高品質課堂：重在優化數學任務的設計 ①——“二倍角三角函數(2)”同課異構的設計、實錄與評析

華志遠

(無錫市第一中學 214031)

新一輪課程改革，學生關鍵能力和核心素養的培養倍加關注，但要把新課程理念轉化為教師的高水平教學行為，則需要有效的教研抓手，“同課異構”是重要的途徑之一. 在一次名師工作室活動中，甲、乙兩位教師分別執教“二倍角三角函數(2)”. 從課堂教學的目標、進程和效果來看，兩位教師的教學目標合理，所選例題和練習難度與教材相當，但教學的出發點、內容的組織和師生互動的形式有明顯的區別. 教師甲的課堂：從復習公式、學生練習開始，到例題講解、變式訓練，最后作歸納總結，課堂條理清晰，訓練扎實，但課堂氣氛略顯沉悶，學生思維的活躍度不夠；教師乙的教學從探索規律、解決問題出發，探索數學問題的本源和聯系，體現了數學任務驅動的課堂特點，在組織例題教學時，打破教師講解與學生練習的界限，突出了學生的積極嘗試、思考交流和歸納總結，加上他活潑開朗的性格、風趣時尚的語言以及與學生親密無間的交流，讓人感受到高品質課堂的韻味和氣息. 限于篇幅，下面提供兩位老師的教學設計，并作簡要分析，供同行研討.

1 教師甲的教學設計與實施流程

1.復習倍角公式及其變形，組織學生練習(板演)，教師巡視，并作適當引導.

則cos 2α=________.

2.呈現例題，分析講解.

例1化簡sin2(α-30°)+ sin2(α+30°)+cos2α.

分析：方法1用正弦的和差角公式直接展開、化簡；方法2先降冪、再展開、化簡.(解完后作對比分析，并加以歸納總結)

變式練習：求證：cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.

例3在半圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個矩形的面積最大？

分析：本題既可設邊長為自變量，也可設角度為自變量，但旋轉類及直角三角形等問題，設角為自變量解題較為簡潔.

變式練習：求函數y=sinx(sinx+cosx)的最大值和最小值.

3.總結題型，提煉方法.

求解三角題時：

(1)注意角度變換，如未知角與已知角的關系，相關角與特殊角的關系等；

(2)注重函數名的變換，如化同名函數，正切與正余弦函數共存時化切為弦等；

(3)注意運算結構的變換，如二次根式的升次，和差算式中的降次，合理的通分、約簡、消去等.

2 教師乙的教學設計與實錄分析

例1計算下列各式：

(1)cos230°+ cos290°+ cos2150°=

.

(2)cos215°+ cos275°+ cos2135°=

.

(3)cos245°+ cos2105°+ cos2165°=

.

根據上述計算結果，寫出一般性的結論，并加以證明.

教師追問1：這兩個一般性結論本質上是否相同？哪一個等式更優美？為什么？

教師追問2：直接展開證明與降冪后展開，哪種方法更有數學價值？為什么？

教師：前兩天，我們班一位同學問了我一道平面幾何題，我苦思冥想了半節課，不得其解，請教同事也是一籌莫展，后來突發奇想，能否采用解直角三角形及三角變換來證明呢？結果不到兩分鐘就證明出來了，那時真的很有成就感.大家也來想一想，怎樣證明？

例2如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，∠BAC=30°，E為AC的中點，在CB的延長線上取一點D，使∠BAD=10°，在AD上取一點F，使EF⊥AC.求證：AF=CD.

教師：有些代數題，如,例3已知x2+y2=1，求3x2+2xy+y2的最大值和最小值，看似常規，直接用消元法求解，卻因為出現根式而不易把握，怎么辦？

學生普遍認為，采用三角代換，可以起到降次、降元，并把問題轉化為三角函數的最值，再化歸為y=Asin (ωx+φ)的最值求解，最后引導學生總結出三角代換的若干原則.

教師：三角變換不僅能解決平面幾何、代數中的困難問題，還能解決一些實際問題.我手里拿的是半徑為30 cm的半圓形金箔紙，現要剪出一張矩形紙片，怎樣裁剪才能使這個矩形面積最大？為了不進行破壞性試驗，我復制了兩張同樣大小的廢報紙，供大家設計、嘗試時使用，裁剪方案怎樣設計呢？(圖與上節例3相同)

變式練習：半徑為30 cm的圓形金箔紙，現要剪出一張矩形紙片，怎樣裁剪才能使這個矩形面積最大？(呼應半圓與圓形的區別與聯系，并從“完形”的角度揭示其聯系)

教師：如果要測試本節課的學習效果，能否編制一份三個題目的測試卷？前后四人一組，可以分工協作，五分鐘后作評比.

實錄分析：從視頻展示臺上展出的測試題來看，雖然大部分題目只是例題的變形，但從學習者的角度選擇這種變式，需要一定的歸納、總結、反思和評價能力，而這正是布魯姆學習評價中倡導的最高層級.在教師引導下，課堂小結在“為什么要編制這樣的測試題”的主題中完成.這里列舉其中的若干題目：

(1)求值：cos210°+ cos250°+ cos270°.

(2)求證：cos2α+cos2(α+30°) -

(4)已知x2+y2=4，求x2+2xy-y2的最大值和最小值.

(5)分別求斜邊長為2的直角三角形的面積和周長的最大值.

3 執教者的專業背景分析及評價

從兩位教師的自我介紹來看，教師甲長期從事畢業班教學，因此對常規題、套路題的訓練極為重視，而對培養學生的興趣、能力、素養等方面關注甚少，因此課堂教學呈現出一定的單一性和封閉性.具體表現在題目的分析切入過早，且過于直接，求解的推進過程較快，歸納小結時學生參與較少，而模仿性、鞏固性練習較多，雖然短期效果較好，但從長期來看，學生難以形成高認知水平.

教師乙只完成了高中一輪的循環教學，現在是某一課題組成員.在聽課交流中，他對本節課的教學定位，除了知識、技能和方法目標外，對如何使學生親身經歷數學化的過程，體現“做中學”的數學教學理念；如何設計數學任務可以促進學生對數學的理解、提高學習的興趣；如何創設問題情境，才能發展學生的思維能力，提升學生的數學素養，分別提出了自己的教學主張.如例1的問題提出，他借鑒了選修教材中關于“歸納推理”的要點，提高學生的觀察、分析和概括能力；從審美的眼光來判斷，等式中角度的對稱性更能吸引人們的關注；證明等式兩種方法的比較時，學生覺得直接展開更省心，但從數學和物理的角度來分析，降冪后得到的等式“cos (2α-120°)+cos 2α+cos (2α+120°)=0”更具有科學價值.一方面，它以單位圓上內接正三角形“四心合一”為背景，又與以原點O為起點、兩兩夾角相等的三個單位向量之和為零向量作呼應，溝通了不同數學模型之間的內在聯系；另一方面，它與物理中共點力的平衡和三相交流電等領域相關聯，體現了不同學科模型之間的融通，從而展示了經典例題的教學價值、美學價值和創新價值，因此在師生作出解題方法價值判斷時，教師的示范和引領使教學對話更具有滲透力和感染力，從而體現出高認知水平數學任務的特征.由此可見，成功的教學案例背后，一定有先進的教學理論和科研團隊作支撐，同時也體現了教師個人的教學追求和深入的教學思考.

4 同課異構活動的教學評議與反思

4.1 教學評議

在評課活動中，多數教師認為：兩節課的教學要求都符合學生的學情，選擇的例題主要來源于教材.甲的教學與平時的常態課更接近，只是在練習題、變式訓練和課堂小結上，做得更精細和規范，課堂上教師的示范和學生的練習較多，語言和情感交流較少.例如，出示例2后，教師直接利用提示語，找到解題的路徑，課堂看似順暢，教學用時較少，其實對初學者而言，“三大變換”思想還沒有真正納入到學生的認知結構中，因此運用時顯得較為迷茫，若能讓學生獨立嘗試探索，哪怕是走些彎路，再與教師、同伴作交流，并作反思和總結，都更加能促進學生理解.乙的教學設計則突出了典型例題故事化、情景化的特點，從而使枯燥乏味的內容變得饒有興趣.如例1的搶答訓練與猜測結論、等式的審美鑒賞和融通價值的討論，例2平面幾何背景的故事化和三角工具作用的滲透，例3的數學實驗以及圓與半圓辯證統一的揭示，課堂小結則與編制測試題有機結合，整節課給人的感覺是：立意新穎，手段豐富，銜接自然，靈動活潑，一氣呵成.課堂上師生對話流暢，互動自然，學生思考的時間較多，探索的空間較大，反思總結較具體，對發展學生的思維和素養大有裨益.

從兩個班學生的認知基礎和水平來看，學生對公式和方法的掌握都較為熟練，表現在課堂開始的診斷性練習和課中的變式訓練，學生的解題速度和正確率都較高，但學生學習數學的習慣卻具有明顯的差異.教師甲因為是借班上課，加上原來上課形成的習慣，學生都是以聽講、筆記和模仿練習為主，主動參與思考、討論和交流的意識較為薄弱，多數同學在解題獲得結果后就出現了懈怠情緒；而教師乙所教的學生，由于受其教學的長期熏陶，因而面對數學問題，思考積極，敢于探索，發言踴躍，在解題完成后善于歸納、總結和反思，這在編制測試題中表現尤為突出.俗話說名師出高徒，學生的高認知水平來自于教師的不斷影響.高品質課堂重在優化數學任務的設計，而高水平的任務設計又必須依賴于高素質的教師隊伍，從而引領學生不斷提高認知水平.

4.2 教學反思

處理好應答練習與嘗試體驗的關系.從學習過程來看，數學學習依托于學生對知識的理解和建構，依托于對數學問題本質的把握，依托于積極的深度思考，因此，經驗和體驗在數學學習中起著及其重要的作用.在學習中如何喚醒學生的經驗，最科學的教學方法就是創設問題情境，激發學生的好奇心，讓他們主動參與探索，從而經歷問題的發生和發展過程.應答練習固然能起到鞏固知識的作用，但不利于學生明辨知識產生的因果鏈，學習者難以真正體驗蟄伏于知識深層處的數學思想方法．

處理好局部與整體的關系.傳統的課時教學將學習內容單一化、碎片化，學生往往難以體驗數學知識之間、不同單元之間以及與社會現實、其他學科之間的聯系，大單元教學法則以發展學生的能力和素養為目標，從整體上綜合協調數學知識、方法、思想、能力及素養等各要素之間的關系，即將單元學習的各步驟和各環節，都放置到教學活動的大系統中加以統籌，而不是片面凸顯或強調某一知識點.這樣在單元整體性設計的學習框架下，新舊知識的關聯性、數學各分支的內在聯系以及數學思想方法之間的連貫性，通過一個單元的學習，不斷得到鞏固、完善和發展，從而彰顯了其系統化和過程性的特征，從而使學生的數學學習在整體中感受局部的作用，在局部中領悟整體的意義，以保證整個單元的學習環環相扣，有序推進.這就要求教師必須有宏觀把握教材的能力，并依據學生的學情，從探索規律、解決問題出發，探索數學問題的本質和聯系，體現數學任務驅動的課堂特點，在組織例題教學時，打破教與學的界限，突出學生的積極嘗試、思考交流和歸納總結，從而使學生成為知識的發現者、建構者、對話者和反思者，以構建起良好的認知結構，提升學生的能力和素養.