基于PBL問題驅(qū)動(dòng)下的定理課模式探究
——以切線長(zhǎng)定理為例

◎彭渭榮 (廣東省佛山市順德區(qū)容桂實(shí)驗(yàn)學(xué)校，廣東 佛山 528300)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

(1)教材內(nèi)容：“切線長(zhǎng)定理”是人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章“圓”的第二節(jié)的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)切線長(zhǎng)定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，著重研究切線長(zhǎng)定理的證明過程.

(2)教材處理：教材把切線長(zhǎng)定理及三角形內(nèi)切圓合為一課時(shí)，為了初高銜接需要，本節(jié)課側(cè)重切線長(zhǎng)定理圖形的構(gòu)建及模型的形成、發(fā)展、應(yīng)用過程.

(3)地位作用：本節(jié)課的內(nèi)容是切線長(zhǎng)定理，是直線與圓位置關(guān)系的重點(diǎn)內(nèi)容，體現(xiàn)了直線和圓不同位置關(guān)系的基本圖形構(gòu)造、變換及等量關(guān)系和位置關(guān)系的高度融合，既是前面知識(shí)的拓展，又是今后學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)模型.

二、學(xué)情分析

學(xué)生已具備一定的幾何基礎(chǔ)，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明推理，但數(shù)學(xué)建模能力還比較欠缺.

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)通過預(yù)設(shè)提問和生成性追問讓學(xué)生整合前面的舊知，為新知識(shí)的生成做好鋪墊.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、證明的數(shù)學(xué)過程，從而在理解切線長(zhǎng)定義，掌握切線長(zhǎng)定理及基本模型的基礎(chǔ)上，能初步運(yùn)用；

(2)通過學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和相互交流及自主體悟，形成邏輯連貫的思維體系，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感.

四、教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)，關(guān)鍵點(diǎn)

(1)教學(xué)難點(diǎn)：如何設(shè)置相關(guān)問題引發(fā)學(xué)生在已掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上利用關(guān)聯(lián)性思維去探究新知.

(2)教學(xué)重點(diǎn)：切線長(zhǎng)定理.

(3)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)：老師如何設(shè)置相關(guān)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生在猜想的基礎(chǔ)上，利用實(shí)踐去提取信息，最后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯證明，形成定理.

五、突破重難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)的策略

(1)通過預(yù)設(shè)性提問和生成性追問引導(dǎo)學(xué)生對(duì)舊知進(jìn)行整合、應(yīng)用，通過設(shè)置層層深入的問題，用巧妙的語言調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考，采用不斷追問的方式，逐步引向深入，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

(2)根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)時(shí)采用直觀演示實(shí)驗(yàn)以及猜想論證法，對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、畫圖、猜想、論證，以及討論、分析、演示相結(jié)合的教學(xué)過程，意在幫助學(xué)生通過自己動(dòng)手試驗(yàn)、分析歸納，從自己的實(shí)踐中獲取知識(shí)，并通過討論加深對(duì)知識(shí)的理解[1].

六、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一:預(yù)設(shè)性提問，孕育切線長(zhǎng)定理.

問題1：直線和圓的位置關(guān)系有幾種？追問：如何判定？

問題2：切線的定義是什么？追問：切線和半徑有什么位置關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過預(yù)設(shè)性提問，連鎖性追問為切線長(zhǎng)定理進(jìn)行知識(shí)儲(chǔ)備.

環(huán)節(jié)二:承啟性追問，構(gòu)建定理基本圖形.

問題3：過平面內(nèi)一點(diǎn)作已知圓的切線，會(huì)有怎樣的情形呢？

提示：從點(diǎn)與圓的不同位置關(guān)系去思考

問題4：如圖1，點(diǎn)A在⊙O上，P是⊙O外一點(diǎn)，∠OAP是直角，PA是⊙O的切線嗎？為什么？

圖1

圖2

問題5：如何過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線？

作法：①連接圓外一點(diǎn)P與圓心O；

②以PO為直徑作圓，交⊙O于點(diǎn)A、點(diǎn)B,則PA、PB是⊙O的切線(如圖2).

【設(shè)計(jì)意圖】通過承啟性問題和聯(lián)想性追問引發(fā)學(xué)生進(jìn)行關(guān)聯(lián)性思考，學(xué)生回答圓外一點(diǎn)可以做兩條切線后，在課堂中自然生成問題6，問題6的解決過程和結(jié)果為問題7的解決提供了方法和路徑，三個(gè)問題的解決過程，實(shí)際上就是切線長(zhǎng)定理基本圖形的搭建過程.

環(huán)節(jié)三:探索性實(shí)踐，再現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn)過程.

問題 6：仔細(xì)觀察圖 2 所示的圖形，你能猜想出什么結(jié)論？

猜想：線段________________， 角________________.

問題7：改變點(diǎn)的位置，結(jié)論是否還成立(點(diǎn)在圓外)？你還可以通過什么樣的辦法去驗(yàn)證？

學(xué)生和老師活動(dòng)：學(xué)生通過觀察猜想，初步得出結(jié)論，老師通過幾何畫板軟件的展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察在點(diǎn)的位置改變時(shí)，線段、角度的等量關(guān)系是否仍然成立，并激發(fā)學(xué)生去嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證的欲望.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過觀察線段和角的等量關(guān)系，感受形變質(zhì)不變的辯證思維和哲學(xué)思想的浸潤(rùn).提升學(xué)生在各種情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)運(yùn)用和數(shù)學(xué)闡述的能力[2].

問題8：試用文字語言敘述所得的結(jié)論？

切線長(zhǎng)定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

判斷正誤：(1)切線是一條與圓相切的直線，不能度量.

( )

(2)切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，它是一個(gè)數(shù)，可以度量.

( )

(3)切線長(zhǎng)就是切線的長(zhǎng)度.

( )

問題9：如何用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語言證明切線長(zhǎng)定理？

切線長(zhǎng)定理的題設(shè)是：已知：如圖2，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B.

切線長(zhǎng)的結(jié)論是：求證：PA=PB，∠OPA=∠OPB.

證明：(略).

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在自主探索后，形成了碎片化的結(jié)論，老師通過追問，引導(dǎo)學(xué)生將零碎的結(jié)論進(jìn)行整合，形成完整的切線長(zhǎng)理論.在學(xué)生有了成功體驗(yàn)之后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性原則，繼續(xù)通過演繹推理證明結(jié)論[3].

環(huán)節(jié)四:模仿應(yīng)用，體驗(yàn)切線長(zhǎng)定理.

1.已知：如圖3，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，

(1)圖中共有幾對(duì)相等線段？分別是什么？

(2)若AF=4，BD=6，CE=8，則△ABC的周長(zhǎng)是________；

(3)若AB=9，BC=15，AC=12，則AF=________，BD=________，CE=________.

圖3

2.如圖4，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，

(1)若PB=12，PO=13，則AO=________；

(2)若PO=10，AO=6，則PB=________；

(3)若PA=4，AO=3，則PO=________；PD=________；

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的模仿應(yīng)用，讓學(xué)生初步習(xí)得應(yīng)用切線長(zhǎng)定理的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)，讓學(xué)生收獲繼續(xù)探索的信心.

環(huán)節(jié)五：拓展外延，凝練模塊化幾何圖形.

如圖5，P是圓外一點(diǎn)，PA，PB是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，我們知道AP=BP，∠APO= ∠BPO.

圖5

問題10：若連接AB,OA,OB，你還可以推出哪些結(jié)論(角、邊、弧)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察圖形會(huì)發(fā)現(xiàn)圓心和這一點(diǎn)的連線為圓的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性還可得到更多的邊等、角等、弧等的結(jié)論.因此，環(huán)節(jié)5的設(shè)置是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)定理后可以把相關(guān)知識(shí)凝練成一個(gè)模塊化的知識(shí)鏈，讓定理的特征和本質(zhì)顯性化.定理的延伸和拓展是數(shù)學(xué)定理教學(xué)過程中不可或缺的一環(huán)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性和深刻性起著非常重要的作用[4].

環(huán)節(jié)六：遷移強(qiáng)化，運(yùn)用和內(nèi)化切線長(zhǎng)定理.

已知,如圖6，PA,PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，PO與⊙O相交于點(diǎn)D，且PA=4 cm,PD=2 cm.求半徑OA的長(zhǎng).

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)的設(shè)置是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長(zhǎng)定理來解決線段、角的問題，加深對(duì)切線長(zhǎng)定理的理解，使學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力.不同難度題目的設(shè)置是為了滿足不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，讓不同的學(xué)生的數(shù)學(xué)能力都可以有所發(fā)展.

環(huán)節(jié)七：微縮課堂，歸納提升.

圖7