頃呢？

學生結合情境，通過畫圖（如圖4）抽象出2— 3乘1— 5的意義，并得到結果。同時利用已有探究經驗，在圖5中表示出4— 5? 小時耕了多少公頃，得到2— 3乘4— 5的意義和結果。

教師應引導學生回顧探究這幾道算式意義和結果的過程，讓學生在抽象概括活動中，形成對算法的合理猜想。

2.舉例驗證，構建模型

算法猜想是否合理正確，需要進行驗證。通過舉例，學生驗證算法猜想的正確性，再聯系分數乘整數的算法，形成分數乘法算法模型。

在初步理解算理的基礎上，教師可引導學生合理猜想，開展“猜想——驗證”數學探究活動（見表1）。經歷算法模型構建的過程，有助于學生感悟、運用數學思想方法，提升思維能力。

我們的猜想 分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母？

我的驗證 1.按照猜想算一算：

1—3? ×1— 4 =1×1—3×4? =1— 123—4? ×3— 5 =3×3—4×5? =9— 20

2.根據算式的意義畫圖驗證：

我的結論 猜想 ? ? 成立（） 不成立（）

三、以事明理，構建算法模型

混合運算重在對運算順序的理解，教學中需要讓學生明晰運算順序是什么，為什么是這樣，并能構建運算順序模型加以運用。

【案例3】三年級下冊“不帶括號的兩步運算”的例題，如圖6。

1.分析數量關系，理解算理

教師可引導學生借助數量關系解決實際問題，用事理明白算理。學生嘗試列出綜合算式5×3+20或20+5×3，通過數量關系，理解需算出3本筆記本多少元的原因，所以先算5×3。教學中教師還可以用運算的意義讓學生明晰運算順序，觀察算式5+5+5+20或20+5+5+5，其中5+5+5表示3本筆記本的價錢，可以寫成5×3。乘法是加法的簡單寫法，且比加法高級，所以先算乘法。通過不同途徑讓學生初步感知到運算順序的算理。

2.歸納題組算法，構建模型

讓學生在理解算理的過程中構建運算順序模型，從中感悟運用數學思想的必要性，有利于提升思維能力。僅僅用一道混合運算能概括出有乘法和加、減法的運算順序嗎？顯然不能，還需要對較多的題組素材進行觀察、比較，開展抽象、歸納、概括活動，發現不同事例中運算順序的相通之處，從而建構運算順序模型。

3.解決實際問題，運用模型

學生建構了運算順序模型后，還要能夠會運用該模型。教師可設計解決實際問題的題組：某公園的兒童票每張4元，成人票每張8元，現一共有50元。根據已知信息，解釋以下算式表示的意義：（1）8+4×5;（2）8×2+4;（3）50-4×6;（4）8×7-50。

要知道這些算式表示的意義，學生需在數量關系的支撐下運用運算順序模型解決問題，在厘清綜合算式里每一步運算順序的前提下，真正理解算式的意義，知道算式解決的是什么問題。

對于三步及以上混合運算的順序教學，我們可以在分析數量關系的基礎上，理解運算順序，構建運算順序模型。如四年級上冊第七單元《整數四則混合運算》中的例2、例3（見圖7）直接出示算式，利用學生對小括號的已有認知，遷移到有小括號和中括號的多步運算中，得到混合運算的順序。這樣的編排其實不利于構建算法模型，提升學生思維。

其實，教師可以為例2、例3創設情境，學生在問題解決的過程中，從分析數量關系入手，嘗試列綜合算式，探究運算順序。探究過程中，學生可以對一組算式進行研究，發現運算順序特點后構建模型;也可以采用“猜想——驗證”的探究路徑。不管采用哪一種學習方法，都是對已有數學思想的滲透運用，都能夠有效提升學生的數學思維。

學生在學習三步計算運算順序后還會遇到更多步數的計算，在明晰運算順序的“理”之后，經歷了“化繁為簡”的過程后，可以感受到多步運算順序的“序”，構建出運算順序模型，感悟數學思想，并最終運用運算順序模型解決問題。

我們要關注學生學習過程中思維的培養，讓學生感悟思想方法。在“四則混合運算”的教學中，注重推理、轉化思想的滲透，教給學生用聯系溝通的方法學會學習，在教學中抓住數量關系在運算順序學習中的關鍵作用，以事理明算理，使學生內隱的思維外顯，培養思維能力。

綜上，教師在運算教學中，可以引導學生集中操作，將抽象算理具象化，形成算法表象;可以讓學生利用已有知識經驗遷移類推，合理猜想算法，進而驗證猜想;還可以指導學生通過數量關系分析，在明晰事理的基礎上理解算理，形成算法。教材編排“數的運算”知識時，多采用一事一例的方法，讓學生對具體事例進行探究，理解算理，抽象歸納算法。實際教學中教師也可以重組教材的例題和習題，多呈現一些事例，豐富學習探究的素材，在抽象、推理、模型數學思想的滲透運用過程中，教會學生構建算法模型。