分類討論思想在初中數學解題教學中的運用分析

朱曉芬

摘要：分類討論思想指的是在數學解題過程中，由于問題的特殊性和數學本身的內在規律，答案不具有唯一性，這時就應該采用分類討論思想，對于每一種符合題目要求的情況逐一分析，通過分類討論，可以有效地將數學問題“化繁為簡”，利用分類思想將困難的問題轉化為各個簡單的小問題，不僅能提高學生的學習效率，還能鍛煉學生舉一反三的思維能力。

關鍵詞：分類討論思想;初中數學;解題教學;運用分析

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-34-477

引言

數學學科的解題方式比較靈活，同一道題可能有多種解題思路，不同題目的解題思路也有可能相同，所以要想采取最合適的方法解決數學問題，就要在平時學習過程中，注重數學思想在解題中的應用。分類討論思想作為一種重要的數學思想，在生活和學習中的應用非常廣泛，能夠幫助學生了解數學知識的體系，對提高學生思維能力和邏輯能力具有重要意義。分類討論思想可以輔助學生對知識點的整理，并能夠探索其內在規律，簡化難題，真正做到舉一反三。

一、利用分類討論思想解決三角幾何問題

三角形問題也是學生在解決數學問題中經常遇到題型，因為幾何知識的抽象性和邏輯性，學生在解決這類問題時存在一定的難度。而且因為學生的空間想象力不足，難以準確理解此類問題的具體意思，解題思路自然存在偏差。因此，教師在教學時，需要有意識、有目的地培養學生的邏輯思維能力，鍛煉學生的空間想象力。將分類討論思想方法運用到幾何問題解決中，有效幫助學生解決數學問題，提高學生的數學解題技能，確保學生的數學解題效率，增強學生的解題信心。

例2如圖所示，已知兩條直線l1和l2，以及一條線段AB，兩條直線相交，假設兩條線段上存在一點P，在什么情況下，能夠滿足△PAB為等腰三角形？解析學生在求解上述數幾何問題時，因為缺乏較強的想象力，在解決問題上存在一定的難度，如果學生繼續運用傳統的解題方法，可能會導致答案錯誤。因此，教師需要指導學生正確解決上述問題，首先，教師需要幫助學生回憶有關等腰三角形的定義和相關知識，然后指導學生利用課堂所學知識進行求解，正確運用分類討論思想方法，已知AB為等腰三角形的一條邊，現在需要進行分類。首先，假設AB為等腰三角形的底邊，在此條件下，作線段AB的中垂線，分別與直線l1和l2相交于點P2和P1，此時滿足要求，即△PAB為等腰三角形。繼續假設，當線段AB為等腰三角形的腰時，又需要進行分類。首先假設當∠A為頂角時，教師引導學生利用課堂中與等腰三角形的定義知識，指導學生作圖.以點A為圓心，線段AB為半徑畫一個圓，和直線l1和l2相交于點P3、P4、P5和P6，即滿足上述題目的要求。當∠B為頂角時，同理，以點B為圓心，線段AB為半徑作圓，可得到和直線l1和l2的交點P7、P8、P9和P10，滿足數學題目要求，△PAB為等腰三角形。由此可見，學生在解決初中數學三角問題時，應當正確指導學生利用分類討論思想解決數學問題，提高學生的數學解題效率，確保初中數學課堂教學質量。

二、分類討論與圓

根據圓心到直線的距離與半徑的數量關系將其劃分為：直線與圓相離、相切、相交這三種位置關系。這就是使用分類討論思想進行幾何知識教學最常見的例子，通過分類討論，可以較容易的解答與圓相關的數學題。

例如，在直角坐標系中，直線y=（槡3/3）x上有一個圓，半徑為1，圓心P的坐標為（2槡3，m），然后，讓圓P沿著直線向斜下方移動，速度為每秒1個單位，問經過多少秒后圓P與x軸相切。我們已經知道什么是相切了，即直線與圓有且僅有唯一的一個公共點.題目說到讓圓P向斜下方移動，那么圓P經過移動后，會同x軸相切，此時圓P在第一象限，這是第一種情況，大多數學生都能考慮到，但是還有第二種情況，即圓P同x軸相交后，還可以接著向斜下方移動，移動到第三象限時同樣會同x軸相切，以上是教師通過運用分類討論思維對題目進行的一個綜合分析，接下來就可以給學生講解具體的解題步驟。題干已經給了我們坐標和解析式，下一步應該將坐標代入到解析式中，這樣就得到了m的數值為2，接下來過點P做一條垂直于x軸的線段，設這條線段與x軸的焦點為D，那么線段PD的數值就是m的數值，為2。將原點O，圓心P以及垂足D相連，我們得到的是一個直角三角形，根據勾股定理，可以得出線段OP的數值，角POD為30度，根據這些信息，可以依次算出兩種情況下的答案，即2秒或者6秒。由于本文并非為習題參考答案且篇幅有限，具體解題步驟就不再一一贅述。

在解決初中數學中的幾何問題時，教師還可以在分類討論的基礎上，疊加數形結合的教學方式來進行教學，這樣就可以將抽象的數學理論具象化，增加學生對知識的理解，提高學生的學習效率。

三、在函數解題中的應用

初中數學教學中，函數問題占據著很大一個比例，也是考試難點之一.但學生在分類討論時，經常會考慮不周。例如求解有關x的函數問題：y=ax2+2x+3，若a為常數，則保證函數圖像和x軸存在一個交點時，a的取值是多少.其實這道題的本質考察的就是分類討論思想，由于對二次函數概念理解的不準確，很多學生看到這種題就會走入一個誤區，直接將該函數看做二次函數，但二次函數的定義必須保證a不為0，所以這道題目的難點就在于a是否為零。

作為比較經典的題目，可以在初步講授分類思想時，當作例題講給學生聽，首先要讓學生準確的對課本概念進行記憶，明白一次函數和二次函數的區別，其次就是觀察參數所在的位置，當參數處在比較特殊的位置時，一定要特別注意，最后通過分類討論的思想，對題目進行分類討論，主要需要考慮的有兩類，參數a為0和不為0的情況，通過詳細的分析就能快速準確的將題目解答出來。

結束語

綜上所述，分類討論思想作為重要的解題思路，不是通過幾節課的講述就掌握的，這需要教師在日常教學過程中，不斷進行指導，使這種思想逐漸滲透到學生的解題過程。所以，初中階段的數學學習必須加強分類討論思想的灌輸，并不斷培養學生的思維能力和解題的周密性，為討論過程打下堅實的基礎，進一步提高學生的數學思維能力，從而提升數學課堂教學的效率。

參考文獻

[1]王曉玲.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].理科愛好者（教育教學），2020（03）：99+101.

[2]但雪蓮.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].新課程（中學），2019（05）：63.

[3]朱華梅.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].考試周刊，2018（95）：101.