基于范希爾理論的“圖形與幾何”教學策略

韓建平

[摘 要] 文章基于范希爾理論，從幾何思維的五個水平進行論述，嘗試沿著“生活實物—抽象圖形—解釋強化—回歸反思”的基本流程展開教學，讓學生獲得各種解題策略，從而提升自身的數學素養。

[關鍵詞] 范希爾理論;圖形與幾何;策略

在“圖形與幾何”教學中，教師要培養學生的空間觀念，關注學生的幾何直觀和推理能力。但從實際教學和學生的學習反饋中，筆者發現，學生在這方面的能力還是非常薄弱的，問題集中在：①學習淺嘗輒止。學生在學習時沒有建立幾何圖形的概念，只停留在范希爾理論幾何思維的第一個水平上。②想象浮于表面。學生受生理和心理特征、知識結構及認知能力的影響，較難形成完整的空間想象。③解題不求甚解。學生對稍復雜的幾何圖形規律的探究能力很弱，缺乏對其內在實質性規律的把握。基于上述原因，筆者借鑒范希爾理論中關于幾何思維的五個水平的論述，遵循學生的認知特點，旨在探索“圖形與幾何”教學策略，促進學生數學素養的提升。

一、反復體驗，及時反思

小學階段有相當一部分知識是直觀幾何和實驗幾何。教師要為學生提供豐富的表象體驗，建立有效的表象。對此，教師需要關注以下幾個策略。

（一）用生活經驗，建立表象

生活經驗是學生發展空間觀念的基礎。例如，“周長”對三年級的學生來說比較抽象，這是由于在實際生活中，學生對圖形形狀、大小的接觸比較多，而關注周長的時候比較少。生活中的周長是以什么形式出現的？周長應該從研究或解決什么問題引入？學生先有“周長有長有短”的理解，再有周長的概念。小學階段，幾何知識體系中類似的概念教學還有很多，如面積、體積及各種幾何圖形概念的建立等，在建立圖形表象階段，都可以借助“例舉生活現象→討論辨析→找共性、發現特征→形成圖像→體驗圖形價值→回歸生活實例”策略開展教學，這對學生空間能力的培養很有效。

（二）用學具操作，強化表象

對于運動變化的幾何知識，學生內心特別惶恐。使用幾何學具會讓復雜的問題變得簡單易解，并能強化表象，有利于學生建立空間觀念。例如，四年級教材中提到：“長方形框架拉成平行四邊形，周長和面積有變化嗎？”我們應圍繞“長方形框架拉成平行四邊形時，什么變了什么沒變”展開，不要急著得出結論。學生可以拿著學具反復拉動，邊拉動、邊觀察、邊感悟……再輔以課件的演示。這樣的操作真實有感，學生會慢慢發現，它們之間并不是等底、等高的關系。在后來的練習中，學生很少再犯錯。在教學中，教師要充分發揮學具的價值，讓做題目的過程變成演題目的過程，以此在學生的腦海里留下深刻的印記。對于“等底、等高的三角形面積相等，圖形的平移和旋轉”等知識，我們可以借助這種策略，反復操作，不斷強化學生的自我體驗，從而加深表象的建立和問題的解決。

二、建立表征，解決問題

在表象感知基礎上，我們要引導學生從具體的表象中，抽象出本質特征，了解建構圖形的要素，進一步探求圖形的內在屬性。這個環節做到位了，有助于學生獲得必需的知識和必要的技能。

（一）在知識形成中清晰概念內涵

當教學到提煉幾何圖形特征的核心環節時，教師要善于引領學生從知識的獲取、方法的選擇、結論感悟三個層面，從具體到抽象，梳理形成清晰的思路，完整建構概念的內涵。

如“認識梯形”一節，處于范希爾幾何學理論第一個水平的學生，只能從外觀上識別梯形，無法用語言來描述。我們不妨設計“畫梯形→畫與眾不同的梯形→畫更特別的梯形→想梯形”的活動，讓學生向分析圖形特征過渡。完成第三次畫梯形后，教師可以引導學生思考：為什么它們都是梯形？學生在探究圖形的性質時，偏向于顯性要素。這也告訴我們，教學中不能局限于常規梯形的表征。到最后一個想梯形的環節，學生在操作中越來越能抓住梯形的內涵——只有一組對邊平行。經過操作、交流、思辨，梯形之所以只有一組對邊平行，原因在于平行的那一組對邊不能相等。在一次次總結中，學生不僅更深入地理解了梯形的概念，洞察了梯形的各個特征，學生的思維能力也能得到發展。

（二）給同類的題目建立解題模型

在教學中，學生能從大量題目中發現題目的類似主干，主動抽象出數學結構，在解題時發現并形成解題模型，在實際教學中會產生事半功倍的效果。

如“單位換算”一節，學生逐步學習了長度、面積、體積、重量、時間等的換算。在教學中，我們要抓住換算的本質——守恒。特別是六年級下冊的復習中，學生發現這類題目的解題策略是一致的：大單位配小數據，小單位配大數據，在探尋怎么“配”的問題時，自然想到了進率的條件。學生在自主舉例、驗證中感受到這個結構在所有的單位換算中都能采用，具有很強的實用性。從直觀的表象到抽象的數學模型，構建起了真正的數學認知，實現了學生能力上的飛躍。

三、同化經驗，體驗多樣

（一）常規經驗，要學會靈活應用

學生在碰到新問題時，常常會出現無從下手的感覺。教師在教學時要引導學生先辨識它屬于哪一類的知識，提取出相應的策略來加以解決，如“練習求圖形的周長”一課的教學。

右圖陰影部分是正方形，求該圖形的周長。看到求周長，學生會迅速調動出求圖形周長的解題策略：周長在哪里→長方形周長=（長+寬）×2→找到對應的數據，代入公式進行解答。學生運用解題策略到第三步時蒙了，因為題目的呈現打破了他們已有的認知：他們雖然能運用求長方形周長的公式，但本題中的9㎝和6㎝不是他們理解中的長和寬。其實，我們完全可以套用周長建構的經驗解決這個問題，而無須另尋他法。我們只需把周長上每條基本線段標上不同的字母（設而不求），發現周長=a+b+a+b+c+b+c+b=a+b+b+c+a+b+b+c，已知9cm=a+b，6cm=b+c，那么a+b+b+c=15cm，所以c=15×2=30cm。

學生不知道怎么用 9cm和6cm的條件，因此在解題中，教師應不斷引導學生由特殊條件出發，聯想到熟悉的經驗，在熟悉的策略驅使下，學生愿意聽，也容易聽懂。在周長概念框架下，學生真正理解了15×2=30cm的含義。由此可見，借助熟悉的經驗，復雜的問題可以簡單化，更利于讓知識形成體系。

（二）非常規經驗，要多面體驗擴充

學生用掌握的各種經驗，可以解決基本題、變式題、拓展題等。在此過程中，他們體會到了數學經驗、解題策略的實際應用價值。同時，教師還可以不斷引導學生對非常規經驗進行進一步的擴充，形成新的經驗和策略，使學生不但能靈活地解決問題，而且在變式訓練中拓展解題思路。

關于求不規則物體的體積，人教版教材是分散在幾冊教材中緩緩呈現的，讓學生建立扎實有效的體積概念。五年級下冊教材中體積概念的呈現：用烏鴉喝水和鵝卵石放入水杯的操作活動，幫助學生建立體積的概念，教材提供了豐富的表象，也為“求不規則物體的體積”和六年級上冊“求飲料瓶的容積”做了第一手準備。到了六年級上冊“求飲料瓶的容積”，學生的第一印象是“這是求一個不規則物體的體積”，顯然與五年級求土豆、梨的體積有所不同。學生需要對求不規則物體的體積解題策略進行拓展。

學生發現，不能用排水法解決這個新問題，應把思考方向放在如何把不規則形體轉化成規則形體上。在操作中，他們發現飲料瓶的容積就是兩個圓柱的體積之和，并按照求不規則物體體積的解題策略，解決了新問題：體積=正放時飲料部分圓柱體積+倒放時空余部分圓柱體積。學生調動經驗解決新問題，不僅能提高學生的幾何素養，還有利于他們更深刻地認知數學，更高效地解決復雜問題。

范希爾理論認為，學生思維水平的提高并不是直接通過講授獲得的，而是通過合適的練習達到的。范希爾理論作為診斷學生幾何思維水平的評估指標，可以指導我們設計每個水平上的教學目標與任務，它是我們今后實踐研究的方向。