斜面上干摩擦阻尼振動的求解及其教學探討

藍 郁　夏立新　伍方舟

斜面上干摩擦阻尼振動的求解及其教學探討

藍 郁1夏立新2伍方舟2

（1.衡陽師范學院 物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002；2.喀什大學 物理與電氣工程學院，新疆 喀什 844000）

本文從斜面上彈簧振子在干摩擦阻尼作用下的動力學問題出發，通過建模列方程，給出了振子初速為零和非零時的解。研究結果表明：其運動是振幅不斷減小的阻尼振動。提出了相應的教學思考，對于教學研究有一定的參考價值。

斜面問題；干摩擦；阻尼振動；教學研究

在進行大學物理教學的過程中，筆者發現一些《大學物理》教材[1-3]中有一例題的解答不嚴謹，有點問題。該例題插圖如圖1所示。

一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質量為的物塊，物塊與斜面的摩擦系數為，彈簧的剛度系數為，斜面傾角為，今將物塊由彈簧的自然長度拉伸后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？

圖1　《大學物理》例題圖

事實上，該例題中的物塊可視為斜面上的彈簧振子，其運動屬于振動范疇，所以題目中出現了“第一次靜止”的字眼。由已知條件可知，物塊在振動的過程中，將受到滑動摩擦力的作用，并非作簡諧振動，而是作阻尼振動。兩固體間由于相互接觸而產生的摩擦力也稱為干摩擦力。除了干摩擦力外，物塊在運動中還會受到空氣粘滯阻力的作用，粘滯阻力也稱為濕摩擦力。粘滯阻力一般比較復雜，當物塊的速度比較小時，可近似認為與速度成正比，各種物理學教材[4-6]一般是以這種情況為例子介紹阻尼振動的。實際上，干摩擦阻尼也是常見的情況，但是關于干摩擦阻尼振動的研究不多[7-9]，而且情況也相對復雜。本文將從這個例題出發，討論斜面上的干摩擦阻尼振動，給出其解析解，然后再進行相關的教學探討。

1　斜面上干摩擦阻尼振動的解析解

1.1 斜面上干摩擦阻尼振動的動力學方程

研究干摩擦對斜面上彈簧振子運動的影響，忽略濕摩擦的作用，物塊受重力、斜面支持力、彈簧彈性力和摩擦力的作用。為定量描述物塊的運動，建立正向沿斜面向下的坐標系，如圖1所示，原點取在彈簧自然伸長處，則物塊的動力學方程為

1.2 靜平衡區間和動平衡位置

1.3 初速為零時動力學方程的解

式(4)是一個簡單的常微分方程，其解為

解之可得

利用式(8)和坐標變換式(2)，得到式(1)的解為

將上述結果直觀化，欠阻尼情況下的振動曲線如圖2所示，其中：，，為簡單起見，重力加速度取。在以下的討論中，這幾個參數不變。物塊的初始位置為，滑動摩擦系數。圖2中的水平細實線表示物塊的平衡位置，而兩水平細虛線之間的區域為靜平衡區間。由圖2可知：物塊振動時受干摩擦阻尼的影響，振幅不斷減小，最后在靜平衡區間某個位置停下來，并不一定能回到平衡位置。

圖3 臨界阻尼和過阻尼振動曲線

圖4 時的干摩擦阻尼振動曲線

1.4 任意初始條件下動力學方程的解

繼續討論式(1)在初速不為零的情況下的解。

物塊離開平衡位置的極值位移分別為

物塊離開平衡位置的位移極值分別為

圖5 初速不為零時的干摩擦阻尼振動曲線

圖6 滑動摩擦系數對初速不為零時的干摩擦阻尼振動的影響

顯然，在同一初始條件下，隨著滑動摩擦系數的增大，物塊能完成振動的半周期數減少，甚至不能完成往復運動。初速不為零時，物塊即使處于靜平衡區間內，仍然運動到某一次速度變為零時的位置位于靜平衡區間內才停止。

2　例題的三種可能情況及相應的一點教學思考

根據前面的討論，圖1給出的大學物理例題按照物塊初始位置的不同，應有三種可能的結果。

至此，全面解答了圖1給出的例題。一些《大學物理》教材[1-3]給出的解答雖然不周全，但對于大學物理的教學來說也不一定是壞事，甚至可以好好利用，據此引導學生深入思考問題，提高學生全面分析問題和解決問題的能力。

在教學的過程中，可以先讓學生對振子進行受力分析，提示學生需要考慮靜摩擦力，然后引導學生思考彈簧伸長量對摩擦力的影響。顯然，當彈簧伸長量變化時，彈簧彈性力和重力在斜面方向上分力的合力就會不斷變化，包括大小和方向，并引發由靜摩擦力向滑動摩擦力的轉變。通過適當的引導，學生就比較容易獲得關于摩擦力的大小和方向(包括什么情況下由靜摩擦力向滑動摩擦力的轉變)的正確認識，進而得出上述討論的三種情況，從而發現題目解答的漏洞。這就培養了學生全面分析問題和解決問題的能力，并能加強學生的全局觀思維。最后趁機給學生介紹阻尼振動的知識，也可以拓寬學生的視野，提高學生學習大學物理的興趣。

其實，各種《大學物理》教材都不是完美的，都有或多或少的缺點或問題。老師在發現這些問題的同時，可以思考如何正確利用這些問題來調動學生思考問題的積極性，而不僅僅是填鴨式地向學生灌輸知識。當學生在老師的正確引導下開始自主思考問題的時候，就會想著去更深入認識和理解這些問題，嘗試著運用所學的知識去解決這些問題，而當他們發現自己知識儲備不足時也會想著去學習更多的知識，以期理解所遇到的問題。而在編寫教材時，也不一定要把所有問題都講述得一清二楚，應該給學生留下更多思考的空間。

3 結 語

本文求得了斜面上受干摩擦阻尼作用的彈簧振子在初速為零和初速不為零時的解析解。當振子初速為零時，若其初始位置位于靜平衡區間內，則振子保持靜止狀態；若振子初始位置位于靜平衡區間之外，則做振幅不斷衰減的阻尼振動，最終在靜平衡區間內某位置停下來。當振子初始速度不為零時，則其先朝著速度方向運動，直到第一次速度變為零，其后的運動情況則與由靜止釋放時的情況相同。給出了相應的一點教學思考，提出可以利用教材存在的各種缺點或問題引導學生自主思考問題，并提高學生全面分析問題和解決問題的能力。

[1]趙近芳,王登龍.大學物理：上[M].5版.北京:北京郵電大學出版社,2017.

[2]趙近芳,王登龍.大學物理簡明教程[M].3版.北京:北京郵電大學出版社,2017.

[3]匡樂滿.大學物理：第一冊[M].北京:北京郵電大學出版社, 2008.

[4]趙凱華,羅蔚茵.力學[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

[5]漆安慎,杜嬋英.力學[M].3版.北京:高等教育出版社,2012.

[6]馬文蔚,周雨青,解希順.物理學：下冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2014.

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G420

A

1673-2219（2021）03-0094-05

2020-09-11

喀什大學教研教改課題重點資助項目（項目編號KJDZ1701）。

藍郁（1979－），男，廣東高州人，博士，副教授，研究方向為凝聚態理論。

夏立新（1966－），男，湖南益陽人，博士，教授，研究方向為量子光學。伍方舟（1989－），男，湖南長沙人，碩士，講師，研究方向為物理教育。

（責任編校：宮彥軍）