基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下概率模型的教學(xué)設(shè)計(jì)探究

汪菊玲 石育雄 安永軍

摘要：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。本文以《幾何概型的應(yīng)用》教學(xué)為例，從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度，精心設(shè)計(jì)其建模過程，不僅能夠讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的方法，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，還能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;教學(xué)設(shè)計(jì);幾何概型的應(yīng)用

中圖分類號：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：（2021）-32-457

數(shù)學(xué)建模是通過對實(shí)際教學(xué)問題的簡化和抽象后，用數(shù)學(xué)原理建立模型，再解決相關(guān)的問題。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師想要滲透數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，應(yīng)將其融入在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)過程、教學(xué)總結(jié)等各個(gè)環(huán)節(jié)，從而使學(xué)生能夠針對數(shù)學(xué)問題開展猜想與交流，實(shí)施探究活動(dòng)，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。幾何概型作為新課標(biāo)新增加的知識(shí)點(diǎn)，與生活實(shí)際緊密相關(guān)，同時(shí)與幾何論證、計(jì)算等方面也有關(guān)聯(lián)，因此在高考中出現(xiàn)的可能性較大，作為教師應(yīng)該有效設(shè)計(jì)教案，幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)與技能。

一、問題引求知

教學(xué)目標(biāo)是一切活動(dòng)設(shè)計(jì)的中心點(diǎn)與落腳點(diǎn)。因此教師應(yīng)在教學(xué)目標(biāo)中體現(xiàn)出建模素養(yǎng)，如將實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，使學(xué)生通過猜想、探究掌握幾何概型的應(yīng)用能力等。幾何概型主要是用來計(jì)算基本事件可“連續(xù)”發(fā)生的有關(guān)概率問題，大多數(shù)是實(shí)際生產(chǎn)、生活問題。因此教師在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，可以采用生活類的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。既能夠滿足教學(xué)目標(biāo)要求，也能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望。例如，公交車是高中生經(jīng)常接觸的交通工具，為此教師便可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)生活問題情境，公交車站每隔15分鐘便會(huì)有一輛公交車到達(dá)，但是我們到公交車站的時(shí)間是任意的，求你到達(dá)車站候車時(shí)間大于10分鐘的概率。

二、猜想引交流

當(dāng)問題提出之后，教師一定要給予學(xué)生時(shí)間進(jìn)行有效的猜想與交流，從而使學(xué)生打開探究思路，更好地解決數(shù)學(xué)問題。因此數(shù)學(xué)教師需要在教學(xué)設(shè)計(jì)中預(yù)留時(shí)間空間，讓學(xué)生發(fā)揮主動(dòng)性。為了將建模素養(yǎng)更好地落實(shí)，此時(shí)教師便需要引導(dǎo)學(xué)生在猜想與交流中，將實(shí)際的生活問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的數(shù)學(xué)問題。

首先，該問題是與長度有關(guān)的幾何概型問題，那么學(xué)生在猜想時(shí)，首先要找到幾何區(qū)域D，緊接著找到事件發(fā)生在區(qū)域D對應(yīng)的區(qū)間d，在此過程中，學(xué)生需要找到一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即確定邊界點(diǎn)，但是邊界點(diǎn)是否取到并不會(huì)對事件的概率產(chǎn)生影響。

三、探究引思考

學(xué)生對該題進(jìn)行分析，將時(shí)刻抽象為點(diǎn)，時(shí)間為線段，利用幾何概型的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。首先設(shè)前一輛公交車達(dá)到的時(shí)刻是T1，下一輛公交車到達(dá)的時(shí)刻是T2，此時(shí)根據(jù)題意，我們可以知道T1T2的長度為15，假設(shè)T是線段T1T2下標(biāo)上的某個(gè)點(diǎn)，T1T的長度是5，TT2的長度是10（如圖）。

當(dāng)圖形繪制之后，教師再讓學(xué)生進(jìn)行自主思考與探究，也可以與同桌進(jìn)行相互交流，以此保證學(xué)生的“用腦”頻率，使學(xué)生始終處于思考狀態(tài)。思考過后，教師可以讓學(xué)生進(jìn)行自主分享，提出自己的探索經(jīng)過。

學(xué)生1說：“當(dāng)我去坐車的時(shí)候，將等車時(shí)間大于10分鐘當(dāng)作事件1，如果我到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T之間，事件1發(fā)生。因?yàn)閰^(qū)域D的總長度是15，那么我等待事件超過10分鐘的區(qū)間d的長度是5，即：P1=d的長度D的長度=515=13，所以可以得出我等車時(shí)間超過10分鐘的概率是三分之一。

四、訓(xùn)練引鞏固

為了切實(shí)加強(qiáng)學(xué)生的建模素養(yǎng)，教師可以在該題的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸與演變，使學(xué)生進(jìn)一步探索更多的數(shù)學(xué)奧秘，并鞏固目前學(xué)到的知識(shí)。如公交車每隔15分鐘到達(dá)一輛，每輛車會(huì)在站牌處停留3分鐘，此時(shí)再求等車時(shí)間大于10分鐘的概率。

該題在前一題的基礎(chǔ)上增加了難度，學(xué)生需要在之前的數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行調(diào)整才能解決該問題。此時(shí)教師可以給學(xué)生一點(diǎn)提示，如教師為學(xué)生繪制一個(gè)圖形。

當(dāng)圖形繪制完畢之后，很多學(xué)生便有思路，繼續(xù)按照該模型進(jìn)行求解，此時(shí)設(shè)等車時(shí)間大于10分鐘的事件為A，此時(shí)我們到站時(shí)刻t便會(huì)落在T1T，所以就是P1=T1TT2T2=215

五、總結(jié)引完善

在課堂的結(jié)尾處，為了驗(yàn)證模型是否符合實(shí)際生活中的問題，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證，此時(shí)也可以向?qū)W生列舉更多相關(guān)的生活問題進(jìn)行解釋，使學(xué)生進(jìn)一步理解幾何概型的模型。最后，教師讓學(xué)生總結(jié)出幾何概型的數(shù)學(xué)模型，即先確定區(qū)域D，再確定事件落在區(qū)域D中相對應(yīng)的區(qū)間d，最后求出概率。

高中數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，教師在教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生的建模思想和建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生建模意識(shí)，提高學(xué)生課堂建模方法的能力，并鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、思考和論證等方法建立模型。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為一個(gè)與生活息息相關(guān)的話題，離不開既定的生活環(huán)境，教師的目標(biāo)是提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生善于觀察和總結(jié)數(shù)學(xué)生活的規(guī)律，強(qiáng)化建模思維在生活中的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的全面提升。

參考文獻(xiàn)

[1]張應(yīng).在實(shí)際問題情境中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模——問題情境驅(qū)動(dòng)下的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（19）：14-15.

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