借助快樂“拼搭”建構幾何模型，提升核心素養

張志華

[摘? 要] “幾何學是研究空間關系的數學分支”，在古代，這門數學分支叫“形學”，顧名思義，它的主要研究對象是圖形. 對于初中數學而言，幾何是該學科的重要組成部分，它研究的主要對象是平面圖形. 縱觀近幾年的中考試卷可以發現，幾何問題的相對難度逐年增加，難度的背后是模型思想越來越受到重視.

[關鍵詞] 項目化;幾何;初中數學;策略

筆者試想，如果用“拼搭”進行幾何模型的項目化教學，是否可以在一定程度上降低幾何學習的難度，激發學生的學習興趣. 對此，筆者在課堂教學中進行了多次嘗試與改進，一段時間的實踐之后有所收獲，下文以蘇科版七年級下冊《多邊形的內角和外角和》第一課時的教學片段為例，就如何用“拼搭”實施幾何模型的項目化教學談談自己的看法，真正將研究的教學問題目標化、策略化、持續化、實效化，以此達到真正的項目推進！

基本圖形：引入教學

低起點、重生成是幾何教學的基本理論依據，更是幾何模型項目化教學所需的遵循的原則. “拼搭”是以簡單的元素按照一定的規則拼接成完整形狀模型的過程，因此幾何模型教學也需以最基本的幾何模型來展開，這樣既有益于學生的接受，又能增強學生學好本節課內容的信心.

師（導入）：同學們，黑板上（圖1）是個什么圖形？

生（齊）：三角形.

師（追問）：你們對這個三角形熟悉嗎？請談談你對它的理解.

生1：它有三個角和三條邊.

生2：三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

生3：三角形的三個內角和是180°.

師：你有什么方法驗證這個結論嗎？

生4：用量角器量.

生5：將三角形紙片的兩個角撕下來和第三個角拼在一起，可以拼成一個平角.

生6：也可以不撕紙片，將三個角通過折疊拼到一起合并成一個平角.

教師呈現三角形紙片讓生5和生6進行演示.

師：度量、拼合、折疊正是我們小學階段所學過的驗證三角形內角和的方法，但是這三種方法的驗證對象都是某一個三角形，存在局限性和操作誤差. 為了使這個結論更具說服力，我們需要如何對待這個結論呢？

生（齊聲回答）：證明.

設計意圖? 三角形是初中數學的基本圖形之一，很多重要模型都是由三角形變化而來的，因此以最簡單的圖形引入教學，讓學生具備了三角形模型觀念，為本節課的教學奠定基礎，也為后續模型項目化教學的展開做好鋪墊，是核心素養進階積淀的關鍵策略之一.

簡單拼搭：共同探究

“拼搭”的過程就是幾何模型形成的過程，這個過程一定要讓學生自己去經歷，只有參與其中，才能領悟到圖形的變化及模型的生成過程. 幾何的教學有時較為抽象，以小組為載體共同探究可以讓充分發揮小集體的優勢，讓學生彼此之間進行相互影響、相互補充，這種優勢在幾何教學中有著積極的作用.

師：圖3和圖4是剛才同學們所想出的拼合方法，這兩種方法有什么共同點呢？

生1：它們都將三角形的兩個角進行移動后和第三個角進行拼接，最終拼成一個平角.

師：你觀察得真仔細，那么證明的過程是無法拼接的，我們有什么方法進行移角呢？

生2：可以畫圖，畫出相等的角.

師：這或許是一個好方法，但是怎么去畫呢？你能從這個過程中推導出證明的方法嗎？

問題：如何證明三角形的內角和為180°？

（完成方式：學生獨立思考后小組討論，小組代表全班交流展示）

展示片段：

組一：如圖5，過點C作直線l∥AB，根據平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”將∠A轉化為∠1，將∠B轉化為∠2，由∠1+∠ACB+∠2=180°可以證出∠A+∠ACB+∠B=180°.

組二：如圖6，延長AB，過點B作BM∥AC，將∠C轉化為∠1，將∠A轉化為∠2也可以證明.

組三：如圖7，在AB上取一點D，分別作AC，BC的平行線DF，DE，將∠A轉化為∠2、∠B轉化為∠1、將∠C轉化為∠EDF.

？搖？搖？搖

師：同學們果然都是充滿智慧的，想到了過三角形的一個頂點作一邊的平行線、過三角形邊上的一點作兩邊的平行線，這些方法最終都可以實現角的轉化. 試想，可否作三邊的平行線呢？

學生再次進行小組合作探究，教師深入學生引導.

組四：如圖8，在三角形的內部任取一點作三邊的平行線，可以將∠A轉化為∠3、∠B轉化為∠1、將∠C轉化為∠2.

師（追問）：如果這個點在三角形的外部行不行呢？

生3：在三角形外部也可以，只要不在三角形的邊上都可以，如圖9，在三角形的外部取一點也可以用同樣的方法進行證明.

師：大家的思維真是活躍，這么多方法最終的目的其實是一樣的，就是將三角形的角進行移動，將三個角轉化為平角. 那么平角是否是證明 180°的唯一方法呢？

學生遲疑……

師：如果我將圖5中的直線截去一半，變成射線，如圖10，你還能實現180°的證明嗎？

生4：根據“兩直線平行，同旁內角互補”就可以了.

師（追問）：你的反應真快，在圖5中“剪短”輔助線的長度就可以得到另外一種證明方法，那么對于圖6你有沒有什么想法呢？

生4：將輔助線BD去掉，也可以利用同旁內角得到證明（圖11）.

設計意圖? 三角形內角和的證明是本節課的重點也是難點，從拼接的過程中推導出利用平行線進行移角是由具體到抽象的過程，但實則都是對三角形的角進行“拼搭”. 在該部分內容的推進過程中先讓學生進行紙片的拼接，再讓學生嘗試著畫線，以畫平行線作為切入點，逐漸變化、層層深入，引導其逐步“拼”出各種圖形，在幾何直觀的基礎上讓學生歸納出各種解法，引領學生學會學習，促進核心素養的提升.？搖？搖？搖？搖？搖

進階拼搭：一圖多變

“拼搭”圖形的過程就是將圖形不斷進行變化的過程，將兩種或以上簡單幾何模型進行拼搭，融合成新模型是高一層次的拼搭，即幾何變式. 一圖多變是幾何變式常見的表現形式，從拼搭的角度解讀幾何變式，可以讓問題變得更生動，利于學生的接受.

師：三角形的內角和180°得以證明以后就可以作為定理在幾何問題中直接使用，同時也可以作為一個三角形模型，即看到三角形就聯想到180°.

解決問題：

例：如圖12，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.

變式1：如圖13，在△ABC中，已知∠B=75°，∠C=65°， AD是的∠BAC的平分線，DE∥AC，求∠ADE的度數.

變式2：如圖14，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB.

（1）若∠ACB=50°，∠ABC=60°，請你求出∠D的度數.

（2）當∠A=70°時，請你求出∠D的度數.

（3）當∠A=α時，請你探索∠A和∠D的數量關系.

（完成方式：學生獨立思考，學生代表全班交流展示）

？搖由于篇幅原因，學生展示環節省略，以下為題后總結部分的展示片段.

？搖師：上述的問題中，我們主要是圍繞著哪個模型展開探究的？

？搖生（齊）：三角形模型.

師（追問）：沒錯，三個問題都是以三角形模型作為圖形的框架，那么圖12 是在三角形上拼搭了什么模型呢？

生1：三角形加上角平分線模型.

師：對了，三角形加上角平分線構成了圖12的模型，可見圖13是在圖12的基礎上又拼搭上了一條線段，是什么模型呢？

生2：平行線模型.

師：非常準確，三角形+角平分線+平行線構成了圖13的模型. 從這個模型中你看到一個特殊的三角形了嗎？

生3：△ADE是等腰三角形.

師：你觀察得很細致，角平分線+平行線可以構成等腰三角形模型.

師：圖14是什么模型？

生（齊）：雙角角平分線模型.

設計意圖? 利用三角形的內角和定理解決幾何問題是本節課的另一個教學重點. 這部分首先從最簡單的三角形展開，添加一個角的角平分線作為例題，低起點、易于接受，在此基礎上再添加一條平行線自然生成變式1，再添加另一個角的角平分線則生成變式2. 三個問題環環相扣、聯系緊密，一條線段的拼搭就可以生成一個新的幾何模型，可見圖形雖簡單但容量卻豐富，有利于學生思維的發展及幾何模型項目化思想的形成，是基于常態教學促進學生核心素養進階生長的關鍵.

幾何問題千變萬化，幾何圖形變幻無窮，圖形可以精簡也可以復雜. 從“拼搭”的眼光來看，復雜的圖形都是由簡單圖形變化而來的，幾何問題的解答實則就是對復雜圖形中簡單幾何模型的解讀. 如此看來，學會“拼搭”就是學會了模型，看懂“拼搭”的過程就是讀懂了圖形，幾何問題由此迎刃而解. 換個角度看幾何，快樂“拼搭”，可以讓幾何學習更簡單.