探究數(shù)學(xué)模型 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

馮紅蕓

摘? 要：空間觀念、推理能力、刻畫圖形模型是實(shí)施“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)的核心理念。文章以“認(rèn)識(shí)三角形”為例，嘗試在教學(xué)中怎樣引導(dǎo)學(xué)生在刻畫圖形模型的基礎(chǔ)上，發(fā)展空間觀念和推理能力，從而對(duì)學(xué)生形成模型思想方面進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);空間觀念;深度學(xué)習(xí);模型思想

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)三角形”是“三角形”單元的起始課，學(xué)生之前已經(jīng)對(duì)三角形和三角形的高有了初步感知，本節(jié)課要認(rèn)識(shí)三角形的特征、三角形的構(gòu)成要素，并掌握畫三角形高的方法，在操作、想象、聯(lián)系情境解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生從形的方面加深對(duì)周圍事物的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)模型無處不在。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過程。

一、創(chuàng)新教學(xué)模式，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)主動(dòng)、活潑、生動(dòng)和富有個(gè)性的過程，讓學(xué)生在進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的過程中，科學(xué)、合理、有效地建立數(shù)學(xué)模型。在“認(rèn)識(shí)三角形”一課的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了“螞蟻過馬路，怎樣爬行距離最短”的問題情境。

1. 動(dòng)手操作內(nèi)化知識(shí)，引導(dǎo)理性思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

教學(xué)片斷1：初步感知三角形的高。

課件出示問題情境：如圖1，一只螞蟻要過到馬路對(duì)面去。

師：這時(shí)候，你們看到三角形了嗎？

生：看到了，將螞蟻看成一個(gè)點(diǎn)，馬路看成一條線段，連起來就形成一個(gè)三角形了。

教師在課件中完善三角形。

師：螞蟻怎樣爬，路程最短？你贊同哪種選項(xiàng)？

如圖2 ～ 圖4，課件出示以下三種不同的選項(xiàng)。

生1：第三種情況螞蟻爬行最短，因?yàn)榈谌N是垂直的，其他兩種是斜的。

師：第三條是不是垂直線段？

生2：用三角尺的直角比一比就知道。

師：你會(huì)比嗎？

生2徑直走向黑板，一邊用手在黑板上比，一邊說：從螞蟻這里開始，畫出一條到馬路的垂直線段。說完后，生2先是看向教師，教師又示意他問其他同學(xué)，大家有的點(diǎn)頭，有的說“不對(duì)”。

師：大家意見不統(tǒng)一，到底應(yīng)該怎么比？

教師話音剛落，表示不贊成意見的生3走向黑板，拿起三角尺，用三角尺的直角和圖中的直角進(jìn)行重合，這一條就是垂直線段。

師：你是怎樣比的？

生3：找到三角尺的直角，一條直角邊和馬路對(duì)齊，看看螞蟻爬的這條路會(huì)不會(huì)與另一條直角邊對(duì)齊，這里是對(duì)齊的。

師：看來只靠觀察還不夠，需要借助工具才行。現(xiàn)在能不能判斷這一條是不是垂直線段？

學(xué)生都同意了。

教師在大家統(tǒng)一認(rèn)識(shí)后，及時(shí)梳理：要知道螞蟻爬行的最短路程，可以把螞蟻看成一個(gè)點(diǎn)，馬路看成一條線段，從這個(gè)點(diǎn)向線段畫一條垂直線段，這條線段的長度就是螞蟻爬行的最短距離。

畫三角形的高是需要學(xué)生掌握的操作技能，也是以前學(xué)習(xí)的“點(diǎn)到直線的距離”的應(yīng)用與延伸。因此，教師通過創(chuàng)設(shè)“螞蟻過馬路，怎樣爬行距離最短？”的問題情境，接著從情境中抽象出圖形，以問題“第三個(gè)選項(xiàng)是不是垂直線段？”“你會(huì)比嗎？”引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，真正掌握用三角尺的直角畫垂直線段的技能，為接下來畫三角形的高做充分的準(zhǔn)備。

在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生一開始選擇第三個(gè)選項(xiàng)是螞蟻爬行的最短距離，依靠的是觀察和猜想，所以教師引導(dǎo)學(xué)生用三角尺判斷垂直線段的操作活動(dòng)就特別有意義了。動(dòng)手操作的價(jià)值是可以對(duì)通過觀察得到的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，通過“說一說你是怎樣比的？”有意識(shí)地將盲目而淺顯的操作變得理性而細(xì)致，訓(xùn)練學(xué)生的理性思維，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考。

2. 動(dòng)靜結(jié)合梯度設(shè)問，引發(fā)深度學(xué)習(xí)

教學(xué)片斷2：理解同底等高的三角形。

師：現(xiàn)在螞蟻向右平移一段距離后，再去對(duì)面的馬路，要怎樣爬行距離才會(huì)最短呢？

生4：螞蟻和馬路也形成一個(gè)三角形，爬行的最短距離還是從螞蟻出發(fā)，向馬路畫一條高，它沿著這條高爬行，就是最短距離。

生5：和螞蟻在第一個(gè)點(diǎn)爬行的距離相等。

師：螞蟻和馬路之間的距離是15米，如果要使距離保持不變，螞蟻還可以在哪個(gè)位置？指一指。

學(xué)生心中都有了答案，躍躍欲試，搶著要上黑板前面來指。

隨著學(xué)生確定了螞蟻的位置時(shí)，教師課件直觀展示出一個(gè)新的三角形。

教師繼續(xù)追問：螞蟻還可以在哪個(gè)位置？

生6：螞蟻還可以在這里，還可以在這里，這里。

學(xué)生一邊說，手一邊在線上左右移動(dòng)。

教師課件呈現(xiàn)不同的三角形。

生6：只要螞蟻在上面這條線上的任何位置，到馬路的最短距離都是15米。

師：螞蟻停留的位置不同，為什么螞蟻到馬路的最短距離卻是相同的？

生7：因?yàn)閺奈浵伒今R路畫的垂直線段都一樣長。

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生8：這些三角形的高相等。

生9：螞蟻向左或者向右爬行的線和馬路是互相平行的。

生10：這些三角形都是同一條底。

師：是的，這些是同底等高的三角形。

對(duì)于三角形高的認(rèn)識(shí)，前面還是側(cè)重在畫高的步驟和操作技能方面，此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)的角度認(rèn)識(shí)三角形的高，既包括“點(diǎn)到直線的距離”與“三角形高”的新、舊知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，也包括現(xiàn)實(shí)生活與抽象圖形之間的轉(zhuǎn)化。

教師的教學(xué)改變直接示范畫高或者課件演示畫高的方法，而是把圖形的認(rèn)識(shí)與圖形的變換結(jié)合在一起認(rèn)識(shí)高，才會(huì)出現(xiàn)課堂上學(xué)生的手在螞蟻爬行的那條線上左右移動(dòng)的畫面，才能聽到學(xué)生用自己的語言解釋并推理“平行線之間，垂線段最短”“平行線之間，垂線段處處相等”。蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過，每一個(gè)兒童的思維發(fā)展都有其獨(dú)特的道路，每一個(gè)兒童的聰明才智都各有各的特點(diǎn)。學(xué)生靈動(dòng)的雙眸，跳躍的思維，堅(jiān)定的眼神，是多么生動(dòng)和誘人，帶給教師巨大的動(dòng)力和滿滿的成就感。

二、重視概念本真，構(gòu)建模型思想

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

1. 去非存本，注重概念內(nèi)涵

教學(xué)片斷3：概括三角形的定義。

師：接下來畫一個(gè)三角形，畫三角形之前，先想象一下，你想畫一個(gè)怎樣的三角形。

教師展示收集來的學(xué)生按照不同位置畫的三角形。

師：一起來看看這幾名學(xué)生畫的三角形，這些三角形一樣嗎？它們有什么共同點(diǎn)？

生11：這些三角形不一樣，有的大，有的小。

生12：有的三角形是平的，有的三角形是歪的，還有一個(gè)是倒著的。

教室里頓時(shí)發(fā)出了笑聲。

生13：相同的地方是都是由3條邊圍成的。

教師強(qiáng)調(diào)這3條邊是3條線段，并板書：由三條線段圍成。

教學(xué)片斷4：轉(zhuǎn)動(dòng)圖形，體會(huì)高的數(shù)學(xué)意義。

學(xué)生已經(jīng)掌握了畫三角形高的方法，教師課件出示轉(zhuǎn)動(dòng)前后的圖形，如圖5所示。

師：轉(zhuǎn)動(dòng)后，AD還是BC邊上的高嗎？

生：是。

師：為什么？

生14：因?yàn)楦邲]變。無論三角形平著放，還是歪著放，都是那條高。

當(dāng)說到三角形歪著放時(shí)，生14還把手和身子也跟著歪起來。

師：仔細(xì)對(duì)比，這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)前后的底和高，什么變了？什么沒變？

生15：三角形放的方向變了，但還是那條高。底沒變，所以高也沒變。

生16：都是畫點(diǎn)A到BC邊的垂直線段，和三角形擺放的位置沒有關(guān)系。

四年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力，教師引導(dǎo)學(xué)生在比較抽象的水平上認(rèn)識(shí)三角形和三角形的高，并進(jìn)行探索。學(xué)生個(gè)性化地畫三角形，觀察和對(duì)比不同形狀、不同擺放方向的三角形，并抽象出三角形的本質(zhì)特征;通過比較轉(zhuǎn)動(dòng)前后三角形的高，幫助學(xué)生鞏固三角形高的數(shù)學(xué)意義。學(xué)生積極參與各種形式的實(shí)踐活動(dòng)，而且對(duì)活動(dòng)過程和結(jié)果進(jìn)行判斷分析，促使學(xué)生多角度、多元化、多維度地認(rèn)識(shí)和理解圖形的數(shù)學(xué)意義，建構(gòu)模型。

2. 借助想象，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

教學(xué)片斷5：從3個(gè)頂點(diǎn)想象三角形。

師：這是用小棒擺的三角形，現(xiàn)在把三角形的3個(gè)頂點(diǎn)用圓形磁鐵代替，移開小棒，現(xiàn)在你還能看到三角形嗎？

生：能。

師：隱藏了什么？

生17：隱藏了3條邊，3個(gè)角。

師：隱藏的部分在哪兒？

生17：在我的腦子里。

師：只有3個(gè)頂點(diǎn)，看不到完整的三角形，隱藏的部分可以想象，3條邊、3個(gè)角是學(xué)生想象出來的，你們的想象力真強(qiáng)。

教學(xué)片斷6：從一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊想象三角形。

教師再次出示課件：這是螞蟻，這是對(duì)面的馬路。

師：你們能看到三角形嗎？

生18：能，把螞蟻看成三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，馬路看成一條邊，三角形就形成了。

生19：有3個(gè)頂點(diǎn)就可以想象出一個(gè)三角形，有一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊也可以想象出一個(gè)三角形。

生20：沒有的頂點(diǎn)和邊都可以放在腦子里。

當(dāng)看到一個(gè)實(shí)物時(shí)，能想象出它所對(duì)應(yīng)的平面圖形;反過來，當(dāng)看到某個(gè)圖形時(shí)，能想象出它所對(duì)應(yīng)的幾何體或?qū)嵨锏男螤睿胂笪矬w或圖形的運(yùn)動(dòng)變化，并且可以表達(dá)出圖形。在觀察、對(duì)比、想象、分析的過程中，學(xué)生的空間觀念得到培養(yǎng)，三角形的模型也已經(jīng)深深地印在了學(xué)生的腦海中，使學(xué)生真正體會(huì)了圖形的含義。

3. 溝通聯(lián)系，發(fā)展空間觀念

教學(xué)片斷7：將平行四邊形、梯形、三角形的高聯(lián)系起來。

教師課件出示[?]ABCD，并從頂點(diǎn)D畫高，如圖6所示。

師：點(diǎn)D作平移運(yùn)動(dòng)，其他的頂點(diǎn)都不動(dòng)，試想一下會(huì)變成什么圖形？

生21：形成的是一個(gè)梯形。

生22：我認(rèn)為點(diǎn)D向左平移會(huì)變成梯形。

師：生22的回答還說明了點(diǎn)D的平移方向，更加具體了。

課件隨著學(xué)生的回答，點(diǎn)D向左平移，形成梯形。話音剛落，就有學(xué)生立刻站起來補(bǔ)充。

生23：向右平移也會(huì)變成梯形。

教室里馬上出現(xiàn)“咦”“怎么會(huì)”等質(zhì)疑的聲音。

教師這時(shí)并沒有立刻否定，而是把目光投向生23，靜靜地等待他去答疑。

生23直接走到講臺(tái)前模擬，說：如果點(diǎn)D向左平移，形成的梯形是上短下長的;如果點(diǎn)D向右平移，形成的梯形是上長下短的。模擬完，看了看大家，說：不是嗎？

此時(shí)，學(xué)生恍然大悟，沒有想過點(diǎn)D向右平移的情況，思維定勢(shì)地想象點(diǎn)D向左平移，不禁佩服生23的空間想象能力和縝密的思維。

師：梯形的高和平行四邊形的高有什么關(guān)系？

生24：梯形的高和平行四邊形的高相等。

師：繼續(xù)平移點(diǎn)D，還會(huì)形成我們認(rèn)識(shí)過的什么圖形？

生25：三角形。

生26：當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A重合時(shí)，就是三角形。

師：此時(shí)三角形的高、平行四邊形的高和梯形的高有什么關(guān)系？

生26：它們的高都相等。

生27：它們是同底等高的圖形，與前面學(xué)習(xí)的同底等高的三角形是一樣的。

教師巧妙設(shè)計(jì)，將平行四邊形、梯形、三角形的高放在同一個(gè)問題情境中，鼓勵(lì)學(xué)生將觀察、操作、想象、推理、表達(dá)相結(jié)合，溝通三種不同圖形的高，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，養(yǎng)成有條理思考和表達(dá)的習(xí)慣。

綜觀本節(jié)課，創(chuàng)設(shè)情境，以問題為起點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了生活情境與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的無縫對(duì)接;動(dòng)靜結(jié)合轉(zhuǎn)換，加強(qiáng)新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)如何刻畫圖形的基礎(chǔ)上，發(fā)展空間觀念和推理能力，從而形成模型思想。

基金項(xiàng)目：江西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度普通類一般課題——深度學(xué)習(xí)視角下小學(xué)四年級(jí)學(xué)生模型思想的教學(xué)研究（20PTYB105）。

參考文獻(xiàn)：

[1]王永春. 小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

[2]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.