借題發揮，因勢利導

徐燕

摘 要：習題教學高三數學常見的教學形式，是幫助學生發現問題，克服問題，夯實基礎，提升能力的重要機會。結合內高學生基礎差，運算能力弱，邏輯推理能力欠缺等問題，本人在教學實踐中從強化學生思維訓練，思路與方法的探究，本源性知識的探索出發，力求學生從解題中存在的問題分析出發，充分挖掘問題的價值，提升自己數學素養，讓習題課避免重復盲目訓練，讓學生切身領悟：做一題，學一法，會一類，通一片，激發學生對數學的學習探究熱情。

關鍵詞：習題課;高三復習;優效教學

一、問題的提出

著名數學家波利亞曾說過：“中學數學教學首要的任務就是加強習題訓練?！眱雀吒呷龜祵W復習離不開習題練習，雖然大量的習題訓練可以讓學生夯實雙基，提高數學解題分析思維能力，促進學生數學核心素養養成。但是題海戰術的習題練習不能完全適合所有的學生，尤其是內高班的學生，由于新疆的教學與內地的教學差異較大，學生在習題的練習中不能觸類旁通，不能總結習題中反映的問題，只會進行題海戰術，卻無法提升解決數學問題的能力。如何處理習題練習中出現的問題，讓習題課教學更優效，是每個內高高三數學教師追求的目標。習題是做不完的，如何通過對存在問題的分析，彌補知識的短板，開闊認知，提升數學思維的深度，撥云見霧，挖掘知識的本質，深究教材，掌握本源知識。結合內高班教學實踐探索從解決問題中提升學生思維訓練、思路與方法探尋、注重問題回歸三個不同的方面來引導學生處理問題，提升能力，努力實現習題課優效教學。

二、習題課有效教學的理論依據

（一）有意義地學習數學

近年來，因為傳統的數學教學方式，不利于學生能力發展，于是便開始流行自主探究式教學。但這種盲從的教學方式沒有能培養學生的能力。奧蘇貝爾的有意義的學習理論認為：學生能否獲得新信息，主要取決于他們認知結構中是否有相關概念和新概念之間的相互作用，實際意義上來說就是指理解這些符號和語句的實質內容，并運用它們。

（二）以最近發展區理論為基礎

最近發展區理論認為，目前已達到的水平和潛在可能達到的水平是學生目前學習的兩種狀態。介于這兩種水平之間的就是最近發展區。教學不能讓學生只停留在已有水平上，跳一跳，能讓學生達到一定的高度——也就是最近發展區內。內高的學生對于高中數學的學習普遍感覺比較困難，習題課的設計難度要由易至難，教師要選擇適當的“高度”能讓內高的學生跳出自己原有的水平。

三、習題課優效教學實踐

（一）精選精備

教師要引導學生在解習題的過程中組建之際的知識網絡體系，形成思維模塊。教師和學生不能光做大量的習題，而是要集中精力解決某幾類習題，通過挖掘題目中的各方面的信息，來解決它們。因此習題的選擇宜少不亦多，宜精不亦多。把學生從題海中解救出來。所以教師就要不斷地“淘寶”，將所選出來的習題歸類，變式，教師課前都要認真研究，對這些習題有一個深刻地解讀。對習題要有提前設計問題，注意啟發學生的思維，才能讓學生知一題，會一類。以內高高三一輪復習中由遞推關系求數列的通項公式為例：

復習由遞推關系求數列通項公式：

問題1：在數列{an}中，已知a1=2，an-1=an+3n+2，求數列{an}的通項公式。

問題2：在數列{an}中，已知a1=1，na-1=（n+1）an，求數列{an}的通項公式。

問題3：在數列{an}中，已知a1=1，an+1=3an+2，求數列{an}的通項公式。

（問題3預習時60﹪多數學生不會）

生1：問題1采用累加法。變形可得an-an-1=3n-1，累加得：

所以得

生2：問題2采用累乘法。變形可得，累乘得，即，所以an=n

生3：問題3可重新構造數列。等式兩邊都加1可變形得：an+1+1=3（an+1），令bn=an+1，則轉化為：，又b1=a1+1=2，bn=2·3n-1，即an+1=2·3n-1，所以an=2·3n-1-1.

師：三位同學分別用累加法，累乘法和構造法解決關于遞推數列求通項問題，解答規范正確很好。那么請回顧上述三種方法分別在什么情況下使用？

生4：累加法適合an-an-1=f（n）型，累乘法適合型，f（n）可為上面的一次函數，二次函數，指對函數，分數函數應該都可以。構造法適合an+1=Aan+B，其中A，B為常數，A=1或B=0時分別等差或等比數列。

師：總結的很好。構造法解形如此類an+1=Aan+B，那如何構造呢？請看下題：

問題4：若在數列{an}中，已知，求數列{an}的通項公式。

生5：由問題3啟示，可以用待定系數法：an+1+λ=A（an+λ），比較系數求λ，可求通項?？稍O為。

改寫成：，比較條件得：，，所以

即，可求解。

師：不錯，形如an+1=Aan+B不能直接構造時，我們可以采用待定系數求解。大家再思考下，有不同想法嗎？

生6：遞推相減也可以：

令bn=an-an-1，則{bn}（n≥2）為等比數列，

由，可得，即

轉化為累加法可得.

師：很棒。生7同學方法采用一階與一階相減的方法，我們可以簡記為階差法。

對an+1=Aan+B形數列可采用兩種方法待定系數和階差法。

（二）轉“防”為“攻”

傳統教學是以教師、教材為中心，學生學的知識也是被灌輸的。教學方式也比較單一，學到的知識也是現成的。學生就像一臺復制機，將這些知識進行復制和粘貼，在整個過程中，學生只會一味地模仿，教師很怕學生經歷錯誤，而這樣的方式學生也會很少經歷錯誤，這就是典型的“防守”。而知識有效地學習不是依賴于老師，一味地模仿，而在于讓學生主動地去經歷，去實踐，去犯錯，去體驗。學生在犯錯和體驗中能真正感受到知識的建構，會弄清楚原理。在新課程理念下，學生是不斷發展的獨立主體。他們可以自主合作探究，相互鼓勵，相互借鑒。所以教師要充分調動學生的學習積極性，在展示習題后讓學生能審視思考，自己來分析解決問題，或借助小組合作，解決問題。這樣的習題課才是完整和高效的。學生要主動地表達自己的想法，敢于質疑，變防守為主動進攻，讓學生在多變的習題中提高思維的靈活性和創新性。

（三）打造“平臺”

培養學生思維是習題課的一個重要任務，所以要給學生一個平臺展示自己的思維，即使是錯誤的思維，也要讓學生在思維的過程中充分地暴露出來，才能幫他們找到問題的癥結，才能“對癥下藥”，糾正他們的錯誤思維。引導他們樹立良好的思維品質。有時候學生會給出新的解題方法和更出色的解題思維，一些方法甚至比老師提供的還要快捷。這時候，老師應該肯定學生的結果，能結合他們的智慧去講解習題，會達到意想不到的效果。因此，老師要為學生設立鼓勵的平臺，鼓勵學生表達，讓學生對于新的解題過程展開討論，探討出不同的解題思路。有時，學生間會相互贊賞;有會發生爭辯，指出問題，這樣，正確的方法就漸漸明朗了;有時學需要老師指點，學生才恍然大悟。這樣的展示平臺讓學生有了積極性，比老師講得要有趣多了。在這樣的可能上，教師是平等中的首席，不斷引導學生去分享彼此的收獲，重新整理他們的想法。要善于捕捉適合的教育時機，從而達到優效教學的目的。

（四）突破“瓶頸”

在教學中經常聽到周圍的同事發出這樣的抱怨：“這類型的題都講了不知道多少遍，還要錯？”于是，老師不甘心，找學生各種談話，問作業是否自己做？問上課是否聽懂了？學生呢也是都聽懂了，作業也都自己做，但一到考試就出錯。這種現象是教學中常見又很難解決的現象。找出問題的本源，就要對學生的解題心理和解題思維作分析。學生懂了和會了，但脫離課本，便不能很好地將學過的知識運用到習題中去。所以在懂了和會了之間學生處于另一種學習狀態，這種狀態就稱為“瓶頸”。“瓶頸”就是學生的依賴性，雖然作業獨立完成，但是可以翻書，查閱筆記，詢問老師同學，相對缺乏思考，所以聽懂了和會做了，但考不出來。如何改善這中現象呢？我們需要時間和平臺，習題課就是一個最很好的平臺。在習題課上要引導學生在習題中不斷地梳理知識，運用知識。幫助他們在習題中克服學對各種輔助手段的依賴，養成獨立思考問題，自主探索解決問題的良好習慣，所以教師在習題課上的教學方式和方法就很關鍵了。

四、習題課優效教學的反思評價

（一）反思評價的意義

上完習題課，學生印象深刻，但不及時進行評價反思，時間一長，加上學生的惰性，體驗就很快消失，使學生失去了提高數學能力的機會。所以要經常引導學生對習題進行反思、總結。改進學生學習行為只能通過反思。為展示學生良好的學習品質只能通過評價為目的的。

將反思與評價相結合，能幫助學生認識自我，幫助老師了解學情。

（二）建立優效的反思評價體系

目前，傳統的反思評價是下課前對學生提幾個問題：這節課你學到了哪些內容？你獲得了哪些數學思想方法，這樣的提問流于形式。學生的短短幾分鐘回答都不夠深入。所以反思評價體現在習題課的各個環節中，有些甚至要延伸到課后環節，精心設計反思評價的形式是習題教學刻不容緩的事。

1.單項與綜合評價相結合

評價的指標要具體、多元化。在數學學習中學生的各項表現作為評價的依據，設置評價指標。但僅僅靠這些分割的指標是不完整的，還需要對教學進行綜合性評價。

2.質化和量化評價相結合

衡量學生學習情況往往用指標設置分值，用總分衡量學生的學習情況，但教學具有復雜性，光是用分數不能評價到位，所以還需要反思性的語言作為評價依據。

3.自我與他人評價相結合

學生在自我評價中因帶有主觀色彩，因此不能很好認識自己。在評價中還要結合同學和老師的評價才能客觀評價自己。

4.教師與學生評價相結合

教學活動是一個雙向活動，不僅學生要做好反思評價，教師也需要做反思評價，這樣有利于教學相長。

著名數學家畢達哥拉斯認為，“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么”，其認為，數學教育必須強調“獲取知識的過程”，而不是僅要求學生給出結果。面對學生所表現出來的不同素質，學會對問題進行利用，為學生打開數學學習的缺口就顯得尤為重要。這樣才能讓思維走得更遠。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.《普通高中數學課程標準》（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]殷偉康.浸潤數學文化，提升核心素養——“阿波羅尼斯圓的應用及探究”教學實踐與思考中學數學2017.11