核心素養下高中數學運算能力有效教學探討

劉云莊

摘 要：高中數學學習中，教師需要引導學生合理選擇運算途徑，旨在確保運算迅速且運算準確性。在高中解析幾何綜合大題復習中，運算能力一直是考驗學生數學思維能力與思維品質的重要指標之一。文章基于高中數學幾何綜合大題為案例，探討如何有效提升學生的運算素養，培養能力。

關鍵詞：高中數學;幾何試題;運算能力;探討

提到數學運算，高中數學解析幾何綜合題占據重要位置，因為解析幾何綜合題避免不了大量的運算過程。且看2015江蘇高考第18題試題：如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓的離心率且右焦點F到左準線l的距離為3。求：（1）略，文章不討論本小題;（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=二、B，求直線AB的方程。

看完這道題目，大家先不看解題過程，自己試著做下，是不是有以下解題思路：①設直線AB的方程為y=k（x-1）;②由直線方程與橢圓方程，聯立消元整理為關于x的一元方程;③利用根與系數關系，計算弦長AB;④再利用根與系數關系，求出點C坐標，進而寫出直線PC的方程;⑤求出點P坐標，計算出PC的長;⑥解方程PC=二、B，求出k值，再寫出直線AB的方程。然而，你真正計算發現，這里涉及5次運算：一是直線方程代入橢圓方程的一元二次方程，二是弦長AB，三是C點坐標，四是PC的長度，五是解方程PC=二、B。到最后，能順利得做出來嗎？在教學分析中，筆者在多媒體課件展示過具體官方解題過程：

看完第（2）題的官方參考解題過程，不難發現：解決的關鍵在于運算！怎樣才能有效運算呢？其實這就是考驗教師對學生的方法指導。由于運算能力是解題思路與運算技能的結合，數學解題離不開一定的數學運算。再看高考數學對運算能力的考查分為三種：一是根據法則、公式進行運算與變形;二是根據問題的條件尋找與設計合理、簡便的運算途徑的基本要求;三是根據題目要求對數據進行估算或近似計算。

一、高考數學運算中運算與變形問題

隨著新高考的改革，高考解題幾何綜合題運算不是簡單的認為是“加減乘除”，而是涉及大量的字數代數式計算，好比小學數學學習簡便運算，即如何最快最準確的完成運算工作。在根據上面的高考試題中，看如何做到運算與變形：

（一）關于消元整理得到關于x一元二次方程問題

首先，直線AB的方程代入橢圓方程中，由于，這個方程組中能想到分式化成整式的運算，而不是將整理成。接著，需要了解到一元二次方程的結構特征，諸如一道解析幾何綜合題出現過二次三項式的問題，能整理嗎？

曾看到學生這樣整理：

……

還看到學生這樣整理：

……

其實，教師不能否認這些同學的運算是正確的，但是這樣計算下去顯然缺乏方向感。這樣的計算方法顯然是錯誤的，需要尋找新的方法。其實這道題的目標是關于x的一元二次方程，正確的做法是應該將變成完全平方式，即。

（二）關于AB弦長的問題

在解析幾何綜合大題中，直線被圓錐曲線截得的弦長一直是常規題型，很多學生考慮到運用弦長公式進行求解。在前文中高考試題弦長AB計算過程如下：

（三）關于PC長的問題

需確定C點坐標，尤其橫坐標用根與系數的關系得出，即，再由點C在直線y=k（x-1）上得到，。接著，由PC⊥AB能得到直線PC的方程為，又點P在左準線x=-2上，所以。下面探討這個代數式的化簡，即整個運算關鍵過程所在！也許你會想到先通分再化簡，即

也有同學想到先展開再合并同類項，即

最后，計算PC長會有兩種不同的表達方式，會遇到不一樣的運算處境。

方法一：

方法二：

其實，方法一運用了通分運算是解題突破口，看似通分運算比較繁瑣，然而在通分后的代數式結構可以用相同的公因式，將根式計算簡單化。而方法二始終將分母1+2k2作為一個整體看待，沒有縱橫聯合，到此很多學生走上平方式展開整理的歧途。實際上，代數式的運算與數字運算都需要簡便運算，到了高中數學的運算是代數式的運算問題，即運用簡便運算時分析代數式的結構需要有一個整體把握。在方法二中，若能發現與的結構關聯：，問題就能迎刃而解。

二、高考數學運算中運算途徑的選擇問題

解析幾何綜合大題的核心就是運算，運算才是硬道理！但運算不等于盲目運算，盲目運算就是將自己“算死”。教師需要強調學生在這類大題運算過程中如何巧妙地選擇運算途徑。那么如何設計合理、簡便運算途徑呢？針對上面的試題，這節再深入探討，做到充分利用題目已知信息，進行合理、恰當的轉化。

（一）關于AB弦長的問題

在平面解析幾何中，關于弦長很多人都會選擇弦長公式，然而在這道試題中利用直線過橢圓焦點，即焦點弦問題，則利用焦半徑求弦長能大大降低運算量，即。

（二）關于PC長的問題

求PC的長一定要用兩點間距離公式嗎？在前面的解法中了解，運算難度都是因為兩點間的距離公式引起的，那么在一條直線上的兩點間距離要怎么求呢？實際上，兩點間的距離公式是建立在平面上任意兩點之間的，一單兩點在一條斜率給定的直線，這個時候的兩點間距離就是弦長。在解析幾何中，知道弦長公式的表達式需要用到x1+x2與x1·x2，這里再用根與系數關系處理（設而不求）。我們知道x1與x2，還是用弦長公式求解弦長嗎？。

因此，

這樣，我們直接避開了求直線PC的直線方程與P點的縱坐標，將運算難度大大降低。

（三）關于切入點的問題

在上面的討論中談到解析幾何如何尋找切入點非常關鍵。在本題中為了求直線方程，且知道該直線過定點F。因此引入直線的斜率來求解問題是最符合正常邏輯思維的事情，然而又考慮到等量關系PC=二、B，我們要考慮用什么量來表達這個程度又是需要思考的問題。

在上面的分析中，，，另一方面，。為此，線段PC、AB的長度都與點C坐標有關，即我們可以通過設點C坐標來處理問題，這樣能有效避開大量的運算問題（一元二次方程、弦長公式、C點坐標、兩點間距離公式），運算量直接降低。由PC=二、B得，（*）

這是唯一的代數式運算問題，問題是里面涉及兩個未知數，如何求解？還得找一個能建立有關于xc與yc的方程嗎？其實，這里需要涉及終點弦問題中的“點差法”。為此，由，得，所以，

再將這個式子代入（*）得，

，

即，

兩邊平方整理得，，即。

結束語

高中數學核心素養中，運算是一種重要內容，為此如何選擇合理的運算途徑成為運算能力培養的核心。在高中數學教學中，教師需要引導學生根據不同條件與題目特點，合理選擇運算途徑是提高運算能力的關鍵，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。

參考文獻

[1]王愛斌.核心素養理念下高中生數學運算能力培養的思考[J].數學教學通訊，2017（30）.

[2]陳玉娟.例談高中數學核心素養的培養——從課堂教學中數學運算的維度[J].數學通報，2016（08）.

[3]林立.淺談解析幾何問題求解過程中簡化運算的策略[J].福建中學數學，2017（11）.