基本不等式求最值的誤區(qū)警示

■石漢榮 劉大鳴(特級(jí)教師)

本文總結(jié)了利用基本不等式“a,b∈R+,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)”求最值的幾種誤區(qū),并對(duì)產(chǎn)生的思維誤區(qū)進(jìn)行了剖析和警示,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

誤區(qū)1:利用基本不等式求最值忽視“和為定值合理配湊積”的形式

例1若a,b∈R,且2a+b=3,則ab的最大值是_____。

警示:基本不等式必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。解答本題的關(guān)鍵是由和為定值,合理配湊出積的最大值。

誤區(qū)2:利用基本不等式求最值忽視“積為定值合理配湊和”的形式

警示:解答本題的關(guān)鍵是由積為定值合理配湊出和的最小值。

誤區(qū)3:利用基本不等式求最值忽視取等號(hào)的條件

誤區(qū)4:利用基本不等式求最值忽視隱含條件

例4已知實(shí)數(shù)a,b滿足ab=1,則a+b的取值范圍是____。

錯(cuò)解:由a+b≥2=2,可得a+b的取值范圍是[2,+∞)。

剖析:由題設(shè)知a≠0,b≠0。上述解法求出的是當(dāng)a>0,b>0時(shí)的最小值,忽視了當(dāng)a<0,b<0時(shí)的最大值。事實(shí)上,當(dāng)a>0,b>0時(shí),a+b≥2=2;當(dāng)a<0,b<0時(shí),(-a)+(-b)≥2=2,即a+b≤-2。故a+b的取值范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞)。

警示:利用基本不等式求最值時(shí),要注意公式成立的條件。

誤區(qū)5:利用基本不等式求最值忽視“整體代入”的妙用

誤區(qū)6:忽視基本不等式的靈活應(yīng)用

警示:在基本不等式中,要分清平方平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系。