淺談電磁場中常用的數(shù)值求解算法

范昊博

摘要：麥克斯韋將電磁之間的關系用數(shù)學形式進行了表示，從而打開了電磁學發(fā)展新的大門，經(jīng)過多年的發(fā)展，電磁場的相關知識在醫(yī)學成像、光纖通信技術等眾多領域中都得到較為廣泛的應用。由此可見，電磁場在人們的生活中扮演著舉足輕重的角色，本文對電磁場常用的數(shù)值求解算法及各自特點進行介紹分析。

關鍵詞：電磁場;數(shù)值求解算法;特點

在很久以前人們就開始對電磁現(xiàn)象進行研究，但一直沒有真正的數(shù)學模型，直到1873年麥克斯韋在前人研究的基礎上，對電磁之間的關系使用數(shù)學形式進行表示，從而使得電磁場理論有了數(shù)學模型，為電磁學的進一步發(fā)展打開了一扇新的大門。隨著科學技術的發(fā)展，人們對電磁的研究也越來越深入，目前在人們的日常生活中都有著電磁波的應用，如醫(yī)學成像、光纖通信等領域。在使用電磁波時，由于實際環(huán)境的復雜性和多樣性，電磁波的傳播會產(chǎn)生散射等問題，變得十分復雜，因此，研究者們必須要對具體且實際的電磁波傳播特性進行高標準求解計算，并可以實現(xiàn)通過數(shù)值仿真便可得到準確有效的電磁特性。計算機等技術的快速發(fā)展為人們對實際中電磁波所涉及的問題進行數(shù)學建模及仿真分析提供了高效且便捷的手段，從而產(chǎn)生了計算電磁學。

計算電磁學對電磁波進行計算時通常分為兩種方法，分別為半解析法和數(shù)值法。其中前者較為繁瑣，應用范圍有限，很少有人對該方法進行研究。后者則得到深入的研究并廣泛應用在眾多的領域中。由于需要對麥克斯韋方程組求解，所以根據(jù)求解方式又將數(shù)值法進一步細分，分為時域和頻域兩大類。目前在頻域使用的較為成熟的算法主要有：頻域有限差分（FDFD）方法、矩量法（MoM）、有限元法（FEM）等;而在時域中使用的較為成熟的算法主要有：時域有限元（FETD）法、時域積分（TDIE）法、邊界元法（BEM）以及時域有限差分（FDTD）法。與各算法比較而言，時域有限差分算法即FDTD算法具有簡單易懂、可對寬頻帶計算等優(yōu)勢得到較為深入的研究和完善，成為最常用的電磁求解算法之一。下面對常用的電磁求解算法進行介紹和分析。

一、頻域方法

1、頻域有限差分（FDFD）方法

該方法是一種在頻域求解電磁問題的算法，其基本求解思路是先對時域的麥克斯韋方程組進行變換，將其變換到頻域，然后對頻域直接進行離散化，對空間使用階梯近似方法進行離散化，從而計算求解。此外，當遇到對復雜目標進行仿真時，使用FDTD方法需要借助亞網(wǎng)格或非均勻技術。

2、有限元法（FEM）

該方法是以變分法為基礎來對電磁問題進行求解的，它的基本思想是先通過把計算空間進行不規(guī)則劃分，將空間變?yōu)橛邢薅嗟木W(wǎng)格單元，然后借助插值函數(shù)和微分方程的思想將所劃分的空間網(wǎng)格單元作為求解函數(shù)的插值點來運算求解，便得到電磁問題的解。該方法劃分網(wǎng)格靈活，可以對復雜的結構和環(huán)境進行精確的仿真，應用范圍較為廣泛，但當涉及形狀復雜物體的電磁問題求解時，為了保證計算精度，使用有限元法必須要將空間網(wǎng)格劃分的足夠細，這樣會在模擬仿真時使得計算量和內(nèi)存占用率大大提升，花費較多的仿真時間。另外，使用FEM只能對有限空間進行求解，無法對無限空間求解。

3、矩量法（MoM）

該方法對電磁問題求解的基本思想是先通過基函數(shù)和測試函數(shù)將原本的積分方程變換成矩陣方程，然后使用共軛梯度法迭代求解。矩量法一般在高階或與其他方法混合的算法中得到應用研究。

二、時域方法

1、時域有限元（FETD）方法

該方法對電磁問題求解時有兩種方式，一種基于矢量波動方程，另一種是基于麥克斯韋方程組。在對電磁問題計算時，F(xiàn)ETD方法空間部分會采用與有限元相同的方式，而時間部分使用顯式或隱式進行差分。因為在對空間部分計算時，F(xiàn)ETD算法采用了與FEM一樣的計算方法，因此其可以靈活選擇網(wǎng)格單元，仿真較為精確，但是遇到復雜形狀，不規(guī)則的網(wǎng)格也會使該算法分析困難。

2、時域積分（TDIE）方法

該算法是以時域積分方程為基礎進行計算的，其空間部分進行離散，采用的方式與矩量法一樣，時間部分使用顯式或隱式進行差分。該方法其實可以看成是以矩量法為基礎。時域積分方法雖然具有在計算時所計算的空間小，無色散誤差，精度高等優(yōu)點，但也存在產(chǎn)生稀疏矩陣，不穩(wěn)定或計算效率低等問題。

3、邊界元法（BEM）

該方法同樣也是采用了有限元法的網(wǎng)格劃分思想，但它并不是對整個計算空間進行網(wǎng)格劃分，而是只對計算空間的邊界進行網(wǎng)格劃分，所以與FEM相比，該算法所處理的網(wǎng)格單元數(shù)量更少，計算效率更高。另外，邊界元法還可以對無限域進行求解，目前研究人員已經(jīng)將BEM和FEM兩種算法進行耦合，使兩者在數(shù)值仿真中能夠互補。

4、時域有限差分（FDTD）法

該算法是由K.S.YEE提出的，其在求解電磁問題時的基本思想是先將麥克斯韋方程組差分離散化，然后對離散化后的方程求解，最后用求得的解代替原本方程的解。時域有限差分算法憑借其計算效率高，計算時占用內(nèi)存少，并且可以進行并行運算等特點在許多領域中都得到應用，而且該算法提出后不斷發(fā)展、完善，是目前最常用的電磁求解算法之一。但是傳統(tǒng)的FDTD算法會受到穩(wěn)定條件CFL的限制，在求解精細結構時會需要大量的時間，所以近年來研究者們不斷在原本算法的基礎上進行改進、完善，得到新的FDTD算法來克服傳統(tǒng)算法所存在的問題。現(xiàn)在常用的改進的FDTD算法有交替方向隱式時域有限差分（ADI-FDTD）算法、CN近似耦合時域有限差分算法等等。

三、結束語

對于頻域算法而言，其只能處理單頻或窄帶問題，適用性較差。時域算法雖然可以彌補頻域算法的缺陷，但其會受到穩(wěn)定條件限制或存在計算精度不高的問題。所以當對目標電磁場問題進行求解運算時，要結合頻域和時域各種算法的優(yōu)缺點選擇合適的算法實現(xiàn)快速精確計算求解。

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