數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：基于“具身認(rèn)知”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視角

成伶秀

[摘 要]具身認(rèn)知的方式是多元的，既可以借助眼看，也可以借助手做，還可以借助心想。基于具身認(rèn)知視野下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要充分解放學(xué)生的多種感官，引導(dǎo)學(xué)生動手、動眼、動腦、動心、動神，從而讓學(xué)生的動覺思維、視覺思維、心學(xué)思維融為一體。具身性認(rèn)知讓教師“示以思維”“授以思考”，讓學(xué)生從“學(xué)以致用”轉(zhuǎn)向“學(xué)以致創(chuàng)”。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);具身認(rèn)知;思維

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。基于“具身認(rèn)知”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視角，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生身體的主動參與，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的身體感覺、運(yùn)動系統(tǒng)對認(rèn)知的型塑作用。具身認(rèn)知的方式是多元的，既可以用眼看，也可以動手做，還可以用心想。在具身認(rèn)知中，學(xué)生能獲得對知識的切身感受。在具身認(rèn)知過程中，教師要“示以思維”“授以思考”，從“教理解”轉(zhuǎn)向“教智慧”，讓學(xué)生從“學(xué)以致用”轉(zhuǎn)向“學(xué)以致創(chuàng)”。

一、動覺思維：培養(yǎng)學(xué)生的動覺性學(xué)習(xí)力

具身認(rèn)知認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分解放學(xué)生的多種感官，尤其是要解放學(xué)生的雙手，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中動手做。動覺思維可以看成是學(xué)生“動手做數(shù)學(xué)”“動手做實(shí)驗(yàn)”的一個(gè)等效替代性的概念。手學(xué)思維開辟了“用手思考”的道路。“用手思考”也可以看成是“用大腦做”。動覺思維有助于提升學(xué)生的動覺學(xué)習(xí)力。

1.在動覺思維中思考

學(xué)生的動手操作往往是一種模仿或者嘗試，相較而言，模仿可能更為準(zhǔn)確，而嘗試更能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力。在動手做的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生的心理會產(chǎn)生很多變化，他們可能從認(rèn)知平衡轉(zhuǎn)向認(rèn)知不平衡，又從認(rèn)知不平衡轉(zhuǎn)向認(rèn)知平衡。在動覺思維中，學(xué)生的手腦并用、做思共生。

比如，教學(xué)“角的度量”時(shí)，教師就不要直接給學(xué)生提供量角器，而要引導(dǎo)學(xué)生動手做量角器，這樣學(xué)生就能對量角器的測量原理認(rèn)識更深刻。首先引導(dǎo)學(xué)生比較角的大小，催生學(xué)生建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的度量單位1°的需求;其次，通過用1°測量角的大小，引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)個(gè)單位角連起來，建立量角器的雛形;最后為了方便讀角，給量角器的雛形標(biāo)注刻度，從而引導(dǎo)學(xué)生做出量角器。這樣的過程能激發(fā)學(xué)生在動覺思維中思考，從而掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

2.在動覺思維中創(chuàng)生

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，動覺思維不是讓學(xué)生成為機(jī)械的操作工，而是成為一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的創(chuàng)客。在動覺思維中創(chuàng)生，就是要學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中展開獨(dú)立思考。

比如，教學(xué)“間隔排列”時(shí)，筆者讓學(xué)生在課桌上一一間隔地?cái)[物體，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“兩端物體”和“中間物體”。在操作中，學(xué)生會發(fā)出這樣的思考：兩端物體與中間物體究竟有怎樣的關(guān)系？通過多次對不同的物體的間隔排列，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩端物體相同時(shí)，兩端物體的數(shù)量比中間物體的多1個(gè);當(dāng)兩端物體不同時(shí)，兩種物體的數(shù)量相等。在操作過程中，學(xué)生展開動覺思維：將一一間隔排列的物體排成封閉圖形，比如圓形，這時(shí)兩端物體的數(shù)量和中間物體的數(shù)量之間又有怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生通過多次不同的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把握了物體間隔排列的規(guī)律，認(rèn)識了物體間隔排列的本質(zhì)。這種通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得的感受是一種具身性的感受。

3.在動覺思維中展示

由于動覺思維是一種可視化、外顯化的思維，因而可以引導(dǎo)學(xué)生積極展示。在動覺思維中展示，一方面可以鞏固學(xué)習(xí)成果，另一方面有助于互相對比。

比如，教學(xué)“梯形的面積”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梯形面積公式的推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)。由于有了平行四邊形面積公式、三角形面積公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，因而對梯形面積的推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的自主性大大增強(qiáng)。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行展示。有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成三角形，還有學(xué)生將梯形轉(zhuǎn)化成長方形，等等。通過動覺思維展示性學(xué)習(xí)，學(xué)生從被動的學(xué)習(xí)接受者轉(zhuǎn)向主動的學(xué)習(xí)探究者。在動覺思維展示中，學(xué)生與教師、同伴、自我、材料等積極互動，從而促進(jìn)自我數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

二、視覺思維：培養(yǎng)學(xué)生的視覺性學(xué)習(xí)力

視覺思維是觀察、注意及其背后動機(jī)、直覺等的綜合思維。在演示實(shí)驗(yàn)之中，教師要引導(dǎo)學(xué)生去看。這里的看，不是機(jī)械地看，更不是隨意地將學(xué)生投入演示過程之中，而是要引導(dǎo)學(xué)生一邊看，一邊思考，這樣的思維，是視覺思維。在視覺思維中，視覺是基礎(chǔ)，思維是核心。通過視覺思維，學(xué)生不是機(jī)械地、盲目地接受信息，而是對感知質(zhì)疑、反思和批判，從而讓自身的觀察更為理性、客觀。

1.在視覺思維中觀察

觀察是有目的地看，也是主動地看。比如，教學(xué)“三角形的分類”時(shí)，一位教師做了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：露出一個(gè)鈍角，引導(dǎo)學(xué)生感知、猜想;露出一個(gè)直角，引導(dǎo)學(xué)生感知、猜想;露出一個(gè)銳角，引導(dǎo)學(xué)生感知、猜想。通過這樣的演示性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生深刻認(rèn)識到“為什么三個(gè)角都是銳角的三角形才是銳角三角形”。觀察性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生迅速厘清數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

2.在視覺思維中質(zhì)疑

視覺思維有助于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺力、觀察力和概括能力。在教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生在視覺思維中思考，而且要引導(dǎo)學(xué)生在視覺思維中質(zhì)疑。比如，教學(xué)“認(rèn)識毫升”時(shí)，筆者用一個(gè)量筒盛滿水，引導(dǎo)學(xué)生讀數(shù)。有學(xué)生平視水面的凹液面，因而能準(zhǔn)確讀數(shù);有學(xué)生俯視凹液面，導(dǎo)致讀數(shù)偏高;還有學(xué)生仰視凹液面，導(dǎo)致讀數(shù)偏低，等等。為什么會出現(xiàn)這樣的偏差呢？學(xué)生在視覺中思維、質(zhì)疑、探究，把握了讀數(shù)的基本方法及其背后的原理。

3.在視覺思維中批判

在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在視覺思維中批判。通過批判，學(xué)生的視覺思維能得到有效的提升。比如，教學(xué)“角的度量”時(shí)，筆者在學(xué)生用量角器量角的過程中發(fā)現(xiàn)，有一些學(xué)生測量得比較精準(zhǔn)，而有些角學(xué)生測量得比較粗略。因此，筆者提供了一些角（預(yù)設(shè)的結(jié)構(gòu)性素材），引導(dǎo)學(xué)生測量角。通過視覺思維批判，學(xué)生認(rèn)識到，如果角的一條邊和量角器零刻度線重合，另一條邊位于量角器的1°小角之內(nèi)，就有可能發(fā)生讀數(shù)偏差，這種誤差是不可避免的。學(xué)生認(rèn)為，用量角器量角應(yīng)當(dāng)允許1°以內(nèi)誤差，從而對量角器量角有了更深的認(rèn)識。

三、心學(xué)思維：培養(yǎng)學(xué)生的抽象性思維力

具身認(rèn)知學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)做思共生的過程。如果說動覺思維著眼于學(xué)生具身認(rèn)知中的直觀動作，視覺思維著眼于學(xué)生具身認(rèn)知中的具體形象，那么心學(xué)思維就著眼于學(xué)生具身認(rèn)知中的抽象邏輯。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅僅包括外顯的操作性實(shí)驗(yàn)，也包括內(nèi)隱的推理性實(shí)驗(yàn)、思維性實(shí)驗(yàn)、思想性實(shí)驗(yàn)。這樣的實(shí)驗(yàn)通常是在想象中完成的。

1.在思想性實(shí)驗(yàn)中抽象

心學(xué)思維實(shí)驗(yàn)往往是抽象性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生需要展開猜想，并且在大腦中進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而展開深度的數(shù)學(xué)思考。比如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，過去都是由學(xué)生展開物質(zhì)性的實(shí)驗(yàn)，即讓學(xué)生借助小棒圍成三角形，認(rèn)識到三角形任意兩條邊的和必須大于第三條邊。在實(shí)物實(shí)驗(yàn)中，由于受到了實(shí)物本身的限制，有時(shí)學(xué)生認(rèn)為當(dāng)兩根小棒的長度之和等于第三根小棒的長度時(shí)也能夠圍成三角形（由于小棒自身的寬度、厚度等影響）。為了引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識三角形的三邊關(guān)系，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開思想性實(shí)驗(yàn)：三根小棒就是三條線段，當(dāng)兩條線段的長度之和大于第三條線段的長度時(shí)，這兩條線段怎樣“拱”起來？當(dāng)兩條線段的長度之和等于第三條線段的長度時(shí)，這兩條線段能不能“拱”起來？兩點(diǎn)之間什么最短？通過這樣的表象性、概念性的思想性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生深刻認(rèn)識到三角形的三邊關(guān)系。

2.在思想性實(shí)驗(yàn)中推理

思想性實(shí)驗(yàn)還可以借助操作、計(jì)算和推理展開。思想性實(shí)驗(yàn)猶如在人的大腦中“下盲棋”，它基于具體的操作，又超越具體的操作。通過思想性實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會超越實(shí)際操作的局限性、不完整性，走向一種完整性。比如，教學(xué)“用字母表示數(shù)”時(shí)，筆者就引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思想性實(shí)驗(yàn)：圍1個(gè)三角形需要3根小棒，圍2個(gè)三角形需要5根小棒，圍3個(gè)三角形需要7根小棒，等等。照這樣計(jì)算，圍10個(gè)三角形需要幾根小棒？圍n個(gè)三角形需要幾根小棒？100根小棒能圍成幾個(gè)三角形？n根小棒能圍成多少個(gè)三角形？一開始，學(xué)生動手進(jìn)行操作，繼而在頭腦中進(jìn)行表象操作，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系。通過推理，學(xué)生能夠用字母表征三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)的關(guān)系。

3.在思想性實(shí)驗(yàn)中建模

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是建立模型，從某種意義上說，一切的數(shù)學(xué)概念都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模既可以借助動覺性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也可以借助視覺性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，還可以借助思想性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。比如，教學(xué)“長方體的體積”時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生做了一個(gè)思想性建模實(shí)驗(yàn)：每行可以擺多少個(gè)單位體積的小正方體？一共可以擺幾行？一共可以擺幾層？一共需要多少個(gè)？通過這樣的思想性實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生先計(jì)算每層有多少個(gè)小正方體，再計(jì)算一共有多少個(gè)小正方體，從而建構(gòu)長方體的體積計(jì)算模型。

基于具身認(rèn)知視野下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效方式。小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要充分解放學(xué)生的多種感官，引導(dǎo)學(xué)生動手、動眼、動腦、動心、動神，從而讓學(xué)生的動覺思維、視覺思維、心學(xué)思維融為一體。

（責(zé)編 黃 露）