半角模型，從一道中考題說起

溫河山

[摘要]半角模型及其變式結(jié)構(gòu)簡單，性質(zhì)豐富，方法經(jīng)典多樣，涉及等腰三角形和正方形的判定和性質(zhì)、四點共圓、圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、翻折、勾股定理、化斜為直思想、方程思想、分類討論思想等，從簡單到復(fù)雜，有很高的探究價值.

[關(guān)鍵詞]半角模型變式核心素養(yǎng)

半角模型是指從正方形的一個頂點引出夾角為450的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型.半角模型及其變式結(jié)構(gòu)簡單，性質(zhì)豐富，方法經(jīng)典多樣下面借助2020年杭州市中考數(shù)學(xué)卷第23題對其作探究.

1原題呈現(xiàn)

如圖1，已知AC、BD為00的兩條直徑，連結(jié)AB、BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連結(jié)EF、DF，設(shè)OB與EF交于P.

（1）求證：PE=PF.

（2）若DF=EF，求∠BAC的度數(shù).

試題評價：本題是一道壓軸題，綜合性強，該題經(jīng)典解法較多，因此信度較高.本題與經(jīng)典的半角模型聯(lián)系密切，能引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注經(jīng)典，拓展經(jīng)典，夯實通法;本題可作多種變式拓展，是一道優(yōu)秀的題目本題抽象性強，對邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的要求較高.題目以軸對稱圖形圓和矩形作為背景，將軸對稱圖形的對稱軸重合在一起得到的圖形組合往往也具有軸對稱的性質(zhì)，而這種圖形直觀也往往是問題解決的切入口，因此本題還能考查學(xué)生直觀想象和合理推斷的能力.

原解簡析：（1）如圖2，取OB中點N，連結(jié)FN，易證FN是△OBC的中位線，OE是△ABC的中位線，易得四邊形OENF是一個平行四邊形，所以PE=PF.

（2）如圖2，延長FN交AB于M，OE∥FM∥BC，F(xiàn)是OC的中點，易得M是EB的中點，根據(jù)中垂線性質(zhì)可得FE=FB，進而有DF=BF;由于DO=OB，所以△DOF≌△BOF，可得∠DOF= ∠BOF=90°，從而矩形ABCD是正方形，得到∠CAB=45°.

原解評價：第一問原解利用BC同屬于△ABC和△OBC兩個三角形的事實，構(gòu)造OE和FN與BC的關(guān)系，從而得到平行四邊形OENF，利用“平行四邊形的對角線相互平分”來證明兩條線段相等;這種方法相對少見.

第二問原解首先利用了平行線分線段成比例和中垂線的性質(zhì)，得到兩對全等三角形，分別是△FEM≌△FBM和△D OF≌△BOF，進而得到矩形ABCD對角線的相互垂直關(guān)系，推導(dǎo)出該矩形為正方形，從而求解.原解要以“直觀猜測”“合情推理”為基礎(chǔ)，但是在問題求解之前，是不容易“猜測到”或者“感知到”該矩形為正方形的.

2一題多解

分析：（1）要解決問題一，關(guān)鍵點在于利用“F是OC的中點”這個條件，主要思路有過F構(gòu)建中位線，利用中位線的性質(zhì)來解決問題過F作BC、DB的平行線，過C作EF的平行線，過E作BD的平行線都可以構(gòu)建中位線. （2）猜測矩形ABCD為正方形，先要證AC和BD相互垂直，聯(lián)想到題目條件“DF=FE”，或許需要構(gòu)造以這兩條邊為對應(yīng)邊的全等三角形，

一題多解簡析：（1）①法一：如圖3，過F作FN//OE交BD于N，證△OEP≌△NFP，得.

法二：如圖4，作FM∥BC交OB于N，得到OE是△ABC的中位線，F(xiàn)N是△OBC的中位線，易證四邊形OENF是平行四邊形，可得PE=PF.得

法三：如圖5，連結(jié)CD，延長EO交CD于H，連結(jié)HF，易證0是HE的中點，H是CD的中點，得到HF是△COD的中位線，HF//DB，即HF//OP，PF= HO=1，從而PE=PF

法四：如圖6，作CB的中點H，連結(jié)FH，過H作HL//EF，易得四邊形FPLH是平行四邊形，可得FP=HL，∠OPE=∠FPB=∠HLB;由OE是△ABC的中位線，可得OE= BC=HB，∠EOP= ∠HBL，進而有△OPE≌△BLH，PE=HL，所以.

法五：如圖7，過c作co∥FP，易證FP是△oQC的中位線，得到-=

CQ;△OPE∽△BQC，PE=

CQ，從而PE=PF

法六：如圖8，取OA中點G，可得OP是△FGE的中位線，從而PE=PF.

（2）法一：如圖9，取OA的中點G，連結(jié)ECJ、DG，可得△GODuU≌△EGF，從而DO⊥GF，從而矩形ABCD是正方形，∠A=45°.

法二：如圖10，過F作TS∥BC，分別交CD、AB于T、s，易證△TFC～△SFA，得FS=

FA= ;設(shè)AB=a，AD=b，由DF=FE，可得

，化簡得.

3試題優(yōu)解

分析：由于圓和矩形都是軸對稱圖形，本題中兩個圖形的對稱軸重合，因此該圖形具有軸對稱性，利用該性質(zhì)可對圖形性質(zhì)作合理推斷.另外，以正方形和矩形為背景的問題，可以引入平面直角坐標系，在“豎直方向”和“水平方向”上通過坐標之間的關(guān)系來考察線段之間的關(guān)系，從而避開了繁雜的平移、旋轉(zhuǎn)、全等或相似變換。

優(yōu)解簡析：如圖11，以點A為原點，分別以AB和AD所在直線為x軸和v軸建立平面直角坐標系;

設(shè)AB=a， AD=b， 則B（a，o），c（a，b），D（o，b），E（ ，o），F(xiàn)（ ， ）圖11

（1）易得直線EF和DB的解析式分別為，

，從而P（

），易證點P是EF的中點，所以PF=PE. （ 2）DF=

由DF=EF，可得a=b，四邊形ABCD是正方形，故∠CAB=45°.

4試題拓展

分析：該題屬于半角模型的一種變式，探究過程涉及等腰三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、四點共圓、圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、翻折、勾股定理、化斜為直思想、方程思想、分類討論思想等，從簡單到復(fù)雜，有很高的探究價值，