集合與常用邏輯用語核心考點綜合演練

■歐陽亮

一、選擇題

1.如果a,b,c,d為集合A的四個元素,那么以a,b,c,d為邊長構成的四邊形可能是( )。

A.矩形 B.平行四邊形

C.菱形 D.梯形

2.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三個元素組成的集合,且2∈A,則實數m的值為( )。

A.2 B.3

C.0或3 D.0或2或3

3.方程組的解集是( )。

A.{x=1,y=-1}

B.{1}

C.{(x,y)|x=1,y=-1}

D.{(x,y)|(1,-1)}

4.用列舉法可將集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示為( )。

A.{1,2}

B.{(1,2)}

C.{(1,1),(2,2)}

D.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

5.能正確表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}關系的Venn圖是( )。

6.設集合A={1,2,3},B={2,3,4,5},定義A⊙B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},則A⊙B中元素的個數是( )。

A.7 B.10

C.25D.52

7.全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},B={x∈Z|x2-5x+4<0},則?U(A∪B)=( )。

A.{0,1,3,4} B.{1,2,3}

C.{0,4} D.{0}

8.已知集合A={0,1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},則A∩B的真子集個數為( )。

A.5 B.6

C.7 D.8

9.已知全集U=R,集合M={x|(x-1)·(x+3)<0},N={x||x|≤1},則圖1中陰影部分表示的集合是( )。

圖1

A.[-1,1)

B.(-3,1]

C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)

D.(-3,-1)

10.集合A,B滿足A∪B={1,2},則不同的有序集合對(A,B)共有( )。

A.4個 B.7個

C.8個 D.9個

11.已知集合P={x|x≥0},集合Q=,則P∩(?RQ)=( )。

A.[0,2) B.[0,2]

C.(-1,0) D.(-∞,1]

12.有下列四個命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,≤x0;④?x0∈N*,x0為29的約數。其中真命題的個數為( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

13.命題“任意x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是( )。

A.a≥4 B.a≤4

C.a≥5 D.a≤5

14.命題“存在一個無理數,它的平方是有理數”的否定是( )。

A.任意一個有理數,它的平方是有理數

B.任意一個無理數,它的平方不是有理數

C.存在一個有理數,它的平方是有理數

D.存在一個無理數,它的平方不是有理數

15.以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是( )。

A.銳角三角形有一個內角是鈍角

B.至少有一個實數x,使x2≤0

C.兩個無理數的和必是無理數

D.存在一個負數x,使

16.下列說法正確的是( )。

A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”

B.若a,b∈R,則“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件

C.命題“?x0∈R,+x0+1<0”的否定是“?x∈R,x2+x+1>0”

D.若“p且q”為假命題,則p,q全是假命題

17.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

18.命題:“存在x∈R,使x2+ax-4a<0”為假命題是命題“-16≤a≤0”的( )。

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

19.關于命題“當m∈[1,2]時,方程x2-2x+m=0沒有實數解”,下列說法正確的是( )。

A.是全稱量詞命題,假命題

B.是全稱量詞命題,真命題

C.是存在量詞命題,假命題

D.是存在量詞命題,真命題

20.已知命題p:“?x∈R,4x2+(a-2)x+<0”是假命題,則實數a的取值范圍是( )。

A.(-∞,0) B.[0,4]

C.[4,+∞) D.(0,4)

21.(多選題)集合M={-1,1,3,5},集合N={-3,1,5},則以下選項正確的是( )。

A.?x∈N,使得x∈M

B.?x∈N,使得x∈M

C.M∩N={1,5}

D.M∪N={-3,-1,3}

22.(多選題)下列各組對象能構成集合的是( )。

A.擁有手機的人

B.2020年高考數學難題

C.所有有理數

D.小于π的正整數

二、填空題

23.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一個元素,則實數a的值是_____。

24.設A,B為兩個實數集,定義集合A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={2,3},則集合A+B中元素的個數為____。

25.設全集是實數集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}。若(A)∩B=B,則實數a的取值范圍是____。

26.設集合Sn={1,2,3,…,n},若X?Sn,把X的所有元素的乘積稱為X的容量(若X中只有一個元素,則該元素的數值即為它的容量,規定空集的容量為0)。若X的容量為奇(偶)數,則稱X為Sn的奇(偶)子集,則S4的所有奇子集的容量之和為____。

27.已知p:方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負實根;q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0 的解集為R。若“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,則實數m的取值范圍是_____。

28.給定集合A,若對于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合。給出如下三個結論:①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}為閉集合;③若集合A1,A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合。其中正確結論的序號是_____。

29.已知集合{a,b,c}={0,1,2},若下列三個關系:①a≠2;②b=2;③c≠0,有且只有一個正確,則100a+10b+c=_____。

30.設全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1組成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2 個字符為1,第4 個字符為1,其余均為0的6位字符串010100,并規定空集表示的字符串為000000。若M={2,3,6},則?UM表示6位字符串為_____。若A={1,3},集合A∪B表示的字符串為101001,則滿足條件的集合B的個數為____。

31.設A是非空數集,若對任意x,y∈A,都有x+y∈A,xy∈A,則稱A具有性質P。給出以下命題:

①若A具有性質P,則A可以是有限集;②若A1,A2具有性 質P,且A1∩A2≠?,則A1∩A2具有性質P;③若A1,A2具有性質P,則A1∪A2具有性質P;④若A具有性質P,且A≠R,則?RA不具有性質P。

其中所有真命題的序號是____。

三、解答題

32.已知集合A中含有兩個元素a-3和2a-1。

(1)若-2是集合A中的元素,試求實數a的值。

(2)-5能否為集合A中的元素? 若能,試求出該集合中的所有元素;若不能,請說明理由。

33.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},集合B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}。

(1)若A∩B=[0,3],求實數m的值。

(2)若A??RB,求實數m的取值范圍。

34.指出下列各題中p是q的什么條件。

(1)p:A∪B=A,q:A∩B=B。

(2)p:

35.求關于x的方程ax2+2x+1=0 至少有一個負實根的充要條件。

參考答案與提示

一、選擇題

1.提示:由于集合中的元素具有互異性,故a,b,c,d四個元素互不相同,即組成四邊形的四條邊互不相等。應選D。

2.提示:因為2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2,即得m=0或m=2或m=3。由集合中的元素要滿足互異性,對m的所有取值進行檢驗,可得m=3。應選B。

3.提示:方程組的解集中元素應是有序數對的形式,排除A,B,而D 的集合表示方法有誤,排除D。應選C。

4.提示:x=1,y=1;x=1,y=2;x=2,y=1;x=2,y=2。故集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示為{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}。應選D。

5.提示:根據題意易得集合N為方程x2-x=0 的解集,則N={0,1}。由M={x∈R|0≤x≤2},易得NM。應選B。

6.提示:A∩B={2,3},A∪B={1,2,3,4,5}。由列舉法可知A⊙B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有10個元素。應選B。

7.提示:因為集合B={x∈Z|x2-5x+4<0}={2,3},所以A∪B={1,2,3}。又全集U={0,1,2,3,4},所以?U(A∪B)={0,4}。應選C。

8.提示:由題意得B={0,1,},所以A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集個數為23-1=7。應選C。

9.提示:由題意可知,集合M={x|-3

10.提示:由題意可按集合A中的元素個數分類。易知集合{1,2}的子集有4 個,即?,{1},{2},{1,2}。若A=?,則B={1,2};若A={1},則B={2}或B={1,2};若A={2},則B={1}或B={1,2};若A={1,2},則B=?或B={1}或B={2}或B={1,2}。綜上所述,不同的有序集合對(A,B)共有9個。應選D。

11.提示:因為Q=={x|x≤-1或x>2},所以?RQ={x|-1

12.提示:對于①,這是全稱量詞命題,由Δ=9-32=-23<0,可知?x∈R,2x2-3x+4>0是真命題。對于②,這是全稱量詞命題,當x=-1 時,2x+1<0,該命題為假命題。對于③,這是存在量詞命題,當x0=0時≤x0成立,該命題為真命題。對于④,這是存在量詞命題,當x0=1時,x0為29的約數,該命題為真命題。應選C。

13.提示:因為命題“任意x∈[1,2],x2-a≤0”為真命題的充要條件是a≥4,所以其充分不必要條件是集合[4,+∞)的真子集。應選C。

14.提示:根據特稱命題的否定為全稱命題,需先將存在量詞改為全稱量詞,然后否定結論,故該命題的否定為“任意一個無理數,它的平方不是有理數”。應選B。

15.提示:A 中,銳角三角形的所有內角都是銳角,A 是假命題。B 中,當x=0 時,x2≤0,B 是真命題。C 中,)=0不是無理數,C 是假命題。D 中,對于任意一個負數x,都有<0,不滿足>2,D 是假命題。應選B。

16.提示:命題“若x2=1,則x=1”的否定為“若x2≠1,則x≠1”,A 錯誤。ab≠0等價于a≠0且b≠0,所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件,B 正確。命題“?x0∈R,+x0+1<0”的否定為“?x∈R,x2+x+1≥0”,C錯誤。若“p且q”為假命題,則p,q至少有一個為假命題,D 錯誤。應選B。

17.提示:因為由“a=3”可以推出“A?B”,反過來,由A?B可以得到“a=3或a=2”,不一定推出“a=3”,所以“a=3”是“A?B”的充分不必要條件。應選A。

18.提示:依題意知x2+ax-4a≥0恒成立,則Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0。應選A。

19.提示:原命題的含義是“對于任意m∈[1 ,2],方程x2-2x+m=0 都沒有實數解”,但當m=1時,方程有實數解x=1,故此命題是含有全稱量詞的假命題。應選A。

20.提示:因為命題p:“?x∈R,4x2+(a-2)x+<0”是假命題,則﹁p:“?x∈R,4x2+(a-2)x+≥0”是真命題,所以Δ=(a-2)2-4≤0,所以0≤a≤4。應選B。

21.提示:-3∈N,但-3?M,A 不正確。1∈N且1∈M,B正確。M∩N={-1,1,3,5}∩{-3,1,5}={1,5},C正確。M∪N={-3,-1,1,3,5},D 不正確。選B,C。

22.提示:根據集合的概念知集合中元素具有確定性,選項A,C,D 中的元素都是確定的,能構成集合,但B 中“難題”的標準不明確,不符合確定性,不能構成集合。應選A,C,D。

二、填空題

23.提示:集合A中只有一個元素,有兩種情況:當a≠0 時,由Δ=0,解得a=1,此時A={-1},滿足題意;當a=0 時,x=-,此時A=,滿足題意。故集合A中只有一個元素時,a的值是0或1。

24.提示:當x1=1時,x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;當x1=2時,x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;當x1=3時,x1+x2=3+2=5或x1+x2=3+3=6。所以A+B={3,4,5,6},共4個元素。

26.提示:由S4={1,2,3,4},可得X=?,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}。其中是奇子集的為X={1},{3},{1,3},其容量分別為1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和為7。

27.提示:由p為真命題,可得解得m>2。由q為真命題,可得Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0,解得1

28.提示:①中,-4+(-2)=-6?A,①不正確。②中,設n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,則n1+n2∈A,n1-n2∈A,②正確。③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=,k∈Z},則A1,A2為閉集合,但A1∪A2不是閉集合,③不正確。答案為②。

29.提示:由{a,b,c}={0,1,2},可得a,b,c的取值情況如下:當a=0時,b=1,c=2或b=2,c=1,此時不滿足條件;當a=1時,b=0,c=2或b=2,c=0,此時不滿足條件;當a=2時,b=1,c=0,此時不滿足條件,但b=0,c=1 滿足條件。綜上得a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=200+1=201。

30.提示:集合M表示的6 位字符串是011001,則?UM表示的6位字符串為100110。若集合A={1,3},集合A∪B表示的字符串為101001,則集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故滿足條件的集合B有4個。

31.提示:對于①,取集合A={0,1}具有性質P,則A是有限集,①正確。對于②,取x,y∈A1∩A2,則x∈A1,x∈A2,y∈A1,y∈A2,又A1,A2具有性質P,所以x+y∈A1,xy∈A1,x+y∈A2,xy∈A2,可知x+y∈A1∩A2,xy∈A1∩A2,可得A1∩A2具有性質P,②正確。對于③,取A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z},2∈A1,3∈A2,但2+3?A1∪A2,③錯誤。對于④,假設?RA具有性質P,即對任意x,y∈?RA,都有x+y∈?RA,xy∈?RA,當A={偶數}時,則1,3∈?RA,1+3=4??RA,故假設不成立,即?RA不具有性質P,④正確。答案為①②④。

三、解答題

32.提示:(1)因為-2 是集合A中的元素,所以-2=a-3或-2=2a-1。若-2=a-3,則a=1,此時集合A含有兩個元素-2,1,符合要求;若-2=2a-1,則a=-,此時集合A中含有兩個元素-,-2,符合要求。故實數a的值為1或-。

(2)不能。理由如下:若-5為集合A中的元素,則a-3=-5 或2a-1=-5。當a-3=-5 時,可得a=-2,此時2a-1=2×(-2)-1=-5,顯然不滿足集合元素的互異性;當2a-1=-5 時,可得a=-2,此時a-3=-5,顯然不滿足集合元素的互異性。故-5不能為集合A中的元素。

33.提示:由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}。

(1)由A∩B=[0,3],可得所以m=2。

(2)由?RB={x|xm+2},且A??RB,可得m-2>3 或m+2<-1,即m>5或m<-3。因此實數m的取值范圍是{m|m>5或m<-3}。

34.提示:(1)由A∪B=A,可得B?A,由A∩B=B,可得B?A,所以A∪B=A?A∩B=B,所以p是q的充要條件。

35.提示:①當a=0時,方程為一元一次方程,其根為x=-,符合要求。

②當a≠0 時,方程為一元二次方程,此時ax2+2x+1=0有實根的充要條件是判別式Δ≥0,可得4-4a≥0,即a≤1。設方程ax2+2x+1=0 的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-

方程ax2+2x+1=0有一負實根和一正實根的充要條件為即a<0;方程ax2+2x+1=0有兩個負實根的充要條件為即0

綜上所述,方程ax2+2x+1=0 至少有一個負實根的充要條件是a≤1。