經(jīng)歷模型構(gòu)建過程，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有價值
——“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計解析

◎周國寧 (東營市晨陽學(xué)校，山東 東營 257091)

“平均數(shù)”是統(tǒng)計與概率領(lǐng)域一個非常重要的統(tǒng)計模型.平均數(shù)的本質(zhì)是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，具有直觀、簡明的特點，所以在日常生活中經(jīng)常用到，比如平均速度、平均身高、平均成績等.因此，在教學(xué)平均數(shù)時，學(xué)生需要充分地體驗平均數(shù)的意義，明確平均數(shù)的求法，體會平均數(shù)的價值.如何讓學(xué)生在自主建構(gòu)中理解平均數(shù)模型呢？下面我將針對本節(jié)課的設(shè)計談?wù)勛约旱目捶?

一、創(chuàng)設(shè)情境，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程

師：同學(xué)們，你們喜歡籃球嗎？

前不久，班里舉辦了一場趣味投籃大賽，他們的投籃情況怎么樣呢，咱們一起去看一看.

(出示統(tǒng)計圖)

這是一組和二組的投籃情況統(tǒng)計圖，從這兩幅圖中，你能知道哪些數(shù)學(xué)信息呢？

生：……

(這里學(xué)生要關(guān)注到人數(shù)和每個人的投籃個數(shù))

師：現(xiàn)在，請你們來當(dāng)當(dāng)小裁判，看看這兩組，哪組的投籃水平高一些？

生：分別算出兩組隊員投進的總個數(shù)，用總個數(shù)來代表他們的投籃水平.

師：我們再來看第三、第四組的投籃情況統(tǒng)計圖，從這兩幅圖中，你能知道哪些數(shù)學(xué)信息呢？

現(xiàn)在，兩組的人數(shù)不同，還能不能用比較總個數(shù)的方法來判斷哪組的投籃水平高呢？

生：兩組人數(shù)不相同，再用總個數(shù)來代表他們的投籃水平就不公平了.

師：請同學(xué)們想一想，到底應(yīng)該用一個什么樣的數(shù)來代表他們的投籃水平呢？你能不能找到這樣一個數(shù)？

一個好的生活情境，能引發(fā)學(xué)生強烈的問題意識和探究欲望，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.這就要求解決問題的素材是學(xué)生熟悉的，或是感受過的、能夠理解的，與他們的生活密切相關(guān)的.課堂伊始，教師通過“你們喜歡籃球嗎”的話題，迅速拉近了與學(xué)生的距離.接著，教師提出問題“如果你來當(dāng)裁判，你認為哪組投籃水平高”，學(xué)生通過討論交流，認為應(yīng)該通過計數(shù)的方法選出水平比較高的小組.通過這個環(huán)節(jié)，學(xué)生在課堂上完成了“問題數(shù)學(xué)化”的過程，實現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)”.

當(dāng)兩組的人數(shù)不相同時，再用總個數(shù)來代表他們的投籃水平就不公平了.那應(yīng)該用一個什么樣的數(shù)來代表他們的投籃水平呢？當(dāng)舊方法不能解決新問題時，學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)新知識的迫切需要，為接下來的自主探究創(chuàng)造了良好的條件.更重要的是，學(xué)生體會到了學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性，了解了數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，體會了數(shù)學(xué)知識的形成過程及其作用.

二、自主探究模型，滲透核心素養(yǎng)

師：接下來，請同學(xué)們小組合作來解決這個問題.

合作要求：

1.組內(nèi)交流，形成統(tǒng)一意見.

2.可以在探究單上畫一畫、寫一寫，也可以算一算.

師：老師選取了兩幅有代表性的作品，出示作品1.

師：先來看第一幅作品，請你說清楚，你們是用哪個數(shù)代表了這兩組的投籃水平？你們是怎么找到這個數(shù)的？

生：……

師：誰和他的方法一樣？像這樣，把多的補給少的，就可以使每個人投進的個數(shù)同樣多， 我們就可以用同樣多的這個數(shù)來代表整個組的投籃水平.這種方法可以叫作“移多補少”法.

通過“移多補少”的方法，我們找到了5來代表第三組的投籃水平，4來代表第四組的投籃水平.所以，第三組的投籃水平高一些.

師：我們再來看第二幅作品，請你說清楚，你們是用哪個數(shù)代表了這兩組的投籃水平？你們是怎么找到這個數(shù)的？

生：……(4+6+5)÷3=5(個)

師：你能解釋一下算式每部分的含義嗎？

生：4+6+5是求總數(shù)(板書)，3是人數(shù)(師：也就是平均分成的份數(shù)，板書“份數(shù)”)，5是平均每人投中的個數(shù).

師:你解釋得真清楚，誰也用了這種方法？像這樣，先把每個人的投籃個數(shù)合起來，再除以人數(shù)，也能使每個人的投籃個數(shù)同樣多，我們就用同樣多的這個數(shù)來代表整組的投籃水平.這種方法叫作“先合并再平均分”通過“先合并再平均分”的方法，我們也找到了5來代表第三組的投籃水平，4來代表第四組的投籃水平.所以，第三組的投籃水平高一些.

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的，不僅可以為數(shù)學(xué)的語言表達和交流提供橋梁，而且是解決現(xiàn)實問題的重要工具.學(xué)生的自主探究熱情被充分地激發(fā)，探究起來就會事半功倍，最終，學(xué)生通過兩種方法，為每一組找到了一個有代表性的數(shù).其一為“移多補少”法，學(xué)生在操作中理解了“這個有代表性的數(shù)”的特點就是使每個人投的個數(shù)看起來同樣多；其二為“先合并再平分”方法，學(xué)生從算法角度加深了對“這個有代表性的數(shù)”的理解，并且體會到它不是指每個人投的實際個數(shù)，而是把所有人投的總個數(shù)平均分給每個人后得到的數(shù).

三、成功構(gòu)建模型，提升學(xué)生認識

師：同學(xué)們可真會學(xué)習(xí).用移多補少和先合并再平分的方法為每組找到了一個能代表整組水平的數(shù).比較一下這兩種做法，他們有什么共同點嗎？

師：誰來說說你的想法？

生：……

師：掌聲送給他，說得多棒啊！

的確，無論是移多補少，還是先合并再平均分，都是為了使原來不相同的幾個數(shù)看起來同樣多.同樣多的這個數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(板書)

5就是6，4，5的平均數(shù)，

誰能像老師這樣說一說4是誰的平均數(shù)？

生：4就是1，7，3，5的平均數(shù).

師：我們用平均數(shù)代表了整個組的投籃水平，由此我們知道，平均數(shù)可以代表一組數(shù)據(jù)的整體水平.

自主探究使學(xué)生理解了這個“有代表性的數(shù)”的本質(zhì)，接下來教師引導(dǎo)學(xué)生溝通兩種方法，總結(jié)它們的共同點，那就是使每個人投的個數(shù)看起來同樣多.在此基礎(chǔ)上明確“這個有代表性的數(shù)”就是這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可謂水到渠成.

四、深入研究模型，發(fā)展深度思維

1.體會平均數(shù)的虛擬性

師：平均數(shù)這么好用，你能不能在統(tǒng)計圖中直觀地表示出平均數(shù)的位置，讓人一眼就看出平均數(shù)是幾？在你的探究單上試一試.

生：……

師：用一條虛線表示平均數(shù)，就能讓人一眼看出平均數(shù)是幾.

師：同學(xué)們再想一想，5是英英投的個數(shù)嗎？是曉麗投的個數(shù)嗎？是果果投的個數(shù)嗎？那5是誰投的？

生：……

師：平均數(shù)并不是真實存在的，它只是一個虛擬的數(shù).

2.體會平均數(shù)的取值范圍

師：請你仔細觀察，把平均數(shù)與每個數(shù)量比一比大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：……

師：平均數(shù)比最大的數(shù)小，比最小的數(shù)大.

3.體會平均數(shù)隨著數(shù)據(jù)的變動而變動

師：剛才我們通過比較平均數(shù)知道，第四組的投籃水平要低一些，你能不能想個辦法來提高一下第四組的平均數(shù)呢？

生1：去掉苗苗.

師：想象一下，去掉苗苗，這一組的平均數(shù)會怎么變？(出示PPT)

生2：讓苗苗多投幾個？

師：想象一下，假如苗苗投了5個，這一組的平均數(shù)會怎么變？(出示PPT)

師：如果小紅發(fā)揮失常，投進的個數(shù)降低到4個，這一組的平均數(shù)會怎么變？(出示PPT)

(這幾頁PPT展示到同一張中)

師：經(jīng)過了這么多的體驗，關(guān)于平均數(shù)你有什么想對大家說的？

生：……

師：平均數(shù)就是這么敏感，當(dāng)其中的數(shù)據(jù)發(fā)生變化時，平均數(shù)也會發(fā)生變化，但不論平均數(shù)怎么變，它的范圍肯定是不變的，一定是介于最大數(shù)和最小數(shù)之間.

4.尋找生活中的平均數(shù)

師：其實平均數(shù)在我們的生活中有著廣泛的應(yīng)用，你都在哪里見過平均數(shù)？

生：平均分，平均身高，平均體重，平均壽命等.

明確了平均數(shù)的概念后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助條形統(tǒng)計圖的特點，以虛線的形式畫出平均數(shù)所在的直線，并使學(xué)生通過一系列活動，在體驗中感受了平均數(shù)的虛擬性、敏感性和取值范圍，并尋找了生活中的平均數(shù)，拓展了平均數(shù)模型的應(yīng)用情境.至此，學(xué)生成功構(gòu)建了平均數(shù)這一統(tǒng)計模型，了解了平均數(shù)的意義和求法，體會了平均數(shù)的特點和價值.

五、拓展應(yīng)用模型，鞏固意義和求法

師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數(shù)的特點來解決.

師：冬冬來到一個池塘邊.低頭一看，平均水深110厘米.冬冬樂開了花，這水也太淺了，我的身高是150厘米，下水游泳一定沒危險.你們覺得冬冬的想法對嗎?

生：……

師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?

(師出示池塘水底的剖面圖)

師：看來，認識了平均數(shù)，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢.

下面是四年級一班第一小組一次單元檢測的成績單，你能算出第一小組的平均成績嗎？

姓名張娟李濤王剛李麗劉麗成績(分)8590999195

數(shù)學(xué)建模的最終意義是解決問題，這就要求學(xué)生不僅要理解平均數(shù)的意義，還要學(xué)會熟練地求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，通過習(xí)題的設(shè)計，學(xué)生不僅拓展了平均數(shù)的情境，了解平均數(shù)的價值，而且在計算、判斷、討論、思考等過程中深入理解并掌握了平均數(shù)模型.

六、回顧學(xué)習(xí)過程，形成方法意識

師：同學(xué)們，我們來回顧一下這節(jié)課的學(xué)習(xí)過程.

我們先是在問題情境中，遇到了“人數(shù)不一樣時，哪組的投籃水平高”的問題，體會到了學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性.接著，我們通過自主探究，用移多補少和先合并再平分的方法找到了平均數(shù).最后我們用平均數(shù)的知識解決了生活中的問題，在這個過程中，我們深刻地體會到，平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平.

在本課教學(xué)中，學(xué)生以“問題數(shù)學(xué)化”為開端，產(chǎn)生了“我要學(xué)”的主動需求，自主構(gòu)建了“平均數(shù)”這一統(tǒng)計模型，解決了生活中的更多問題，不僅完整經(jīng)歷了“建模—入模—出模”的全過程，而且在感悟中積累了數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

模型思想的構(gòu)建，不是一個課例就能概括全面的.作為一線教師，我們應(yīng)該利用好課堂這一主戰(zhàn)場，不斷嘗試新的教學(xué)模式，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)的價值，并學(xué)會用數(shù)學(xué)創(chuàng)造更大的價值.