數學文化視域下數學課堂模式的多元建構

黃秦安

(陜西師范大學數學與統計學院 710119)

新課標實施以來，數學文化作為關于數學知識濫觴、嬗變和進化的一種兼具專業化和社會性的共有記憶、符號結構和理念系統，在數學教育和數學共同體內已經獲得越來越多學者和教師的廣泛認可.隨之，在實踐層面上，數學文化如何更好地被運用于學校課堂教學就成為一個緊迫且重要的研究課題.綜合近年來國內外相關研究成果，本文提出了在數學文化視域下構建數學課堂模式的思路.具體來說，充分發揮數學文化資源在數學課堂文化構建中的作用，提倡把數學課堂作為一種數學文化教學的生態場，讓數學與主體化認知、文化創造力和生活方式等形式合一，逐步克服數學教學中的程式化、應試化和工具主義取向，以厚重濃郁的傳統和現代文化氛圍積淀承載、襯托并重塑數學課堂生態，使之成為提升素質教育、通識教育和全民族數學教育水平的基本單元和平臺.

1 數學文化理念下數學課堂構建的必要性與內涵

在中國當下的教育文化現實境遇之下，倡導數學課堂文化的設想具有重要且深遠的意義.盡管自新世紀以來，我國數學課程改革已開展多年并出現了一些新的景象，如許多積累已久的數學教育頑疾開始化解，數學教師的教學理念有了許多的變化和更新，但應試教育的整體格局及其負面性不僅沒有發生本質上的改變，而且在某些方面還有日益加深和泛濫的態勢，表現為：數學教學中功利主義和應試文化色彩日益濃厚且固化，數學課程實踐者的主流意識和主要目標被應試需求和形式各異的校外機構所異化并強化，致使課堂教學目標和方式日益單一，追求標準解法和答案、刷題、獲得高分成為教學的導向，素質教育流于口頭變成形式化甚至虛無化，數學教學與人生教育和生命體驗脫節，數學教學效率不高，數學課堂缺乏文化氣息(包括缺少課堂文化和數學文化)，教師的教學思想陳舊，教育觀念游離于當代主流教育思想之外.教學模式有千人一面、雷同化和趨同化趨勢，教學方式無鮮明個性，教學程式流水線化，重訓練輕個性和創造力的培養.不少教師仍固守線性化、單一的和僵硬教條的知識傳授方式，導致學生學習數學的熱情缺乏、興趣減退、成績下滑等等.

為了克服上述種種不利局面，更好地推進國家中長期教育改革和發展規劃綱要，把素養教育真正地落在實處，我們提出并倡導構建在數學文化引導下的數學課堂.其基本意圖是，通過對上述傳統的甚至迄今被廣為采用的數學課堂教學形態的解構，用數學文化的理念引領并再造數學課堂，讓數學文化的思想、精神和方法滲透到課程理念、教學觀念與評價觀念等層面，進而融匯充實成一種具有強烈教育文化色彩的課堂生態場.可稱為數學課堂文化.

為了更好地闡述相關話題，需要厘清數學課堂文化這個概念的豐富內涵.數學課堂文化是基于課堂的一種教學文化形式，麻雀雖小五臟俱全，飽滿的數學課堂文化幾乎可以囊括數學文化的所有典型特征.有學者把數學課堂放置在一個微觀與宏觀的水平上加以考察，鄧恩認為：“在發展對數學教育的社會與文化議題的解釋時，在看待數學課堂的時候，按照我的觀點，就必須輔之以外部相關的社會與文化環境的視角.”[1]這種數學課堂觀念強調的是文化的內部與外部視角的結合.數學教學共同體是數學課堂文化建構的一個基礎.數學課堂文化不僅僅是一個封閉課堂內部的事務，更是與社會文化甚至歷史有著密切的關聯.

長期以來，傳統數學課堂模式一直滯留在數學的工具性和科學性范疇之內，亦即把數學的工具性、應用性和科學性當做是數學教學的目標、基礎和核心.但是，這種工具性和科學性的課堂內涵卻與文化育人的教育價值相距甚遠.傳統數學課堂的主要缺陷就是把數學看作是一種外在的知識形式，而沒有把數學視為人的一種生命形式.數學課堂文化的提出正是為了遏制工具主義和科學主義帶來的人的單向性，弘揚數學作為一種文化與生命存在的意義.與傳統數學課堂相比，數學文化視域下的數學課堂凸顯的是數學的文化性和對學生全面素質的養育.(見圖1)

圖1 數學課堂文化的內涵：從工具性到文化性的序列

2 數學文化理念下數學課堂的層次

概括起來看，數學課堂文化就是浸潤著數學文化普遍形態的課堂.它有三個基本層次：一是數學文化在課程觀念中的引領和滲透作用；二是在教學理念上，數學課堂應具有通識教育的功能，特別是在融通人文主義與科學主義雙重課程目標方面具有獨特的作用.三是從教學目標、過程和結果看，數學課堂文化是以人為本、兼具真、善、美三維一體價值譜系的、全面發展的素質教育的一種基本形式和載體.

首先，在教育觀和課程觀上，數學課堂應該體現、融匯并貫穿數學文化的基本理念.數學文化的觀念是最廣泛和全面意義上對數學的一種詮釋.數學的教與學所形成的二維空間只有在引入數學文化這個廣泛的視角下才能獲得其內涵與形式的相互統一并充分展現出數學課程的三維(立體化)特征.數學文化的理念是數學新課程的一個鮮明特色.在《義務教育數學課程標準(2011年版)》中，關于數學文化的描述是：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.”[2]《普通高中數學課程標準(實驗)》中寫到：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢；數學對推動社會發展的作用；數學的社會需求；社會發展對數學發展的推動作用；數學科學的思想體系；數學的美學價值；數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用；逐步形成正確的數學觀.”[3]而如何發揮數學文化在課程與教學中的功能，把數學文化的文本形式轉換為數學課堂的教學敘事和教育行動，就成為數學課程標準實施過程中一個既有理論價值又有實踐意義的課題.

其次，在教學理念上，數學課堂應淡化過于強烈的專業化教育色彩，充分彰顯數學課堂的人文教育與通識教育功能.在傳統的學科分類中，數學一直被列為自然科學的一個門類.在文獻編輯和科技管理中，數學也被劃在理科和自然科學的系列里.在社會文化心理層面，人們對這種把數學歸屬于自然科學的做法已習以為常.在數學教育中，對數學學科的傳統定位也有著類似的缺陷，即把數學看作是自然科學的一個門類，因而數學就被很自然地歸在理科的范疇內.傳統的數學課堂目標偏于科學性的一隅，人文與社會科學等更廣泛的領域成為教學的盲點.這樣，由于單純地視數學為自然科學的典范，而忽略了數學的其他價值，進而造成數學與人文、社會科學之間的學科裂痕.這一缺陷對數學教育的負面影響是十分明顯的.

著名科學家錢學森認為數學科學、自然科學、社會科學是并列的.[4]從錢學森的學科分類中可以看出，數學已經成為獨立于自然科學的一大類科學，稱為數學科學.數學科學與自然科學、社會科學相并列的觀點，對于重新認識數學的本質精神及其社會價值，重新認識自然科學和人文、社會科學的關系，促進其相互協調發展，破除單一的工具主義，溝通文理，實現學科綜合，都有重要的理論指導意義.進而，我們要樹立人文精神與科學精神有機融合的數學課堂文化觀.在數學文化和教育文化引領下的數學課堂中，數學的學科性質應該定位在與文理科相并列且與文理相輔相成與相互交融這一通識教育的理念之上.數學課堂應突出鮮明的人文主義色彩，并與科學目標相互映襯，構成科學與人文相互協調的完整形態.

第三，從教學目標、過程和結果看，數學課堂應是以人為本、兼具真、善、美三維價值的、促進學生全面發展的一種基本素養教育實踐.在數學文化的理念下所開展的數學活動，具有數學教學或學習文化的內在實質.當作為一門課程的數學從工具性需求、單一學科化上升到了文化的層次，數學才真正成為與學習者價值觀念、生活經驗和思維方式息息相關的一種生命存在乃至人生觀和世界觀.為此，需要學習者逐步進入一種與數學文化相協調的課堂心態，以自身已有的文化容量接納數學文化信息，促使個體文化體態與數學文化系統之間的轉換.把數學的工具意識提升為科學信念，進而轉換為一種文化積淀.

3 數學課堂文化的多元模式建構

從對數學課堂文化的意義、內涵與特征的闡述中，可以進一步探究數學課堂文化的模式建構.在數學課堂文化的模式建構中，文化引領、文化根底和文化涵養是需要把握的基本原則.應避免單一化最優化等課堂模式建構的陷阱，把適宜于不同教師與學生、針對不同數學教學內容、體現多樣多層的數學教學目標作為準則.數學課堂可以看做是在數學文化和教育文化兩種基本形態的相互作用下師生共同體的基本教學活動場所.以下就其中5種重要的典范模式類型加以論述.

3.1 充分發展個性化和專業化的數學課堂文化模式

當下數學課堂模式的一個令人擔憂的趨勢是趨同化.課堂教學猶如流水線，數學教師個性化不鮮明，教學方式相對單一僵化，而學生就像一個模式制造出來的解題機器，缺乏個性、創造性和獨特性.而良好的數學課堂文化應該是獨特的、多樣化的和充分個性化的.這種獨特性、多樣化和個性化既包含有數學課堂形式的多層次目標，也有社會整體文化、學校文化、班級文化和個體化的數學教師與學生等層次的含義.前者是指良好的數學課堂文化應該是藝術性與科學性的美妙結合，是知識與思想的統一，是科學精神與人文精神的合一，是認知與情感交互性的統一.后者主要是指師生數學共同體層面的，例如個性化的數學課堂文化既是教師教育理念、精神氣質、教學智慧與人格魅力的充分展示，也包括學生主體獨具個性特征的思維品質、認知文化和創造潛質.

數學課堂文化作為數學教師專業化發展水平的一種體現，是教師教學專業化、創造性、特色化、課堂形式多樣化的集中展示，并可形成相對穩定的教學風格和傳統.其中，數學教師對數學的信念和認知、數學教師的數學知識結構、數學教師對教師職業的認同感、數學教師的教學論知識、數學教師的專業化發展能力等，都在很大程度上決定了數學課堂文化的層次和開展.教師專業化程度的提高，是一個教師自我完善的過程，更是需要教育研究者(培訓者、教研員等)與教師之間的共同努力.高度發展的數學教師專業化水平，應該是數學教師教育思想、心理品質、智力才華和各種能力的綜合和充分的展現.而個性化的數學課堂，是個性化的教師帶動個性化的學生的課堂.因此，在數學課堂上要承認學生個體差異的客觀性.不再用同一尺度、統一標準和同一模式去衡量所有學生.要避免任何傷害(無論是有意或無意)學生好奇心、興趣和求知欲的教學行為和教學評價手段，如將學生按分數高低分為三六九甚至張榜公布等.

3.2 數學課堂中文化審美心理的培育與再創造模式

從文化的視角看，在課堂這一微文化場中，師生有著不同的心理認知、社會角色感和文化期許.如果師生間的文化期待差異過大就會阻礙數學的交流，造成教學的“熵增加”.而良好的文化心理與期許會在主觀上逐漸消除距離，使得不同的文化個體相互碰撞、相互交匯，最終合力形成一種具有活力和效力的、彼此默契和相互認可的課堂文化.在教師主體方面，良好的教育理念、人格魅力和個人特征鮮明，如親和力、領導力和創造性等特征是有利于課堂文化建構的.在學生主體方面，較高的自主意識、有較強的交往意愿和參與意識，對數學的喜愛程度高，求知欲和興趣盎然，對課堂的參與度高、對教師的認可與喜愛等都是很重要的.在交互性方面，高度趨同的師生價值觀是構建數學課堂文化的一個基礎.相互理解、相互尊重、充滿關愛的師生關系是營造數學課堂文化的平臺.只有師生關系融洽、師生各自教學角色相互認可度好，互動程度以及教學效率才會高.

長期以來，由于科學教育的起點大多停留在功用主義層面，所以，學生的科學審美意識遠遠沒有被激發出來.在數學課堂文化心理場的構建中，一個十分重要的目標就是要充分調動學生的非智力因素，尤其是培育學生的數學審美意識.法國著名數學家彭加勒在《科學的價值》一文中寫道：“數學有三重目的.它必須為研究自然提供工具.然而，這不是全部：它有哲學的目的，而且我敢于主張，它還有審美的目的.”[5]數學的美是數學之真的延伸、拓展與凝聚，是數學之善的藝術化和外在形式化.缺乏數學審美的數學課堂是低層次的課堂.當數學教學到了能夠與美進行對話和架構的時候，就達到了一種較高的課堂文化境界了.

課堂文化的生命力在于教師不斷的創造.人的認知活力和創造性熱情只有在思維最活躍、最放松的情境中才能被激發.一個沒有文化特色的課堂很難設想其學生的創造力會被充分地迸發.其中，對數學優美、優雅和漂亮的領悟和鑒賞事實上構成了數學創造的一個動力和源泉.審美是一種驚嘆與發現而不是模仿與因襲.荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾就曾深刻地指出：“將數學作為一個現成的產品來教，留給學生活動的唯一機會就是所謂的應用，其實就是作問題.這不可能包括真正的數學.”[6]為了克服“模仿的數學”帶來的問題，弗賴登塔爾倡導“再創造理論”，即“對學生和數學家應該同樣看待，讓他們擁有同樣的權利，那就是通過再創造來學習數學，而且我們希望這是真正的再創造，而不是因襲和仿效.”[6]在此，一個可選擇的培育模式就是以更接近于數學共同體知識創造機制的方式來建構課堂文化.教師相當于數學學派或團體中的領袖人物，而學生則是開拓新知識的一群探索者.未知的數學世界充滿了奧秘、機遇和挑戰，而教師并不把知識當做既有的成品和毋庸置疑的真理來呈現，而是激勵學生主動地去探索和挑戰.如此開展的教學活動，可以在深層次上激發真正的創造力并形成真正的數學經驗.

3.3 以HPM引領的數學課堂文化模式

近年來在國際范圍展開的HPM研究(1)HPM為歷史(history)、教育學(pedagogy)和數學(mathematics)三個詞英文字母的縮寫.的一個基本初衷也是為了讓數學史的成果更好地服務于數學課程和數學教學.尤其是傳統數學和民族數學在課程中的適度引入和介紹，有助于民族文化與數學課程的進一步融合，有助于學生的數學理解和文化歸屬感與認同感的養育.在一個具有多重文化屬性的社會中開展數學教育，文化的話題是必須予以關注的.其中人類學和跨文化研究揭示了數學具有文化歷史性，不同的文化歷史有不同的數學.[7]HPM研究通過選擇與課程目標緊密相關的、適合的知識題材，以其知識發生的歷史線索構筑了基于數學史的教學意境，展示了數學歷史真實的知識情境，以最具有“合認知規律性”的知識展現方式，與數學課程的“合歷史邏輯性”相互嚙合，形成了歷史與邏輯相互統一的、最適宜于激活學習者數學認知心理和文化自覺的數學課堂.例如，許多學者的研究表明，與古希臘數學相比，中國古代數學具有豐富多樣的推理方法，在構造性技術和機械化算法、九章算術創制的獨特數學研究范式、更強的實用性等方面具有優勢和特色.[8]而在構建具有中國特色的數學課堂文化的過程中，必須重視對傳統文化中數學與數學教學思想精華的萃取，凸顯中國傳統數學文化命脈的雋永魅力.無論是在數學教育哲學思想、數學教育方式還是教育內容上，中國古代數學教育都是一筆豐富的遺產，是中國珍貴的傳統文化的有機組成部分.[9]舉例來看，中國古代數學中的歌訣形式基于漢字誦讀的音律和節奏，對于少年兒童時期記憶、理解和掌握數學知識內容乃至方法有著獨特的優勢.此外，漢字在記數和進位制的表達上也有其特點，漢字的字形結構和讀音的單音節等特征使得對許多數學知識的記述簡單方便，閱讀朗朗上口.

3.4 弘揚民族數學與民族文化的數學課堂模式

國際著名數學教育家安布羅西奧曾特別強調為了避免心理阻塞，有必要把民族數學并入課程的觀點.[10]這一見解可謂高屋建瓴，其意蘊已經超出學校數學的范圍，深入到了不同民族相互理解、和諧共處的政治高度.對民族數學的強調和弘揚，是數學教育民族學視角的一個突出亮點.格迪斯在《民族數學與數學教育》和《對民族數學的反思》等文章中，把民族數學看作是一種新的快速擴張的研究領域.民族數學會迫使每一個研究者反思數學的歷史；重新思考數學學習的認知模式；重新審視數學教育的目標、內容和方法；重新考量數學的文化角色；重新認識數學是什么.[11]

中國是一個由56個民族構成的大家庭.民族文化特色，尤其是少數民族的文化與數學文化特色，應該在數學課程和數學課堂上有所體現.少數民族的數學教育發展狀況如何，關系著中國全民族整體教育的未來.如何促進少數民族的數學教育是中國教育的重要研究內容.近年來國內對少數民族地區數學教育的探索亦開始起步，已有越來越多的研究者開始關注中國少數民族地區的數學教育問題.[12]其中一個兼具教育學和民族學價值的領域就是少數民族的數學文化、民族文化和數學教育的關系.例如有學者探討了在歷史上藏族與漢族之間的數學交流.[13]水文化中的數學智慧和傣族民俗文化中數學元素.[14]苗侗數學文化與數學情境教學關系的探討[15]等.

在數學課堂上發掘傳統文化和民族文化中的數學元素，可以喚醒學習者深層的文化自覺和潛能，激發原初性數學思維與意識，有利于形成根植于社會意識和文化心理的具有個性化和民族思維風格的數學思維與認知方式，并有助于更好地理解多樣化的、不同類型的數學文化.更重要的是，不同民族之間數學與數學文化的交流和融合，提供了不同民族之間平等交流和和睦相處的范例.對中國少數民族數學教育與數學文化深入和廣泛的探索，不僅有利于少數民族地區數學教育的普及和提高，而且對于促進民族團結和少數民族地區社會、經濟和文化的整體發展都有著重要的現實意義.

2005年，錢學森曾對中國培養杰出人才問題表達了自己的關切和憂慮，被學界和媒體稱為“錢學森之問”.從教育的角度去反思“錢學森之問”，全面落實素質教育是一個基本的認識出發點.具化到數學課堂文化的理論與實踐中，數學知識、技能、能力、思維、方法的教學應滲透在數學教學的全過程當中并使學習者終生受益.數學課堂不應該是程式化、強化訓練、趨同思維和追逐高分的練習場，而應成為培育個性化、創造力和涵養數學文化的教學生態空間.長期如此，應試教育的種種弊端才可逐步消除.堅持下去，數學素質教育才可能從理想成為現實，“錢學森之問”才能成為一個可解的命題.