問題與改進：小學生“面積”概念形成的過程研究

脫中菲，周麗娜

（1.東北師范大學附屬小學,吉林長春130021；2.長春東師中信實驗學校，吉林長春130117）

一、研究背景

小學數學階段，“圖形與幾何”領域里兩個重要的核心概念是“空間觀念”和“幾何直觀”。其中，空間觀念是指對空間中物體的位置以及位置之間關系的感性認識［1］。長度、面積和體積都體現了對圖形的度量。面積是促使學生從一維空間向二維空間轉化的核心內容，對于學生空間觀念的形成具有重要價值。

筆者在長期的教學研究中發現，學生對面積概念的理解存在一定的困惑。針對剛剛學習完“面積”單元的學生進行訪談，通過“提到面積，你首先想到的是什么？”這樣的一個問題來考察學生面積概念的表象。數學概念表象在數學概念形成、理解、運用中都具有重要地位，它構成了數學概念的關鍵部分。學生在記憶、表征、運用數學概念時，多是與概念表象相聯系，而較少使用概念定義［2］。多數學生的回答都是：長方形的面積公式“長×寬=面積”，說明在學習過程中，公式學習的影響容易讓學生忽視對面積概念本質的理解。學生僅關注面積求解的過程。但是，當筆者要求學生解釋長方形面積公式為什么是“長×寬”的時候，多數學生認為這是一種“規定”，是由長方形的長和寬決定的，而沒有將長方形面積與面積概念、面積單位進行關聯。對于圖形大小的描述就是看這個圖形中包含了多少個面積單位，而公式就是快速數出有多少個面積單位的簡便方法，可是真正理解公式這層含義并記住的學生很少。這也說明了平時的練習只是在強化學生對公式的記憶，而不是加深學生對公式的理解。

很多有經驗的教師也試圖通過調整教學設計來解決這樣的困惑。最為重要的是要清楚“面積”作為一種通過觀察和測量進而辨識其性質的量，要使學生形成對面積的概念需要從哪些方面著手，在教學過程中應該設計什么教學活動來促進學生面積概念的形成，這也是本研究重點關注的問題。

二、研究設計與方法

（一）研究設計

本研究整體采用基于問題改進的行動研究的思路。通過問卷測驗的方式了解已經學習完面積單元的學生（對比班120 名學生）面積量感的水平，進而確定研究的問題，在此基礎上通過文獻研究、教材比較研究，結合國標版小學數學三年級面積單元的教材內容，進行了單元內容的重新編排，并先后進行了兩輪實施過程。第一輪主要解決的是單元框架的合理性問題，針對實施過程中的問題，對于單元內容的難度、容量進行了調整，形成新的單元內容框架。第二輪主要解決的是教學策略、方式的優化，以達到良好的教學效果。教學結束后，研究者以第二輪實施過程中的學習者為研究對象（實驗班共124 名），通過問卷測驗和課堂觀察相結合的方法對學生的學習過程和結果進行了分析與研究。

（二）研究方法

本研究整體上屬于行動研究，在具體的研究過程中主要采用問卷測驗、課堂觀察等方法收集獲取關于學生學習結果和過程的數據和信息。問卷測驗首先用于發現學習過該單元的學生（對比班）的面積概念的理解水平，從而進一步明確在行動過程中需要解決的問題；其二是用于測查實驗班學生在單元學習后的學習效果，目的是為了評價單元設計與實施的效果。課堂觀察的目的在于描述并記錄學生真實的學習狀態，從而刻畫實驗班學生面積概念形成的過程。

（三）研究工具

測驗問卷是以臺灣學者高敬文、黃金鐘提出的面積概念形成的三個重要維度：面積單位理解與運用、面積的保留概念、面積公式的應用為框架設計編制的，分為4個難度層次。共16道題。

層次0：①知道什么是面積；②能夠辨別不同測量的量的單位；③等積變形，能判斷形狀不同但面積相同的圖形；④能根據給出條件應用面積公式求出面積。

層次1：①能用數單位的方法求解圖形的面積；②具有面積保留概念，知道一個圖形分成三份，拼成一個圖形后，面積不變；③能夠通過數面積單位的方法求得圖形面積；

層次2：①具有面積的保留概念，能夠理解相同的兩個面積，去掉相同數量的小正方形，面積依舊相等；②知道面積單位越小測得的面積單位數量越多；③能用面積公式解決變式問題。

層次3：①能理解面積和周長的關系；②能理解并解釋面積公式。

在課堂觀察方面，為了更好地了解學生每一課的學習目標達成情況，研究團隊采用了課堂觀察的方式，選擇焦點小組做重點觀察，并在班級選擇A、B、C（高、中、低）三種不同學習水平的學生作為觀察對象，了解這些學生在學習過程中的具體表現和實際困難。

筆者將每節課的教學目標進行了細化與分解，分解成學生在課堂上的具體行為。將每節課的教學目標作為一級指標，再進一步將一級指標進行分解，分解為可以觀測的二級指標。在課堂教學的過程中，觀察者以記錄二級指標中具體行為的發生時間作為采集數據，同時配以課堂觀察質性觀察單對學生的具體行為做簡單的描述，以確認行為是否發生。把整個大單元教學過程作為一個長的時間連續體，就可以清晰地看到在整個單元實施的過程中每一個具體的行為指標在典型學生的學習過程中是如何發生的，這樣就可以刻畫學生的學習過程。本研究選擇了單元教學中的4 個核心課時（共160 分鐘），對所分解出10 個一級指標，33 個二級指標所對應的學生行為進行觀察、判斷并標注發生的時間、順序，再換算成整個單元完成時間，順次標注指標發生的時間點，就可以了解不同水平學生在學習過程中的目標達成情況以及困難點、差異點，描述不同學習水平學生的面積概念形成過程，發現面積形成過程的規律和特點。

三、研究過程

（一）雙螺旋上升構建單元，實現過程與方法的遷移

在比較中外教材的基礎上，“面積”單元的設計整體上突出強調核心內容的學習，在新增學習內容的前提下，對單元教學內容順序進行了調整。將3個面積單位1 平方厘米、1 平方米、1 平方分米作為整個單元設計的主線，突出1平方厘米的學習，并以此作為面積概念形成的基礎和核心，放大、放長學習過程。將平方分米、平方米的學習作為面積概念形成過程的提升和延展，增強這兩個面積單位對于面積概念形成過程的遷移和轉化作用。基于此，課題組將面積單元進行了調整，如表1。

表1 國標教材內容與調適后的單元內容編排對比

（二）在比較和測量活動中，促進“單位”概念的形成

作為一個“量”的概念，面積概念的形成始終要伴隨測量活動而展開。測量活動可以是觀察，也可以是使用工具，可以是粗略的比較，也可以比較測量單位的數量等。因此在教學過程中，教師設計了直觀比較、直接比較、間接比較、個別單位比較、公用單位比較的學習活動，讓學生在測量中發現面積公式，讓學生在測量、操作、體驗的活動中理解什么是面積，從直觀逐漸走向抽象。另一方面學生逐漸感受測量的本質——即用不同大小的“面”來測量面積的大小。

在教學過程中，教師要努力做到以下兩點。首先是引導學生逐漸發現測量物體的面積要盡量“量盡”，這就需要媒介物之間減少空隙，甚至不能有空隙，使學生逐漸形成“用形狀規則的物體去測量面積，減少空隙”的概念，為形成單位的概念打下基礎。其次，要讓學生經歷面積產生的過程，感受面積產生的必要性。這個面積單位的產生是在不斷優化和比較測量工具的過程中發現的，也是學生在不斷“數面積單位求得面積”的過程中感受到的，體現了對度量思想的感悟。

（三）優化面積測量結果，在測量活動中引導學生發現面積公式

封閉圖形的大小就是這個圖形的面積，對于圖形大小的描述就是看這個圖形中包含有多少個面積單位，面積計算公式只是一種快速而簡便地求解面積的方法，是求解面積方法的優化。“數”面積和“計算”面積的過程都是促進學生形成“面積是幾倍單位量的數值化表示”這一觀念的途徑。如果說，產生面積測量的單位對于面積概念的形成打下了基礎，那么在測量活動中發現面積計算的方法，則促進學生進一步深化和拓展了對于面積的理解。而教學設計的關鍵在于如何促進這兩種途徑的融會貫通，而并非將二者割裂開來。因此，研究者認為應該在測量活動中引導學生去發現面積公式，為學生構建長方形面積與長方形的長和寬之間的支架。

學生基本上可以理解第一種方法，用學具鋪滿長方形。第二種方法，只鋪滿長方形的長和寬，是將長方形面積與長方形的長和寬構建聯系的關鍵環節，其實質是在用1 平方厘米的正方形的邊長去測量長方形的長，用1 平方厘米的邊長測量長方形的寬，這種方法是對一種方法的簡化，同時也是面積求解方法由測量向計算的過渡。第三種方法，將面積的測量過程進一步轉化為長度的測量過程，主要體現將面積單位直接轉化為長度單位，可以直接抽象出面積計算的公式。經歷了這樣的學習過程，學生才能進一步體會到面積計算的公式是對面積測量結果的優化過程，其本質上是對“面積是幾倍單位量的數值化表示”這一觀念的延伸與拓展。

四、研究發現

（一）學生面積概念的形成過程

課題組對于三個不同學習水平學生的所有教學目標的達成情況的時間記錄，配合質性觀察單的描述與確認，基本上記錄了不同水平學生（學生A、B、C 分別代表高、中、低三種學習水平）面積單元學習過程中的學習情況。

不同水平學生學習目標達成在程度上和時間先后中存在差異。A水平學生達成的指標最多，且達成各項指標的時間最早。A 水平學生逐一連續地完成了每一級指標。B 水平學生有1 處一級指標沒能達成，C水平學生有3處一級指標沒有達成。

不同水平的學生學習情況不同。課題組發現，對于指標“選擇面積大的圖形進行涂色”和“能用動作表達面積的含義”、指標“知道1平方厘米的大小”和指標“能對長方形面積公式進行解釋說明”，三種水平的學生在目標達成的時間上相差不多，說明這些指標對于三種水平的學生來說難度不大。而在指標“能借助學具進行面積的間接比較”“能借助學具測量面積大小”“能對長方形面積公式進行解釋說明”“能運用公式進行簡單的計算”上，學生的學習水平呈現了較大的差異。特別是“能根據長方形面積公式得出正方形面積公式”這個指標，對于B水平和C水平的學生來說，都較難達成。課題組將這些指標對應到教學目標體系中的“1 平方厘米的認識與應用”和“長方形面積公式的探索”。這也是該單元在課程與教學設計上突破最大的兩節課，可以說明這兩節課的教學設計是成功的。而學生出現發展困難和差距是在面積大小的比較、理解統一單位的必要性、解釋說明長方形面積公式以及探索正方形面積公式等方面。

（二）單元學習結果的分析

實驗班和對比班在對面積概念理解方面有明顯的提升，實驗班的學生對于“面積”一詞的理解不再只是“長乘寬”這個計算公式，而是有更多的學生想到了對“面積”這個量的感受。

在面積單元教學過程中，教師要力爭體現面積作為一個量的本質。如下面的兩個圖形，正是考察學生對測量本質的理解——通過點數面積單位求得面積（表2）。在長方形中，只給出橫縱方向的刻度劃分，而沒有直接畫出長方形具體包括多少個面積單位。這個情境看似具有一種“未完成性”，但實際是在考察學生對面積概念的理解。在調查過程中，有些學生問老師：沒有給出長和寬（高）的長度，怎么求得面積呢？出現這個問題的原因是學生在學習面積時還是更多地關注了通過“算”得出結果，而忽視了對面積概念本質的思考，即數出圖形中面積單位的個數就可以表示圖形的面積。從數據上可以看出，實驗班對于測量本質的理解要明顯好于對比班。學生對長方形面積的理解要總體好于三角形，學生對面積以及面積單位的理解可以遷移到具體情境中解決問題。

表2 學生對測量本質的理解情況的測驗結果

實驗班學生對面積單位的理解及應用也明顯要好于對比班。在回答“用面積是1 平方厘米和1 平方分米的正方形測量課桌面，哪一種正方形需要的數量多，為什么？”這個問題時，實驗班的正確率為97.5%，明顯高于對比班的正確率69.1%。這說明教學促進了學生對單位及面積之間關系的理解，學生理解了測量單位與單位個數之間的關系。再如：“亮亮家有一塊邊長為1 米的正方形地面損壞了，需要多少塊面積是1 平方分米的方磚才能修補好？”實驗班的正確率為81.3%，對比班的正確率為39.2%，這說明學生已經將面積單位與測量個數之間的關系的理解轉變為解決問題的能力。

課題組還通過考察長方形面積公式的理解進而了解學生面積概念的理解情況。在要求學生“說明一下長方形的面積為什么等于長×寬”這個問題的結果上，實驗班學生對于為什么長方形面積等于長×寬這一問題的解釋更加合理，學生能夠自動調取學習過程中的策略進行解釋。

對于面積概念的深入理解也直接提高了學生解決具體問題的能力。從統計數據來看，實驗班學生解決問題的能力（88.1%）好于對比班（76.9%），并且在運用公式解決問題過程中，極少出現周長與面積公式相混淆的情況。

關于面積的保留概念，課題組通過“把一個正方形分割成三等份，拼成一個圖形會怎樣？”“從面積是8 平方厘米的兩個圖形中，各挖去一個同樣大小的正方形，剩余部分會怎樣？”兩個問題來考察，考察結果發現：實驗班學生的正確率達90%，高于對比班。而在“從面積是8 厘米的圖形中，各挖去一個同樣大小的正方形，剩余面積是多少”這樣的問題上，兩類調研對象的正確率分別為85.6% 和86.4%。可以看出，通過本單元內容的學習，學生對面積的保留概念有了很好的理解。

五、研究結論與反思

（一）單元內容螺旋上升式的安排能促進學生形成面積概念

面積作為一個測量的“量”，具有較強的抽象性，對其理解需要更加具體化。單元內容的重新調整就是突出了以1平方厘米作為學生理解面積的載體，圍繞面積單位的產生、面積單位的大小建立面積概念的直觀，從而為概念的形成搭建梯子。用1平方厘米為單位，引導學生在探究活動中發現長方形、正方形面積的公式，一方面降低了學習難度，同時也便于學生夯實1 平方厘米的空間觀念。而這樣的學習過程將通過1 平方分米、平方米的學習再次學習和應用，體現了已有測量經驗、概念在新的問題情境中的遷移和運用，這樣的學習，學生頭腦中的1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空間觀念的建立都是真實的、具體的，這對于學生理解什么是面積、什么是面積的測量都具有重要的意義價值。

（二）有質量的測量活動是形成面積概念的基礎

面積概念的形成必然要伴隨大量的測量活動。有質量的測量活動的基本特征在于：1.有大量可選擇的材料支持測量活動，讓學生體驗不同材料測量的過程和結果；2.設計多個層次的面積比較活動，還原問題情境，讓學生經歷學習的過程；3.關注從操作經驗向思維活動經驗的轉化，也就是從單純動手操作走向動腦思考。比如本單元的面積公式的探索與發現，學生如何從單位面積的點數過程走向對長方形長、寬的關注，從面返回到長度，這是抽象的過程，也是測量優化的過程。

（三）發現了面積概念形成的學習困境和教學難點

從對學生學習過程和學習結果的分析來看，學生掌握1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空間觀念并不困難，但是在理解面積單位產生必要性，解釋長方形面積公式等內容上仍然存在困難。筆者認為面積概念的形成需要一定的抽象思維能力作為基礎，特別是在一定空間觀念形成的基礎上，抽象出概念與概念之間關系等，對于三年級正處于形象思維向抽象思維過渡階段的學生來說，還存在一定的困難，需要教師在教學中予以關注。