認知結構視角下《倍的認識》教學難點與突破

計麗莉 韋宏

【摘要】本文以人教版數學教材《倍的認識》為例，論述認知結構視角下《倍的認識》教學難點突破策略，通過找準學生的學習起點、建立“倍”的模型及在比較中深化“倍”的內涵三個方面，以創設情境、操作活動和方法指導等途徑突破難點，促進學生的學習遷移。

【關鍵詞】認知結構 《倍的認識》 難點 突破 教材分析

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0097-02

教學難點是指學生在教學活動中不易理解和掌握的知識與技能，也是學生學習的難點。找準了教學難點，才能構建有效的數學教學課堂，實現教學目標。而在教學實踐中，仍出現教師把教學難點定得太低或者太高的現象，其原因在于部分教師依賴個人經驗和習慣，以成人的角度來確定教學難點。《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。”由此，準確把握教學難點，教師需基于學生的認知結構，結合數學課標要求，認真做好教材的分析工作。

簡單而言，認知結構是指學習者頭腦里的知識結構。數學認知結構是指學生頭腦中的數學知識結構和數學經驗。加法結構和乘法結構是小學生主要構建的數學認知結構，從加法結構到乘法結構，學生的認知結構會發生“質變”。數學教學中，“倍”是學生從加法結構過渡到乘法結構的一個重要轉折點，在數學概念體系中占據舉足輕重的地位。《倍的認識》屬于概念教學，具有高度抽象性，學生學習和理解起來存在一定的困難。基于學生的認知結構，小學階段的概念教學要建立在實際的問題情境中，依托形象化的學習材料，引導學生把復雜的問題納入已有模式中，構建新的數學模型、解決問題，從而理解數學概念。本文對人教版小學數學教材中《倍的認識》這部分內容展開分析，指出《倍的認識》的教學難點，在于找準學生的學習起點、幫助學生建立“倍”的模型，以及在比較中理解“倍”的內涵這三個方面，并試圖通過創設情境、操作活動和方法指導等途徑突破教學難點。

一、《倍的認識》的教學難點分析

美國心理學家奧蘇伯爾認為，課堂教學中，學習者需要將新概念融入原有的認知結構中。他還提出，觀念的可利用性、可辨別性、穩定性與清晰性，是影響學生進行有效學習的認知結構變量。教師可以此作為標準分析教材，對《倍的認識》教學難點進行剖析。

（一）找準學生的學習起點

從學生發展的認知角度看，“倍”的學習是學生從認識加法到乘法的一個轉折點。因此，學生建立乘法認知結構的開始就是對“倍”的學習。教材第50頁的例題中，引入了“小兔子吃蘿卜”的情境，讓學生觀察不同種類的蘿卜數，經歷從具體實物數量比較中逐漸抽象出“倍”的過程。教材先通過比較2根胡蘿卜和6根紅蘿卜的數量，再比較2根胡蘿卜和10根白蘿卜的數量，以2根胡蘿卜為一份，引出3份2根和5份2根的關系，建立“幾個幾”和“倍”的聯系，讓學生在“幾個幾”的基礎上認識“倍”。教材是在學生已有乘除法知識上進行編寫的。“幾個幾”是學生認知乘法結構中的內容，屬于學生原有的認知觀念。學生原有觀念的可利用性越大，對新概念的接受能力越強。教材一開始并沒有以除法知識為起點來讓學生初步認識“倍”，原因在于，直接利用學生原有的除法觀念來教學“倍”，思維跨度大，觀念的可利用性不強，不利于學生有意義地學習。

在教學中找準學生的學習起點，引導學生充分利用原有觀念將“幾個幾”與“倍”建立關系，是初步學習“倍”的關鍵，亦是難點。由此，教師在解讀教材時，要知道學生的認知基礎是“幾個幾”，并正確處理好學生原有觀念與“倍”的關系，避免在進行教學設計時對學生的認知起點產生誤判，最終導致教學效果不理想。

（二）建立“倍”的模型

教材第51頁的例題，是關于“求一個數是另一個數的幾倍”的教學，旨在運用除法知識幫助學生深化對“倍“的認識，即兩個量的比較，一個量包含幾個另一個量。教材給出“畫示意圖“和“列除法算式”兩種解決方案，主要培養學生的發散思維能力，體現方法的多樣化，使得學生明白解決倍數問題可以用除法解決，能從除法角度進一步理解“倍”的概念，并讓學生感受到畫圖策略的應用價值。但在教學過程中，很多學生未能真正理解利用“除法算式”解決這道例題的用意，不少學生會有“見倍就乘”的想法，顯然，這是“倍“的模型未能在學生頭腦中真正建立的表現。如果學生原有的除法觀念與倍的概念辨別性不高，學生理解起來存在困難，那么學生的思維就不能擺脫舊知識的束縛，就難以掙脫“見倍就乘”的思維定勢。

因此，教師要基于學情領悟教材的編寫意圖，理解其表達的深刻內涵，為除法與“倍”的知識搭建橋梁，提高學生對原有知識與新知的辨析度，幫助學生建立“倍”的模型。可見，教師解讀教材之后，在教學過程中引導學生搭建“倍”的模型是教學的難點。

（三）在比較中深化“倍”的內涵

比較是認識新事物，判斷對象特性的一種學習方法。研究表明，比較是兒童認識新事物、學習新知識的一種學習方式。“倍”本身就是關于兩個數量的比較。教材第50頁的例題中，對不同種類蘿卜數量的比較，教師在教學中要讓學生明確比較的兩個對象里，誰是作為“比較的標準”，誰是“被比較的量”，并能通過語言表征、動作表征和圖畫表征等多種形式，描述“倍”的內涵，即一個量里包含了幾個另一個量。根據奧蘇伯爾提出的影響認知結構的變量，在確定“標準量”與“比較量”的過程中，就是將學生原有觀念“幾個幾”（份數）與倍數進行組織構建，讓學生在比較中提高對原有乘法觀念的認知，實現學習的正向遷移。

此外，學生在學習“倍”的知識之前，已經掌握了“差比”知識，它與“倍比”是兩個不同的知識結構，教師要幫助學生區分概念的內涵與外延，使得學生明確“差比”是比多少的問題，它的結果是一個具體的量，而“倍比”的結果是兩個量間的一種關系，在比較中進一步理解“倍”的內涵。關于“倍”的外延概念，三年級學生主要學習“整數倍”，此外還存在分數倍、小數倍、百分數和比的內容。教師要引導學生重視知識結構的連貫性，做到“瞻前顧后”。可見，在教學中巧妙地運用比較這一方法幫助學生深化“倍”的內涵，適當為后續的學習做好鋪墊，也是教學中的一個難點。

二、突破《倍的認識》教學難點的途經

于小學生而言，概念教學是抽象的，是難以理解的，教師需要基于學生原有的認知結構，認真研讀教材，精心設計教學活動，實現概念教學在各環節的難點突破。針對《倍的認識》存在的教學難點，筆者提出以下可行的突破路徑。

（一）創設多樣情境，感知“倍”的概念

情境是教師“教”和學生“學”的重要載體。數學概念的建立，需要經歷一個反復、持續的過程。為此，教師要以學生的認知經驗為線索，試圖在課堂上創設多樣化的情境喚醒學生的舊知，激發學生的學習動力，誘發學生的數學思考。在《倍的認識》課堂上，教師可以創設學生喜聞樂見的游樂園場景圖，預先設計關于比多少的問題，再逐步擴展到倍數問題，讓學生嘗試用原有的認知方法去解決關于倍數的實際問題。當學生產生認知沖突時，教師再加以點撥，引導學生學習新知。教師也可以靈活運用教材例題，先讓學生在“幾個幾”的基礎上初步認識“倍”的概念，然后在“變化”中加深對“倍”的理解。如教師可在“小兔子吃蘿卜”這一教學情境中，充分利用現有資源，設計連續多樣的情境，不斷改變兩個比較量的數量，讓學生在經歷“變化”中體會數學學習的樂趣。教師創設出貼近學生生活的有趣多樣的情境，就是在試圖拉近學生和課本間的距離，提高學生在課堂教學中的參與度，促進學生對“倍”的概念的認識，為突破教學難點做準備。

（二）重視操作活動，建立“倍”的模型

“倍”的概念學習，表明了兩類事物在數量上是一種比較的關系，是看不見、摸不著的。從小學生的認知特點上看，文字概念的呈現和建立極不穩定，小學階段的概念教學需要依靠感性的材料和具體的操作活動，在活動過程中構建數學模型，才能加深學生對概念的理解。數學模型可以將抽象的數學知識具體化，幫助學生理解知識。為此，教師要以活動為抓手，重視操作活動，幫助學生建立“倍”的模型，完善概念的形成過程。教師可以創設“看一看，說一說”“圈一圈，填一填”“想一想，擺一擺”等操作活動，讓學生動用多個感官參與學習，在實踐探索中積累感性經驗，逐步抽象出“倍”的概念。學生在“圈一圈，填一填”的操作活動中，確定了比較的標準，也在頭腦中建立了“1份”的概念，為“倍”與“份數”搭建聯系，接著通過“想一想，擺一擺”操作活動進行數學思考，從“感性體驗”向“抽象思維”過渡，理解“一個量里包含幾個另一個量就是幾倍”，明確“倍”和“包含”的關系，建立“倍”的模型，最終達成對“倍”本質的理解，突破教學難點。

（三）注重方法指導，培養幾何直觀

借助幾何直觀能將復雜的數學問題簡單化，培養小學生的幾何直觀能力，幫助學生厘清數量關系，提升學生的解題能力。在教學用“倍”的知識去解決實際問題時，分析數量關系成為解題的關鍵。本單元教材先后以實物圖、示意圖及線段圖呈現了幾何直觀的應用價值，也強調了畫圖策略在厘清題意、解決問題中的重要作用。為此，教師在教學過程中，應積極引導學生學會通過畫圖表示兩者間的數量關系，提高數學解題的思維。基于學生的認知結構，學生在分析解決問題時選擇的圖形會有所不同，有的學生可能只會用實物圖來表示數量關系。對此，教師應允許學生用自己喜歡的圖形表示數量關系，尊重不同學生的選擇，學生可以畫形象的實物圖，也可以畫抽象的線段圖。在交流討論中，教師提問學生“你們覺得哪一種畫法更好呢？請說出你的理由”，進一步引導學生發現畫線段圖的好處，最終將畫線段圖運用到方法指導中。教師在教學過程中注重畫圖方法的指導，學生才能真正學會用“倍”的知識，去處理不同數學對象之間的數量關系，進而突破教學難點，實現對知識的正遷移。

《倍的認識》屬于概念教學的范疇，具有高度抽象性，同時《倍的認識》是兒童數學認知結構中的一個生長點，起到承上啟下的作用。教師要基于學生的認知結構認真研讀教材、分析教學難點，通過創設情境、操作活動和方法指導等途徑突破《倍的認識》教學難點，促進學生將原有認知與新知相融合，提高課堂教學的有效性。

【作者簡介】計麗莉（1996— ），女，廣西來賓人，南寧師范大學2020級初等教育學院碩士研究生在讀，研究方向為小學數學教育;韋 宏（1968— ），男，廣西上林人，理學碩士，南寧師范大學副教授，碩士研究生導師，研究方向為數學學科教學與研究。

（責編 楊 春）