高中數學教學中學生抽象能力的提升途徑

◎盧秋丹 (福建省閩清縣第一中學，福建 福州 350800)

前 言

數學學習過程中培養學生數學抽象能力，有助于發展學生的抽象思維，提高學生數學能力.數學教學過程中教師不重視學生抽象能力的培養，會影響到學生數學學習能力的提升.因此，有必要調查數學教學中學生抽象能力培養的現狀，給出針對性的完善措施.

一、高中數學教學中學生抽象能力培養現狀

通過收集相關文獻資源，我們發現學生數學抽象能力培養存在的問題，具體如下：

大部分學生數學抽象能力水平不高，其中男生與女生的數學抽象素養水平存在較大差異，抽象素養對平時成績影響不明顯；部分學生雖然熟練掌握數學概念、公式及定理，但實際運用能力較差；學生解答實際問題的情況不理想，一些學生是因為無法理解題干中給出的新概念，另一些則是問題貼近生活，學生無法將數學知識運用到問題解決過程中；整體而言，學生基礎知識掌握程度較好，但在情境與問題、交流與反思方面掌握不好.

二、高中數學教學中學生抽象能力的提升途徑

(一)設計問題情境，激發學生學習興趣

數學學科本身具有探索性，很多數學概念、定理及公式就是通過堅持不懈的探索與研究發現的.在課堂教學過程中，執教者可以準備一些實例與圖片，創設適當的問題情境，與學生一起探索相關知識的形成過程，讓他們感受數學學習的樂趣，繼而通過猜想、實踐及對比等過程，實現提高學生抽象能力的目的.

如，學習函數的零點存在定理.授課前教師給出一張圖片：某地一天之內氣溫變化(最低溫度-2℃，最高溫度8℃)，讓學生感受函數的零點附近函數圖像的變化，引起學生對函數圖像“穿過”x軸的現象進行思考，激發學生對本節課的學習興趣.教師設計好相應的問題，并在教學過程中提出.

問題1：觀察溫度曲線，溫度達到0℃的時刻有哪些？

問題2：請同學們嘗試用數學語言描述問題1.

問題3：溫度達到0℃需要滿足什么條件？如果0點時溫度為1℃，23點時溫度為2℃，一天中溫度一定都在0℃之上嗎？這兩個問題可以發現什么規律，請利用數學語言描述這種規律.

問題4：有且僅有一個時刻溫度為0℃需滿足什么樣的條件？

問題5：通過實踐操作，研究f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x圖像，指出函數零點所在的大致區間.

通過設計上述幾個問題，讓學生認真觀察圖像，主動思考.教師引導學生在實際情境中抽象出函數零點存在的問題，不斷地總結、概況、提升，實現用數學語言表達的目的.通過教師引導學生積極思考，實現提高學生的抽象能力的目的.

(二)體會概念形成過程，滲透抽象能力培養

開展數學概念教學時，要選擇學生思維最近發展區域的案例，將出現的數學概念具體化，讓學生積累從具體到抽象的基本活動經驗.高中數學學習過程中，數學概念的抽象度更高，學生學習時很難理解一些抽象的數學符號.教學過程中教師要側重講解數學概念，解決相關問題時借助一些模型，或是聯系學習過的相關知識，加深學生對數學問題的理解.如，在教授任意角三角函數概念形成的過程中，教師就可以借助學生已有的學習經驗促進他們抽象素養的提升.主要經過以下幾個環節：

環節1：首先，教師可以讓學生回顧初中學習的三角函數概念.初中是在直角三角形中定義三角函數，得到的是銳角三角函數.利用邊長的“比值”來刻畫三角函數.

環節2：教師繼續引導學生用動態變化的觀點來看待三角函數問題，即讓直角三角形的一個銳角從0°到90°開始變化.同學們發現隨著角度變化，對應的邊的“比值”也在變化，即三角函數值在變化.

環節3：教師追問：同學們可以用什么數學模型來刻畫這種動態變化？

環節4：大部分學生能想到用函數的觀點來刻畫“比值”隨著角度變化而變化的趨勢.

環節5：教師引導學生把直角三角形抽象到直角坐標系中，引入單位圓.對于每一個任意角，其終邊與單位圓交點的坐標都唯一確定.于是可以利用角的終邊與單位圓的交點坐標定義任意角的三角函數.

經歷上述抽象出任意角三角函數概念的過程，學生積累了從具體到抽象的基本活動經驗，以后可以用類似方法解決問題，促使學生養成良好的思維習慣.同時把握三角函數變化的本質，也為今后學習三角函數的圖像與性質打好基礎.

(三)搭建數學知識模型，培養學生抽象思維

在開展高中數學教學活動時，想要進一步培養和提高學生自身數學建模的思想和能力，首先需要對建模相關的內容進行科學整合，有機處理.在整個學習過程中，需要結合學生當前心理發展、性格特點、個人能力、知識儲備等因素進行綜合統籌，同時針對當前教學內容和計劃等，進行科學提取，個性化設計，保證建模教學的思想、方法等符合學生學習需求，能幫助學生快速提升學習興趣和注意力.通過自身不斷努力，提升建模思想和能力，并且將其應用于日常生活和學習中，綜合使用.在教學過程中，教師應該堅持以下幾點：首先，在設置模型背景時，需要根據學生的興趣、知識組成以及當前教學內容選擇學生熟悉且感興趣的話題和知識點作為背景引入，吸引學生注意力，從而幫助學生積極主動參與其中，感受建模的樂趣以及對學習的幫助.其次，在建模內容選擇上，需要對知識點的難易程度進行合理把控，保證所有內容和教學需求與學生當前能力相符合，以此為基礎，引導學生利用建模思想解決數學問題.最后，在明確教學目標的同時，提升教學效率.

比如在學習“函數模型和應用”這一知識點時，可以根據教學目標、課程特點以及學生對函數知識的掌握情況，引用現實生活中的現象進行引入，再聯系教材內容引導學生建立數學模型進行探究，結合實際問題，幫助學生對函數模型和函數知識的理解更全面、深刻.

例1調查研究顯示，2010年、2015年、2020年某種能源的產量分別為8.6、10.4、12.9億噸.有專家預測該能源生產總量超過20億噸需要十年時間，也就是2030突破20億噸.請構建模型判斷專家預測是否正確.

分析隨著時間變化能源生產總量發生變化，搭建函數模型解決.

解：已知三組數據(2010,8.6)、(2015,10.4)、(2020,12.9)變換為(0,8.6)(5,10.4)、(10,12.9)，通過觀察坐標中點的位置判斷不能用一次函數擬合數據，選擇二次函數.設自變量x為變換后的年份取值，因變量y為能源生產總量，依據二次函數解析式y=ax2+bx+c，模型求解：

構建二次函數模型：y=0.014x2+0.29x+8.6，專家預測是否合理，直接將2030轉為自變量x=20得到該能源生產總量y=20億噸，表明專家預測結果正確.

(四)及時歸納總結，回顧錯因，提高數學抽象能力

數學知識具有逐級抽象的特點，較高一級抽象建立在較低一級抽象的基礎上.數學學習及教學過程中需要注意逐級抽象性的特點，也就是重視各知識點之間的聯系.如果學生沒有掌握好前面的知識點，也就無法掌握建立在這些知識點上的概念.新概念學習時，教師要帶領學生復習之前的概念，奠定抽象新概念的基礎.從而有效培養學生的數學抽象能力.

數學抽象能力的提升不僅僅通過課堂上的教學來實現，還需要學生課后的鞏固提升.學生通過回顧學過的數學概念、推導方法等，梳理各板塊知識之間的聯系.具體可以通過以下方式總結：1.利用思維導圖畫出每一章節知識點的聯系，鍛煉學生的邏輯思維能力.2.梳理每個單元的知識點，加深理解并熟練掌握.3.整理錯題，學生將自己錯誤的解題思路和方法也摘抄下來，同時留出空白區域，用于書寫正確解法，學生在每次查看錯題時都能回想起當初錯誤的原因以及如何才能正確解答，可謂記憶深刻.

例2已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，則實數a的值是( ).

A.4或-3 B.-4或3 C.-3 D.4

筆者發現相當一部分學生選擇A，錯誤的原因在于學生對函數極值的概念理解存在誤區.一些同學認為求某點處極值就是令該點處的導數等于0，求解即可.忽視了導數為0的點不一定是極值點，在某點處導數為0是在該點處取得極值的必要不充分條件，還需要考慮該點處附近的單調性.引導學生認清自己真正的錯因，重新構建函數極值的概念體系，促進抽象素養的提升.

總之，高中數學課堂培養學生數學抽象能力，需要教師選擇合適的教學方法，創設適當的問題情境，搭建合適的數學模型，關注新概念抽象過程；學生則需要掌握正確的學習方法，參與概念的探索過程，及時整理學過的知識.兩者之間相互配合，將數學知識抽象化理解變得具象化，增加數學課堂的趣味性，順利實現培養與提高學生數學抽象能力的目的.