基于數學核心素養的高中數學排列組合解題研究

趙玉娟

摘 要：排列組合問題可以培養學生的數學運算能力和數據分析能力，在高考中主要是以選擇、填空的形式出現，分值為5分，應用性強，并且與實際問題相關聯，試題具有一定的靈活性和綜合性，易于考查學生分析問題的能力。實踐證明，關于排列、組合問題備考有效的方法是題型與解法歸類，識別模式、熟練運用。

關鍵詞：數學核心素養;高中數學;排列組合

一、緒論

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標）指出普通高中的培養目標是進一步提升學生綜合素質，著力發展六大核心素養：數學抽象、 邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析[1]。排列組合問題可以培養學生的數學運算能力和數據分析能力，高考中主要以選擇、填空的形式出現，多與實際問題相聯系，并具有一定的靈活性和綜合性。實踐證明，備考排列、組合問題的有效方法是題型與解法歸類，我們要識別模式，熟練運用。

二、歸納分析

排列組合問題考查方式多樣，現以下面八種常見的排列組合問題給出方法指導及例題解析。

（一）相鄰問題捆綁法

方法指導：對于要求某些元素相鄰的問題，需要先將相鄰元素看作一個整體，再與其他元素進行排列，同時對相鄰元素進行自排。

案例一：7位同學站成一排，甲、乙必須相鄰，并且丙不能站在排頭與排尾的排法有多少種？

解析1：首先甲乙必須相鄰，采用捆綁法，將二者看作一個整體A22，此時相當于有6個元素，丙不能站在排頭和排尾，從除丙之外的5個元素中選出兩個站在排頭排尾A25，剩下4個元素全排列A44，A22×A25×A44=960。

解析2：甲乙捆綁A22，此時相當于有6個元素，從丙可以選擇的位置入手，從中間4個位置選一個給丙A14，剩下5個元素全排A55，A22×A14×A55=960。

解析3：排除法A22。甲乙捆綁，6個元素進行全排列A66，減去丙在排頭和排尾的情況，丙在排頭和丙在排尾各有A55種排法，A22（A66-2A55）=960。

（二）不相鄰問題插空法

方法指導：對于不相鄰問題用插空法，先排除沒有要求的元素，讓不相鄰的元素插空。

案例二：6把椅子擺成一排，3人隨即就坐，任何兩人不相鄰的坐法有多少種？[2]

解析：不相鄰問題首先考慮插空法，任何兩人不相鄰相當于每兩個人中間都有椅子。先把3個空椅子放上，形成4個間隙，在這四個間隙中選擇三個位置即可滿足題意A34=24。

（三）間接法

方法指導：對于某些問題，若問題的正面情況較為復雜而其對立面比較簡單，可用間接法求解，即正難則反。特別是在“至多”“至少”問題中。

案例三：5男5女選3人參加節目，其中至少一名女生入選的方案數為多少？

解析：“至少”問題，可以從題目的對立面下手。5男5女共10人，選3人C310，減去沒有女生入選的方案，相當于只從男生中挑選5人C35，C310-C35=110。

（四）隔板法

方法指導：用來解決相同元素之間的分配問題[3]。

案例四：求方程x1+x2+x3+x4=10的正整數的解的組數。

解析：將10個完全相同的球排成一列，會形成9個間隙，在這9個間隙中任意選擇3個空，就能將10個球分成4份，每一份球的個數為x1、x2、x3、x4，此時x1+x2+x3+x4=10。同理，方程的解的組數與插入隔板的方法對應，即C39=84。

（五）分組問題

方法指導：一般地，n個不同元素分成p組，各組元素數目分別為m1，m2 …，mp。其中k組元素數目相等，那么分組方法數是。

案例五：有2個紅球、3個黃球、4個白球。同色球不加以區分，將這九個球排成一列有多少種排法？

解析：同色球不加以區分等價于相同顏色的球不考慮順序。先將9個球全排A99，再除以紅球、黃球、白球的順序A99，A99/A22×A33×A44=1260。

（六）特殊元素（位置）——先選后排

方法指導：某些元素（位置）的排法受到限制，解題時，應先考慮這些元素，這種方法叫作元素分析法，也可以優先考慮位置，這種方法叫作位置分析法。

案例六：3男4女按照不同要求排隊，全體站成一排，其中甲不在最左端，且乙不在最右端，有多少種方案？

解析：元素分析法，如果甲在最右端，剩下的6個元素沒有限制，進行全排A66;如果甲不在最右端，并且甲也不能在最左端，剩下5個位置可以選擇。甲選完之后，乙選擇，減去甲和最右邊的位置，乙有5個位置可以選擇，剩下5個人進行全排A55。A66+5×5×A55=3720。

（七）定序問題縮倍法

方法指導：對于某些元素的順序已經確定的問題稱為定序問題，常用除法處理，先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列個數。

案例七：5男5女排成一排，女生從高到矮的順序排列，共有多少種排法？

解析： 有10個位置，先將男生排在其中任意5個位置A310，在男生排完之后，將女生安排在剩下的5個空，而剩下的5個女生只有1種排法，所以排法種數為A310×1=30240。

（八）多元問題分類法

方法指導：元素多，取出的情況也多種，可以按照結果要求分成不相容的幾類情況分別計數，最后總計。

案例八：從1，2，3，…，100中任取2個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法（不計順序）共有多少種？

解析：被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，它們的乘積就被7整除，將這100個數分為兩組，能被7整除的數的集合記作A={7，14，21，…，98}共14個元素，不能被7整除的數的集合記作B={1，2，3，…，100}，共86個元素。當兩個數都從A中取時C214=91，當其中一個數從集合A中取，另一個數從集合B中取時，C114C186=1204，共有C214+C114C186=1295。

三、結語

本文總結了八種方法，基本包含了高中數學排列組合題目所有的應用情況和應用策略，能夠解決實際問題，從而引導學生更好地理解和掌握這部分知識，提高學生的解題水平，培養高中數學核心素養中的數學運算能力和數據分析能力，為高考奠定堅實的基礎[4]。在排列組合教學過程中要引導學生思考，總結題目考查的是哪個知識點，會與哪些知識相關聯，是以什么形式來出題的，題目中隱藏的信息有哪些，怎樣將已有知識綜合運用到題目中，多角度分析問題的來龍去脈，從而掌握解決每類問題的通法。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]薛金星.怎樣解題[M].北京：北京教育出版社，2017.

[3]于水青.排列組合問題的求解方法與技巧[J].山西師范大學學報（自然科學版），2014，28（S2）：15-17.

[4]伍春蘭.檢視高考數學第一輪復習——以排列組合復習為例[J].數學通報，2017，56（12）：37-38.