源于感性，歸于理性

趙瑩瑩 宋劼

[摘? 要] 文章以“相似三角形”的復習課為載體，通過四個篇章——“源于感性，感知理性”（即教學導入）“源于感性，運用理性”“源于感性，輔于理性”（即典型問題分析）和“源于感性，歸于理性”（即課堂小結）論述了數學思維從形象認知的感性思維到理性思維的演變過程.

[關鍵詞] 數學;教學;感性思維;理性思維;相似三角形

數學是基礎學科之一，無論是九年義務教育還是后續的職業教育或高等教育，數學都占有一席之地. 作為初中數學，需要培養學生什么？教會學生什么？可以用史寧中先生的一句話來描述——“數學的終極目標，是讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界. [1] ”初中數學起著連接小學數學與高中數學的作用，小學數學注重感性認識，而初中數學的理性思維的培養更為重要. 初中階段學生的工具理性大于概念理性，形象思維大于抽象思維，做好感性思維的延續和理性思維的淬煉是初中階段的數學學習的重要內容.

在初中的知識體系的學習過程中，學生也在慢慢改變自己的學習方式，隨著大腦不斷成熟，理性思維也開始慢慢替代感性認識. 因此教師在傳授知識的同時，也要注重方法的引導，建立學生的數學世界觀.

全等到相似，不僅僅是圖形的大小由不變到變化，其中還蘊含著解題方法、數學思維、數學思想的變化. 下面就以一節“相似三角形”的復習課談談筆者由感性認識發展到理性思考的幾點想法.

源于感性，感知理性

教學導入是中國數學教學所特有的一種教學方法，這里采取“溫故導入法”. 溫故導入：是指教師通過幫助學生復習與即將學習的新知識有關的舊知識，溫故而知新，從中找到新舊知識聯系的節點，合乎邏輯、順理成章地引出新知識的一種導入方法 [2] .

通過回憶相似三角形的知識結構繪制出思維導圖，從學生的元認知出發，在復習相似三角形的相關知識的同時，引導學生有意識地類比全等三角形和相似三角形的相同點與不同點，從感性的認知中感受理性思維.

如：全等三角形的定義是“能完全重合的三角形叫全等三角形”，而相似三角形的定義是“各角對應相等，各邊對應成比例的兩個三角形叫相似三角形”. 全等三角形的定義是從感性角度出發，從形象思維出發，從圖形的形狀上來定義. 而相似三角形沒有定義成“形狀相同的兩個三角形”，而是定義為“各角對應相等，各邊對應成比例的兩個三角形叫相似三角形. ”相似三角形的定義從形象定義轉變成了定量定義，從形象走向了抽象，這時就需要從理性的角度去思考. 由此可見，相似三角形作為初三年級學生學習的知識點，從定義上已經引導學生從形象走向抽象，從感性走向理性.

源于感性，運用理性

課堂導入后，就拉開了復習課的序幕，從典型例題中復習知識點的應用，為此筆者選擇以下幾道例題.

例1? 如圖2，若CD是Rt△ABC斜邊上的高，AD=3，AC=5，求AB的長.

例1是一道典型的相似三角形的問題，它可以用多種方法來解決——勾股定理、面積法等等. 但是，相比較而言發現，用相似三角形的方法進行解答最方便. 只要證明△ADC∽△ACB，就能說明“ = ”，再將“AD=3，AC=5”代入，就能很容易地求出AB的長為 . 追溯解答的過程，想到△ADC與△ACB相似是解題的關鍵. 假如延續全等的思路——先找出圖形，再證明相似，學生是很難看出來這兩個三角形的形狀是相同的. 只有通過理性思維去思考，才能找到解題的方法——通過觀察已知邊AD，AC和未知邊AB所組成的三角形中有一個角——∠A是公共角，另一對角是直角，所以滿足相似三角形的判定定理——“兩角分別對應相等，兩三角形相似”，于是就得到了相似三角形的邊成比例的比例式，從而求出了AB的長.

此時，適時地給出一道利用全等三角形解題的例題加深學生對感性思維和理性思維不同的對比，如下例：

例2? 已知：如圖3，A，F，C，D四點在一直線上，AF=DC，AB∥DE，且AB=DE，求證：BC=EF.

例2是用全等三角形的性質來證明BC=EF，而具體哪一對三角形全等，在圖3中很明顯就能看到△ABC和△DEF是全等的，經過找尋條件，就能很容易地證明它們全等，從而證明結論成立.

為了對比相似三角形和全等三角形的不同，給出了例3進行對比分析.

例3? 如圖4，CD是Rt△ABC斜邊上的中線，過點D作直線AB的垂線交BC于點F，交AC的延長線于點E，請說明：DC2=DE·DF.

開始分析的時候，發現從圖上看，找不出“形狀相同”的相似三角形，一時陷入困境. 于是筆者引導學生從理性思維著手：相似三角形的性質是“對應邊成比例”，所以可不可以將等積式DC2=DE·DF先寫成比例式 = 來考慮呢？源于相似三角形的邊成比例的性質，所以我們可以從比例式倒推，只要證明△DCE與△DFC相似就可以證明這組比例式成立. 而從圖上看，△DCE與△DFC已經有一組公共角了，只需要再找一組角相等就能順利地解決這個問題. 經過分析發現，利用直角三角形斜邊中線的性質很容易證明∠E與∠BCD相等，再加上一組公共角∠CDF=∠EDC，就能證明△DCE∽△DFC，從而問題得證.

例3的解決，利用的是理性的推斷和思考，它與解決全等三角形類的題目有著本質性的區別，可以讓學生感受到從感性的量變到理性的質變.

源于感性，輔于理性

邏輯思維、數學直覺思維、數學的想象能力、數學的認知結構、數學方法論等數學思維不是獨立存在的，而是相輔相成的，解決一個問題也不是通過某一種思維獨立運作就能辦到的. 對此，筆者設計了以下例題.

例4? 如圖5，在12×12的正方形網格中，△TAB的頂點坐標分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2）.

（1）以點T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA′ ∶ TA）3 ∶ 1在位似中心的同側將△TAB放大為△TA′B′，放大后點A，B的對應點分別為A′，B′.畫出△TA′B′，并寫出點A′，B′的坐標;

（2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應點C′的坐標.

例4的第1題解決起來很容易，通過細心作圖就能完成. 但是第二題要解決起來就比較困難，很多學生在課上甚至連思路都沒有. 這時引導學生將問題（2）往問題（1）上去對比思考：為什么第1題的解決比較簡單？關鍵是由T為位似中心畫圖，不需要考慮其他因素. 而第2題需要計算，將T的具體坐標值考慮進去. 而T的坐標比較復雜，所以本題無法順利解決.

其實，學生雖然沒有思路，但是很容易感受到問題出在T的位置上. 此時，教師就可以引導學生思考：假如T的位置不是（1，1），而是（0，0），那么這個問題解決起來是不是會容易一點呢？學生經過快速畫圖，并思考得出：當T為（0，0）時，此時C（a，b）放大3倍后就變成了（3a，3b）. 得出這個結論并不難，只要畫圖后找幾個典型的點猜測推理下就能得到. 但是在這個感性認知的基礎上，如何將原題的第2小題完成呢？能通過平移的方法完成嗎？先將T（1，1）向下移動1格，向左移動1格到原點處，此時C（a，b）就移動到C′（a-1，b-1）處，再按照之前的經驗，C′（a-1，b-1）放大3倍就變成了（3a-3，3b-3），然后再將放大的圖形移回到原處，也就是向上移動1格，向右移動1格，此時（3a-3，3b-3）就到了（3a-2，3b-2）處，也就是C′的坐標為（3a-2，3b-2）.

所以，感性與理性是互相銜接、互相幫襯的. 理性思維不排斥感性認知，在此題里“感性認知”不是錦上添花，而是雪中送炭;從感性出發，走理性之路，就能做到有效思考.

源于感性，歸于理性

解決了以上例題后，可以總結出在學習相似三角形時的常見模型：A型圖、X型圖及K型圖等感性模型，他們本質上都是兩角對應相等得到的三角形相似，在理性的歸納匯總后可以進行演變.

A型圖可以演變成反A型圖，或者反A共邊型圖.

X型圖可以演變成反X型圖，反X型圖雖然在純直線圖中不多，在圓里面用得非常頻繁.

K型圖的演變就更多了，它的本質是一線三等角，利用一線三等角證明兩角對應相等進而得到三角形相似. K型圖甚至可以疊加形成射影定理的圖形.

在源于感性，歸于理性后，這節課也就進入了尾聲. 帶著學生們將相似三角形的常見模型整理成理性思維下的數學模型，這一過程培養學生的邏輯思維能力，使學生思維嚴密，解題秩序化、嚴謹，并做到有條不紊.

數學學習并非是一個連續的過程，它涉及知識的重組，甚至要與以前的知識和思考方式決裂 [3].? 本節課屬于相似三角形的章節復習課，從梳理章節的知識結構思維導圖出發，逐步引導學生在感性中認知，在回顧與反思中進行理性思維的捕捉與培養. 通過構造具體題境，引導學生在直觀想象中探究問題，并以此加強對學生數學核心素養的培養.

參考文獻：

[1]史寧中. 教育的本源與思考[M]. 北京：商務印書館，2018.

[2]張奠宙，于波.數學教育的“中國道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2013.

[3]謝明初，彭上觀. 數學學習理論的演變 [M]. 上海：華東師范大學出版社，2020.