淺談數學思想與方法在初中數學教學中的應用

曹忠恩

摘要：在一門學科的教學過程中，思想與方法是貫穿于整個過程的靈魂，在引領學生掌握學科知識的同時，教師需要注重學生對于這門學科基本方法以及思維的學習，逐漸能夠實現自主學習與探究。在初中數學教學過程中，教師就要帶領學生熟悉一些基本的數學思維，如類比思維、數形結合思維以及一些重要的方法，如分類討論方法等，讓學生能夠學會更加靈活自由地運用數學知識解決實際問題。

關鍵詞：數學思想；初中數學教學；應用

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）15-0083

一、類比思維的應用

類比思維就是在學習過程中將所學知識點進行分類與比較，發(fā)現知識點之間存在的聯(lián)系與區(qū)別，并通過它們之間的共同點進行記憶與理解。初中數學教材編寫過程中遵循著循序漸進的原則，引導學生在學習完舊知識的基礎上通過變換與推導的方式向新知識靠近。因此，在教學過程中，教師就需要給學生充分滲透類比的思想，引導學生在學習的過程中學會運用比較與聯(lián)想的方法實現新知識的學習。

例如，學生在之前的學習中已經了解了函數的基本性質與表示方法，也已經學習了一次函數的有關知識，接下來再學習反比例函數的時候，教師就需要注重幫助學生從函數的共同點出發(fā)來研究反比例函數的特點，對于一些反比例函數特有的知識點，學生只需單獨記憶或者推導即可。在課堂教學開始的時候，教師首先給學生提出問題，“函數有哪些特點？有哪些表示方法？”學生就開始回憶之前學習過的有關函數的知識。接著，教師再問學生：“一次函數的圖像是什么樣的圖形？一次函數的表達式又是什么樣的？”學生回答：“一次函數的圖像是一條直線，它的表達式是y=kx+b。”教師再說：“很好，看來大家已經基本掌握了函數的有關知識，那接下來我給大家一組數據，請你們把它們畫在圖上并連成一條平滑的曲線。”教師給學生幾組反比例函數的x與y的值，在學生把它們都表示在坐標紙上并連接成線時，教師再給學生提問：“大家來觀察你畫的這一條曲線，它有什么樣的特點？”學生回答：“它是由兩條曲線組成的。”教師問：“用我們之前學習過的知識來看看它是否屬于函數的圖像呢？”學生通過觀察與判斷可以得出，這就是一種函數的圖像。接著，教師就可以正式帶領學生進入反比例函數知識的學習。通過類比思想的應用，將一次函數與反比例函數進行比較，將反比例函數的知識歸納進入函數的板塊，學生不僅學習到了新的知識，同時也進一步鞏固了對舊知識的印象。

二、數形結合思維的應用

數形結合思維在初中數學乃至整個數學學習過程中都有十分重要的作用。數，即數學關系與表達式，形，即形狀與圖形。在數學學習過程中，二者常常密不可分、相輔相成。一方面，學生可以通過數學表達式與關系式來了解圖形的形狀與邊界，求解圖形的面積以及各點坐標；另一方面，通過觀察圖形，學生可以大致判斷表達式中重點符號的正負性以及大致范圍。教師在教學過程中需要幫助學生訓練數形結合思維，學會將它們結合起來進行解決題目，將題目中的數學關系圖形化，將圖形數字化，更高效地得出正確結論。

例如一次函數的學習中就涉及許多數形結合思想的問題，最為基礎的就是根據一次函數的表達式判斷k與b的正負號以及取值。在教學過程中，教師就需要讓學生學會自己通過表達式來找到k與b在函數圖像上代表了哪一部分的長度。可以采用代數法，對于b，學生可以將x=0代入函數關系式子中，y值即為b的值。對應在圖像上，y軸就是x=0的所有點的集合，那么函數圖像與y軸的交點也就是b的值。對于k，可以代入兩個數求解或比較其大小，或者直接觀察圖像的斜率，但是要注意正負值的區(qū)分，斜率越陡峭則k值越大。在學生的學習過程中，教師就需要讓他們將圖像與函數表達式結合起來，做到式子中每一個點都能夠在圖像上找出其對應的位置以及坐標，對于圖像上的點也能夠利用式子來求出，比如已知x求y就可以將它代入關系式。除此之外，中考時通過圖像來求解關系式的題型十分常見，學生需要做到表達式與圖像隨時轉換與聯(lián)系，這需要教師帶領他們在平時學習的進程中進行大量練習，逐漸養(yǎng)成習慣，在之后的反比例函數的題目中也要隨時用到。

三、分類討論思想

數學學習過程中最重要的就是培養(yǎng)學生的分類討論思維。學生需要做到從多個角度思考問題，并能夠相對獨立地分析這一條思路的可行性，適當地進行取舍。例如，函數與圖形面積的結合問題，在圖像上找出符合條件的所有三角形并求面積，這樣的題目往往不止有一種答案，學生需要思考出所有可能的答案并一一判斷其是否成立，再在這種條件的限制之下求解相關問題。如又一種題目，在一條直線的應用過程中可能會與函數圖像上的點包圍出許多個三角形，學生需要求解所有可能三角形的面積，那這些三角形是否都能夠滿足題目的要求，需要學生找到一種合適的判斷方法，比如根據題目中所給關系式將三角形的點代入函數關系式，以此來看這個點是否滿足我們的要求。或者是從函數關系出發(fā)，找到三角形對應的點之后在圖像上畫出它們的具體位置，看看是否滿足三角形的基本條件。分類討論思想是學生知識點的綜合應用，在解決一道需要學生多維度思考的問題的時候，學生各方面的知識都需要運用到位，同時學生思考也需要具有一定的相對獨立性，在思考一種情況的時候不能受其他可能情況的干擾，方法可以類似，但是具體的條件不能混淆。在平時的教學過程中，教師需要把這種重要的數學思想傳遞給學生，讓學生學會從多個角度考慮問題，運用綜合的方法來解決問題，并一步步驗證自己所有的結論，篩選出最符合要求的答案。

（作者單位：河北省新河縣振堂中學055650）